Bioestatística e Computação I

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1 Bioetatítica e Computação I Intervalo de confiança Maria Virginia P Dutra Eloane G Ramo Vania Mato Foneca Pó Graduação em Saúde da Mulher e da Criança IFF FIOCRUZ Baeado na aula de M. Pagano e Gravreau e Geraldo Marcelo da Cunha Problema X Altura de indivíduo com 12 a 40 ano que ofrem de índrome alcoólica fetal. A ditribuição de X é aproximadamente normal com média µ deconhecida. A partir de uma amotra aleatória de 31 indivíduo calculou-e uma altura média x =147,4 cm. Deeja-e etabelecer um intervalo de valore que no permita ter 95% de confiança de que ee intervalo contém a média populacional µ. Intervalo de Confiança Fornece um intervalo de valore razoável no qual e preume que eteja o parâmetro de interee (a média populacional µ, no cao) com certo grau de confiança. Pelo Teorema Central do Limite X~, Z= X / =X EP Z~ 0,1 Normal Padrão Calcula-e o IC95% de µ em termo de z. Tranforma-e o IC95% de volta para a ecala de medida de X.

2 O IC de 95% equivale ao 95% valore centrai da ditribuição. Qual valor de Z deve er procurado na tabela A.3? P(Z>z) = 0,025 z = 1,96 Ditribuição Normal Padrão 0,95 0,025 0,95 0, z Para uma VA normal padrão, que valore de Z limitam o 95% valore centrai da ditribuição? z -1,96 1,96 P 1,96 Z 1,96 =0,95=95% Para uma VA normal padrão (Z), a probabilidade de Z aumir um valor entre - 1,96 e +1,96 é 95%. P 1,96 Z 1,96 =0,95=95% Pelo TCL: Z= X / Então: P 1,96 X / 1,96 =0,95 P 1,96 X 1,96 =0,95 P 1,96 X 1,96 X =0,95 P X 1,96 X 1,96 =0,95 Logo: X 1,96 e X 1,96 Limite de Confiança de 95% para a média da população µ Intervalo de confiança de 95% para média µ IC95 %= X 1,96, X 1,96 P 1,96 X 1,96 X =0,95

3 Voltando ao problema X Altura de indivíduo com 12 a 40 ano que ofrem de índrome alcoólica fetal. µ =? e σ = 6 cm Na amotra de tamanho n=31, x =147,4cm. IC95% =? IC95 %= X 1,96, X 1,96 IC95 %=X±1,96 1,96 =1, =2,11 IC95 %=147,4±2,11= 145,29;149,15 Voltando ao problema IC95% = (145,29 ; 149,15) Temo 95% de confiança de que a média populacional µ etá contida nee intervalo. Se elecionáemo vária amotra de tamanho n=31 e calculáemo o repectivo IC, 95% dele conteriam a média populacional µ. 100 intervalo de confiança, calculado a partir de 100 amotra de tamanho n. Que intervalo no deixaria 99% confiante de que ele contém a média populacional µ? IC99% =? P(Z>z) = 0,005 Pela tabela A.3 Ditribuição Normal Padrão z = 2,58 0,99 0,005 0,005 µ z -2,58 2,58

4 Que intervalo no deixaria 99% confiante de que ele contém a média populacional µ? IC99% =? P(Z>z) = 0,005 Pela tabela A.3 z = 2,58 IC99 %= X 2,58, X 2,58 Maior Confiança Maior Intervalo IC99 %=X±2,58 2,58 =2, =2,78 IC99 %=147,4±2,78= 144,62;150,18 Qual eria o IC95% e o tamanho da amotra foe n=10? E e foe n=100? Maior n Menor Intervalo de Confiança IC95 %=X±1,96 IC95 %=147,4±1,96 6 =147,4±11,76 Para n=10: IC95 %=147,4± 11,76 10 =147,4±3,72 Para n=100: IC95 %=147,4± 11, =147,4±1,18 À medida que elecionamo amotra cada vez maiore a variabilidade de X diminui. Mai próximo etaremo do valor populacional µ.

