Filtros digitais básicos

Transcrição

1 Filtro digitai báico

2 Amotragem e dicretização no temo x(t) x (nt) Dicretização x 0 x 1 x 2 x 3 dirac X (t) x d (n) 0 T t x 3 δ(n-3) t 0 T 2T 3T n 0 X(w) Eectro X(w), Xd(W), w -f/2 -w/2 f/2 w/2 f w w/2 - W

3 Invariância do imulo Da amotragem reulta a rélica do eectro de x(t) na frequência kw do eectro em X e Xd Da invariância do imulo - x(nt)=xd(n) reulta igual rereentação ara o eectro eriódico de x(t) e xd(n) Do teorema da amotragem f>2f reulta que o eectro de Xd relica o eectro do intervalo [- +] em torno da frequência 2k.

4 Tranformada de amotra ideia e conequência da invariância de imulo Temo contínuo Temo dicreto x ( t) x( kt ) t -kt k- - jwkt X ( jw) x( kt)e k- x (n) x( kt ) n -k d k- X ( j ) x( kt ) e d W k- - jwk -kt - X ( ) x( kt)e X ( ) ( )z k d z x kt k- T. Fourier T. Fourier finita WwT T. Lalace Tranformada Z z e T k-

5 Tranformação de ara z jw jw Im z 3 j T j T - j T 3 - j T z e T j - j 1 WwT 0 Re z O maeamento do emilano direito de dá no lano z a região exterior ao círculo unitário. Cada região do emilano equerdo de eeura 2/T dá o círculo unitário.

6 Atrao no temo e correondência na frequência Temo contínuo Temo dicreto T. Fourier T. Fourier x () t X ( jw) x ( n ) X ( jw) d d - x ( t - kt ) j w e kt X ( jw) - jwk x ( n - k) e X ( jw) d - x ( t - kt ) e jkt X () T. Lalace Tranform. z ( ) - x n - k z k X ( z)

7 Exemlo de filtro digital e caracterítica H(z) x(n) Filtro y(n) Filtro com ecalamento e atrao: y(n)=a 1 x(n) Tranformada Y z b1 z X z z Em t=t Em t=2t y(1)=b 1 x(0) y(2)=b 1 x(1) H z Y z X z b z 1 Em t=nt y(n)=a 1 x(n)

8 Exemlo- cont : Filtro de oma onderada de doi termo: y(n)= b 0 x(n) +b 1 x(n) Em t=t Em t=2t Em t=nt y(1)=b 0 x(1)+a 1 x(0) y(2)=b 0 x(2)+a 1 x(1) y(n)=b 0 x(n)+b 1 x(n) Y z b z X z b z X z Y z H z b0 b1z X z

9 Ordem do filtro não recurivo ou de reota finita ao imulo - FIR Ordem zero: y(n)= b 0 x(n) H z b 0 Primeira Ordem : H z y(n)= a 0 x(n)+a 1 x(n) b z b 0 1 z Zero em z=-a1/a0 H z b b z Pólo de ordem 1 em z=0 Ordem M: M H z bk z - k 0 M zero e M ólo k

10 Filtro recurivo ou de reota infinita ao imulo - IIR H z k ( ) k - h n z -k IIR não caual deende de amotra no futuro H z Se H(z) converge: k 0 H z k k 0 IIR caual M N k 0 bz k az k -k -k h( n) z M e N finito;n>m; filtro de ordem n com N ólo e M zero -k

11 Reota dum filtro FIR a e jw 0 n e co W 0 n Exemlo rejeita -banda: xn xn y n x n x n Filtro de 3ª ordem: b0=1/2,b1=0,b2=0,b(3)=1/2 3 Y( z) 1 1 H z bk z z X( z) 2 2 k 0 -k -3 Para uma frequência articular cujo faor é x() n j 0n e W 1 1 Y ( e ) H e X e e e 2 2 jw n jw jw n - j3w jw n

12 Continuação: 3W 2 3W0 H co 2 3W j 0-2 jw0 j H z e H e co e Atenuação: 0 fae: No cao de j 0n x( n) co W0n Re e W y( n) Aco W n 0 3W 3W0 3W0 - j 3 2 jw0n W0 3W0 Reco e e co cow0n A 2 0 linear com W

13 Continuação No cao de fequência de amotragem f=300hz, da normalização da frequência ter-e-á: W 0 2 Daqui reulta que a amlitude de y(n) erá nula ara 3W 3W 3 f f co 0 f f 2 3 Hz f f Imlicando que H(z) tenha um do zero em endo W 0 3 z j e W 0

14 Continuação Se =jw, o filtro reonderá a um inal harmónico de frequência w Im z j Quando w varia de 0 a w, no lano z : e W j roda obre a circunferência de raio 1 de 0 a e, em /3, H(z) tem um zero - j W0 /3 0 1 Re z jw j 3W H z e H e co e 2-3W j 2 trilo ólo

15 Filtro rejeita banda FIR /3 5 / zero ara W=,, 3 3

16 Filtro analógico/filtro digitai(1) Função de tranferência analógica Na () Ha () D () Função de tranferência digital a Nd ( z) Hd ( z) Dd ( z) Ha() Hd(z) imlica maear função do lano ara lano z (eixo imaginário jw ara circulo decrito or e jw, emilano equerdo ara a área do circulo.

17 Filtro analógico/filtro digitai(2) Tranformação z e T T T 2 1 T e 2 21-z z e T - T T z e - 2 N ( z) H ( z) H ( ) d d a 21-z Dd ( z) T 1 z Uma vez que T não altera a tranformação ecolhe-e T=2, ficando z z

18 Tranformação bilinear(1) Maeando de ara z, então ao eixo imaginário correonderá z=e jw Pela tranformação bilinear com T=2: jw 1- e 1 e - jw - jw j tan W jw

19 Tranformação bilinear-ditorção na frequência w w tanw W W W H( jw) H( jw) w w

20 Exemlo de aa-baixo IIR Função analógica H ( z) H ( ) Onde H a () 1 1 w c (1 z ) 1 - (1 z ) 1- z cd d a 1 z w (1 - z ) w (1 z ) 2 1-z - jw 2 1- e 2 2 jw j tan W j - jw T 1 e T T cd c c cd w w = tan W na hiótee de T 2 w c cd c 1-w 1-tan W cd = = 1w 1 tan W cd c c

21 Reota dum filtro IIR a e jwn Exemlo rejeita banda ara f0=50hz, f=200hz, bw=5hz baeado no rotótio analógico de 1ª ordem (ver roblema reolvido). bwn tan 1 1-2z z 2 H( z) ; =co w 2 0N; = z z bwn 1 tan 2 1z 1e z e -2 - j2w -2 - j2w

22 Filtro IIR rejeita banda de 2ª ordem 2 Filtro de 2ª ordem ma + electivo que FIR. Fae não linear. 3 2 zero ara W=, 2 2