Amostragem de Sinais

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Amotragem de Sinai Prof. Juan Moie Mauricio Villanueva 1

2 Amotragem (Sampling) Para um inal em tempo continuo x(t) Conidera-e um trem de impulo p(t), com período T T 2

3 Amotragem (Sampling) O inal amotrado e obtém da multiplicação do inal x(t) com o trem de impulo p(t) x(t) inal em tempo continuo p(t) função de amotragem (trem de impulo) x p (t) inal amotrado no tempo dicreto 3

4 Amotragem (Sampling) Sinal no tempo continuo Função de amotragem 2 T f 1 T T Sinal amotrado no tempo dicreto T 4

5 O inal amotrado pode er repreentado como um trem de impulo ponderado com período T Amotragem (Sampling) x ( t) x nt t nt p n T 5

6 Análie da Amotragem na Frequência Coniderando que o epectro de Fourier do inal x(t) é: Com frequência máxima de M 6

7 Análie da Amotragem na Frequência Para analiar o que acontece com o produto no tempo e na frequência, e deve utilizar a propriedade de convolução da Tranformada de Fourier F x( t)* p( t) X ( ) P( ) F 1 x( t). p( t) X ( )* P( ) 2 7

8 Análie da Amotragem na Frequência A tranformada de Fourier de uma equência de impulo é: 2 ( ) F p t P( ) k T k 2 T T 8

9 Análie da Amotragem na Frequência Domínio do Tempo x ( t) x( t) p( t) p p( t) t nt n x ( t) x nt t nt p n Domínio da Frequência 1 X p( ) X * P 2 2 P( ) k T k 1 2 X p( ) X * k 2 T k 1 X p( ) X k T k Sequência periódica 9

10 Análie da Amotragem na Frequência Ao realizar a amotragem do inal x(t), o reultado na frequência é equivalente a replicar o epectro original em múltiplo da frequência de amotragem 1 T X ( ) 1 T X( ) 1 T X( 2 ) 10

11 Análie da Amotragem na Frequência O epectro do inal amotrado x p (t) é repreentado por X p () Sequência Amotrada no Tempo Sequência Amotrada na Frequência 1 T X ( ) 1 T X ( ) 1 T X ( 2 ) x ( t) x nt t nt p n T 1 X p ( ) X k T k 11

12 Teorema da Amotragem Amotragem no dominio da frequência M =Freq. Máxima =Freq. Amotragem 2 T 1 T Condição para que não haja uperpoição de epectro 2 M M M 12

13 Recontrução do Sinal uando Filtro Analógico O filtro eletrônico retringem o pao de algun componente de frequência. j H ( ) H ( ) e ( ) 13

14 Filtro Paa-Baixa c 1 RC H(): Função de tranferência do itema c : Frequência de corte 14

15 Recontrução do Sinal uando Filtro Analógico A recuperação do epectro original X() pode er realizada utilizando um filtro paa-baixa com frequência de corte: c 2 S Tranf. Invera de Fourier 15

16 Efeito Aliaing (Superpoição de Epectro) Se: M M 2 M Efeito Aliaing Nete cao exite uperpoição entre o epectro repetido de X() 1 T 16

17 Teorema da Amotragem Define-e o Teorema da Amotragem: Se x(t) é um inal de largura de banda limitada, X()=0 para > M. Então x(t) é unicamente determinada por ua amotra no domínio dicreto x(nt ), e: 2 com : M 2 T f 2 f com : f M 1 T 17

18 Exemplo 1 Para o inal Com frequência de amotragem f =8000 Hz -1 khz 1 khz 18

19 Exemplo 1 Sinal amotrado a f =8000 Hz 19

20 Teorema da Amotragem Deta maneira, a partir da amotragem correta, é poível recontruir o inal no tempo continuo a partir da amotra dicreta. T 2T 4T 6T 8T 10T 12T nt 20

21 Teorema da Amotragem Deta maneira, a partir da amotragem correta, é poível recontruir o inal no tempo continuo a partir da amotra dicreta. 2T 4T 6T 8T 10T 12T nt 21

22 Recontrução de Sinai A recontrução de inai, é o procedimento de recuperação do inal analogico a partir da amotra do inal. Ete procedimento pode fazer uo de um filtro paa-baixo. 22