5 Ditribuição t de Student Como calcular o IC quando o devio-padrão populacional σ é deconhecido? Pode-e uar o devio-padrão da amotra. Entretanto, a tranformação X não egue / mai uma normal padrão. É neceário levar em conta a variabilidade do etimador. t= X ~Ditribuiçãot de Student com / n 1grau de liberdade Repreenta-e por t gl A ditribuição t poui um único parâmetro gl: número de grau de liberdade. Mede a quantidade de informação diponível no dado para etimacão da variância. gl=n-1 porque perdemo um grau de liberdade ao etimar a média, neceária para a etimação da variância populacional σ 2. 2 = x i x 2 n 1 Grau de liberdade Grau de liberdade Dado que a média de 4 número é 5,5, e oubermo apena 3 dele podemo calcular o quarto número. Ex. 10, 2 e 3 ( x)/4 = 5,5 15+x = 5,5*4 = 22 x = = 7 O último número etá pré-determinado, não pode variar, não poui liberdade. Ao e utilizar a média no cálculo de 2, apena n-1 amotra contribuem para a etimativa. x 2 i x 2 = n Se foe utilizado o etimador 2 etaria envieado para um valor menor que o parâmetro populacional σ 2.

6 Ditribuição t de Student Ditribuição t de Student Similar a Normal Padrão Valore extremo ão mai provávei mai dipera A medida que gl aumenta, e torna meno dipera mai próxima da normal. Ex. Conidere uma amotra aleatória de 10 criança elecionada de uma população de criança que receberam antiácido contendo alumínio. Para ea amotra mediu-e o nívei de alumínio e calculou-e: x=37,2 g/l e =7,13 g/l Encontrar um IC95% para a média de nívei de alumínio da população de criança que receberam o antiácido. Ditribuição t de Student x=37,2 g/l e =7,13 g/l t gl = X / gl=n 1=9 t 9 = X / P t c t 9 t c =0,95 P t 9 t c =0,025 Pela tabela A.4: t c = 2,262. P t c X / t c =0,95 IC95 %=X±t c -t c 0,95 t 9 : Ditribuição t de Student com 9 grau de liberdade IC95 %=37,2±2,262 7,13 10 IC95 %=37,2±5,100 IC95 %=[32,1; 42,3] t c 0,025 t Reumindo Intervalo de Confiança de K% para média µ α = 1 K/100 exemplo: IC95%, α = 1 95/100 = 0,05 Devio-padrão σ conhecido deconhecido Ditribuição Valor crítico Cálculo Normal padrão Z t de Student com n-1 grau de liberdade t n-1 z c P(Z z c ) = α/2 (tabela A.3) t c P(t n-1 t c ) = α/2 (tabela A.4) ICK %=X±z c ICK %=X±t c

7 Reumindo Intervalo de Confiança de K% α = 1 K/100 Exercício 10 do Capítulo 9, página 206 exemplo: IC95%, α = 1 95/100 = 0,05 K/100 α/2 -t c t c -z c z c Cálculo do tamanho amotral Extraiu-e uma amotra de 12 indivíduo aleatoriamente da população de homen fumante e hiperteno e mediu-e o nível érico de coleterol. Encontrou-e: x = 217 mg/100ml e = 47 mg/100ml Qual o IC95%? IC95 %=X±t c Pela tabela A.4: t c =2,201 para 11 grau de liberdade e =0,025 IC95 %=217±2, =217±29,86=[187,14;246,86] A largura do intervalo é 29,86mg/100ml Cálculo do tamanho amotral Qual deveria er o tamanho da amotra para que o tamanho do intervalo foe reduzido para 10 mg/100ml? IC95 %=X±t c 47 Tamanho do intervalo=t c =2,201 10=2, , = 10 n= 2, = 10,35 2 =107, O tamanho do intervalo depende apena de e n.

8 Cálculo do tamanho amotral Qual deveria er o tamanho da amotra para que o tamanho do intervalo foe reduzido para 10 mg/100ml? n = 108 Entretanto, com n = 108 e = 47 o IC95% eria: IC95 %=X±t c Para 100 gl: t c =1,984 IC95 % 217±1, =217±8,97 Cálculo do tamanho amotral Qual deveria er o tamanho da amotra para que o erro padrão foe 1% da média (CV da média = 1%)? CV= EP x =/ x x =0,01 = 2 0,01 x = 0,01 x 47 n= = 21,66 0, =469, indivíduo Quando σ é deconhecido, o intervalo obtido erá empre um pouco menor do que o deejado. Cálculo do tamanho amotral Exercício Para calcular o tamanho amotral é neceário pouir uma etimativa anterior da média e do devio padrão. Pequia anteriore Último ceno Se não houver nenhuma etimativa anterior, é neceário realizar um etudo piloto. No memo exercício 10 do Capítulo 9 (página 206) qual deveria er o tamanho da amotra para reduzir o tamanho do IC95% para 5? Qual deveria er o tamanho da amotra para que a média foe etimada com uma precião de 2%? Cao coneguíemo coletar apena 80% do n anterior, qual eria a precião da etimativa da média?

9 Exercício para caa do capítulo 9 (Intervalo de Confiança) 1 a 11