Probabilidade e Estatística

Transcrição

1 Probabilidade e Etatítica

2

3 Material teórico Medida de Diperão ou Variação Reponável pelo Conteúdo: Profª M. Roangela Maura C. Bonici

4

5 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIAÇÃO Introdução ao Conteúdo Cálculo da Variância e Devio Padrão A propota dete etudo é trabalhar com a medida de diperão. Objetivo de Aprendizado Nela você irá aprender como calcular a variância e o devio-padrão de dado bruto, de dado agrupado em ditribuiçõe de freqüência variável dicreta e de dado agrupado em ditribuiçõe de freqüência variável contínua. Aprenderá também qual o ignificado do deviopadrão e em quai ituaçõe prática ele poderá er empregado.. Atenção Para um bom aproveitamento do curo, leia o material teórico atentamente ante de realizar a atividade. É importante também repeitar o prazo etabelecido no cronograma. 5

6 Unidade: Medida de Diperão ou Variação Contextualização Entenda o que é média e devio padrão de uma prova O entendimento natural que grande parte do candidato utiliza para avaliar eu deempenho na prova é: "acertei mai ou meno quetõe do que a média?". Claro que a premia vigente é a de que o candidato mai bem preparado uperam, em número de acerto, a média da prova. 0 reultado de uma prova, normalmente, é conhecido atravé de informaçõe como média e devio padrão, bem como pela ditribuição de frequência do número de acerto do candidato, expreo em forma gráfica. Ete gráfico, denominado hitograma, motra, no eixo do X (abcia), o número de quetõe e, no eixo do Y, o número de candidato que acertaram o referido número de quetõe. O que ignificam ea informaçõe? Numa ditribuição de frequência, há trê medida importante: a moda, a mediana e a média. A primeira é o "pico", ito é, o ponto no eixo da abcia de maior frequência. A mediana é o ponto, no eixo da abcia, que divide a ocorrência em dua fraçõe iguai, cada uma com 50% da frequência. A média é o ponto, no eixo da abcia, que faria com que o gráfico ficae equilibrado, não inclinando nem para a equerda nem para a direita; em uma, a média é o ponto, no eixo da abcia, ituado na vertical que paa pelo centro de gravidade da figura. O que e deeja em uma prova do Concuro Vetibular é um hitograma formando uma curva imétrica, ditribuído entre 0 e 5 acerto, concentrando moda, mediana e média próxima a 15 acerto, exibindo uma ditribuição balanceada de acerto, tanto à equerda como à direita do centro de ditribuição, de acordo com o gráfico apreentado na figura da página a eguir. O gráfico motra uma ditribuição normal rigoroamente imétrica. No centro da ditribuição, coincidem média, mediana e moda. Uma curva de ditribuição normal (ou Curva de Gau) tem como caracterítica englobar 99,73% da ocorrência no intervalo compreendido entre a média e ± 3 devio padrão, conforme detalhado no memo gráfico. 6

7 O devio padrão de uma prova mede o grau de diperão do candidato em relação à média, ito é, o quanto o conjunto de candidato e ditanciou da média, tanto além como aquém do centro de ditribuição. Io ignifica que o ecore obtido por 99,73% do candidato etarão compreendido entre a média e ± 3 devio padrão, ou eja, alvo rara exceçõe, todo o candidato etarão nete intervalo. Ao e elaborar uma prova, epera-e que o reultado da aplicação da mema gere uma "curva de ditribuição normal", ito é, ea prova deve gerar uma média de 15 acerto e o candidato devem etar ditribuído imetricamente entre zero e 30 acerto (ou entre doi limite interno dee intervalo, equiditante de 15). A obtenção de uma ditribuição imétrica com 100% da ocorrência entre 0 e 30 acerto, em uma prova de 30 quetõe e média de 15 acerto, pode er poível quando e obtém um devio padrão de 5 acerto. Nee cao, e o hitograma aumir formato emelhante ao da curva normal, todo o ecore poívei de erem obtido pelo candidato ficariam imetricamente contido no intervalo entre a média e ± 3 devio padrão, ou eja, entre O acerto (15 - (3 x 5)) e 30 acerto (15 + (3 x 5)). Infelizmente, não é fácil obter uma curva de ditribuição normal. O reultado obtido pelo candidato em uma prova depende de muito fatore, entre o quai podem er detacado a preparação do memo e o grau de dificuldade da prova. Por io memo, é importante poder avaliar uma prova atravé do reultado obtido na ua aplicação. A informação da média permite verificar o grau de facilidade da prova para a população que a realizou. Quanto menor a média (abaixo de 15 acerto), menor a facilidade do candidato com a quetõe da mema. Quanto maior a média (acima do 15 acerto), maior a facilidade do candidato com a quetõe propota. 7