23 Recontrução de Sinai Primeiramente, o inal dicreto proceado x(n) e converte em um trem de impulo x (t) cuja amplitude é proporcional à aída dicreta x(n). Doi impulo conecutivo ão eparado com um período de amotragem T Finalmente, aplica-e um filtro analógico de recontrução para a recuperação da amotra do inal x (t), obtendo-e o inal recuperado. 23

24 Recontrução de Sinai 24

25 Recontrução de Sinai Para um inal x(t) com epectro A recuperação do inal depende da frequência de amotragem ecogida. 25

26 Recontrução de Sinai Cao 1: f =2f max 26

27 Recontrução de Sinai Cao 2: f 2f max A frequência de corte do filtro paa-baixo é definida por B f c f 2 27

28 Recontrução de Sinai Cao 3: f <2f max 28

29 Converor ADC Tipo FLASH Etá compoto por uma tenão de referência, comparadore lógico e uma unidade lógica. Por exemplo para um ADC de 2 bit 29

30 Converor ADC Tipo FLASH Ete converor tem uma alta velocidade de converão, devido a que todo o bit ão aquirido ao memo tempo 30

31 Quantização A quantização é o proceo de converter um nível de tenão analógico com precião infinita a uma precião finita. Por exemplo, e o proceador digital tem 3-bit, a amplitude podem er convertida em oito diferente nívei. Um Quantizador Unipolar, trabalha com inai de 0 volt a uma tenão de referência poitivo. Um Quantizador Bipolar, tem uma faixa de tenão dede uma referência negativa a uma poitiva. 31

32 Quantización x max = valor máximo de tenão do inal analógico x x min = valor mínimo de tenão do inal analógico x L = número de nívei de quantização #Bit = número de bit do converor ADC = pao de quantização ou reolução do converor ADC x q = nívei de quantização i = indica o índice correpondente do código binário min xmax xmin Bit L 2 L x xmin i round x x i i 0,1,...,( L 1) q 32

33 Erro de Quantização Quando o inal de entrada x, e quantiza a x q, tem-e um erro de quantização definido como o erro de quantização: e x x q q Limite do erro de quantização e q

34 Erro de Quantização O erro de quantização tem uma ditribuição uniforme quando o é muito menor que a faixa dinâmica do inal amotrado e com um número uficiente de amotra. Baeado na teoria de probabilidade e variávei aleatória, a potencia do ruído de quantização é dado por: 2 E e q Em que: E(.) é o operador de média

35 Erro de Quantização A relação de potência inal a ruído de quantização (SNR) SNR Em decibelio E x E e 2 2 q SNR 10Log SNR db 10 1 N SNR 1 N 2 E x xrm SNRdB 10Log 10 10Log 2 10 E e /12 q xrm SNRdB Log10 N 1 N x ( n) x ( n) e ( n) e ( n) n0 n0 N 1 N q q n0 n0 35

36 Quantizador Unipolar x max 8 xmin 0 Bit 3 Bit L 2 8 Erro de Quantização xq xmin i i 0,1,...,7 36

37 Quantizador Unipolar 37

38 Quantizador Bipolar x x max min 4 4 Bit 3 Bit L 2 8 Erro de Quantización xq xmin i i 0,1,...,7 38

39 Quantizador Bipolar 39

40 Exemplo 2 Para um ADC de 3-bit com intervalo de entrada de 0 a 5 volt x max 5 x 0 min Bit Bit 3 L ,625 volt 8 Para o nível de tenão do inal de entrada x=3,2 volt 3, 2 0 i round round(5,12) 5 0,625 x x i x q q min 0 5 0, 625 3,125volt 40

41 Exemplo 2 Para a tenão x=3,2 volt o valor da tenão quantizado é xq 3,125v e x x e e q q q q 3,125 3, 2 0,075v Limite do e q eq 0, 075 0,3125v 2 41

42 Para um inal analógico Exemplo 3 x( t) A.in 21000t Utilizando um quantizador Bipolar xrm 0,707A xrm SNRdB 10, 79 20Log 10 2A Bit 2 0,707A SNRdB 10, 79 20Log10 2A Bit 2 0,707 SNRdB 10, 79 20Log10 20Bit Log SNR 1,76 6,02 Bit ( db) db 42