8 Unidade: Medida de Diperão ou Variação Uma prova, com hitograma normal, com média de 15 acerto e devio padrão de 4 acerto ignifica que 99,73% do candidato erão encontrado entre o ecore 3 e 7 acerto, (15 - (3 x 4)) e (15 + (3 x 4)). Io ignifica que o candidato com ecore 0, 1,, 8, 9 e 30 acerto erão 0,3% da população, portanto pouquíimo, conforme motrado na figura a eguir correpondente à ditribuição com devio 4. Enquanto que numa prova, também com hitograma normal, com média de 15 acerto, ma devio padrão de acerto ignifica que 99,73% do candidato erão encontrado entre o ecore 9 e 1 acerto, (15 - (3 x )) e (15 + (3 x )). Ito é, também haverá pouco candidato (0,3%) com ecore de 0 até 8 e de até 30 acerto, conforme motrado na figura correpondente à ditribuição com devio. Analiando a dua figura, que eguem, é poível concluir que, quanto maior for o devio padrão, mai aberta é a curva (maior diperão), ou eja, maior variedade de ecore obtido pelo candidato e melhore condiçõe de dicriminar a qualificação do candidato. Curva muito fechada (pequeno devio padrão) ignificam menor diperão, ou eja, grande concentração de ecore e menor variedade do memo (muito empate). Em outra palavra, e houver muito empate, a prova poderá não avaliar devidamente a preparação do candidato. Ao memo tempo, prova muito difícei não diferenciam ecore obtido unicamente atravé de acerto caual. Fonte: Vetibular da UFRGS 005 Prova Comentada - Proceo de Avaliação Publicado pela COPERSE - UFRGS Univeridade federal do Rio Grande do Sul. Diponível em: < Aceo em: 10 Set

9 1 Introdução A medida de variação ou diperão, avaliam a diperão ou a variabilidade da equência numérica em análie, ão medida que fornecem informaçõe complementare à informação da média aritmética. A principai medida de diperão ão: a variância e o devio-padrão. Uaremo a letra para denotar a variância de uma amotra e para denotar o eu devio-padrão. Cálculo da Variância e Devio Padrão Para calcular a variância e o devio-padrão vamo analiar trê cao: i) Quando o dado ainda não foram agrupado em tabela de frequência, ou eja, etão na forma de dado bruto ou rol; ii) Quando o dado etão agrupado em ditribuiçõe de frequência variável dicreta e iii) Quando o dado etão agrupado em ditribuiçõe de frequência variável contínua..1 Dado bruto ou rol Para podermo calcular a variância e o devio padrão de dado bruto vamo uar a fórmula que eguem: Fórmula para o Cálculo da Variância de Dado Bruto ( xi x n 1 ) Variância xi Cada um do valore aumido pela variável x Média aritmética do dado bruto n Total de elemento obervado 9

10 Unidade: Medida de Diperão ou Variação Fórmula para o Cálculo do Devio-Padrão de Dado Bruto Devio-padrão Variância Vejamo um exemplo de utilização da variância e devio-padrão. Calcule a variância e o devio padrão da nota de trê turma de etudante. Quadro 1 Nota de etudante da Turma A, B e C Turma Nota do aluno Média Devio-Padrão A ,31 B ,51 C ,5 7,5 6,69 Oberve no quadro que a média e o devio-padrão da nota já etão calculado. Vamo ver como io foi feito. O devio-padrão da turma A foi calculado da eguinte forma: 1º) Determinar é a média aritmética da nota, poi a variância depende dela. Como ão dado bruto vamo relembrar a fórmula para calculo da média x xi n Uando a nota da turma A para fazer o cálculo temo: x x

11 Concluímo que a média aritmética da nota vale 6. º) Vamo calcular a variância da nota da turma A, para io vamo uar a fórmula para o cálculo da variância de dado bruto que é Vamo entender o que a fórmula etá dizendo... ( xi x n 1 ) ( x i x ) (faça a diferença entre cada nota e a média aritmética e eleve ao quadrado, depoi ome cada uma dea diferença) Depoi divida o valor que encontrou pelo total de nota meno 1 Turma Nota do aluno A x ) i x (4 6) n ( + (5-6) 1 1, (5-6) + (6-6) + (6-6) (7-6) + (7-6) + (8-6) Temo que a variância da nota vale 1,71 3º) Vamo calcular o devio-padrão da nota vamo uando a fórmula: Subtituindo a variância na fórmula e fazendo o cálculo temo: 1,71 1,31 11

12 Unidade: Medida de Diperão ou Variação Temo que o devio-padrão vale 1,31. Para calcular o devio-padrão da turma B e C foi procedido da mema forma. Conideraçõe Quadro 1 Nota de etudante da Turma A, B e C Turma Nota do aluno Média Devio-Padrão A ,31 B ,51 C ,5 7,5 6,69 Obervando o quadro1, podemo fazer a eguinte conideraçõe: A nota que geraram média 6 na trê turma ão batante diferente. O devio-padrão ão bem diferente. O menor etá na turma A, o intermediário na turma C e o maior na turma B. O devio-padrão no motra a variabilidade do dado em relação à média. A groo modo dizemo que o devio-padrão no motra e a média aritmética ofreu pouca ou muita influência do valore extremo (muito grande ou muito pequeno). Nee cao podemo afirmar que: A turma A foi a meno influenciada por valore extremo A turma C foi medianamente influenciada por valore extremo A turma B foi a mai influenciada por valore extremo.. Ditribuição de frequência variável dicreta Para calcular a variância e o devio-padrão de uma ditribuição de frequência variável dicreta vamo uar a fórmula a eguir: 1

13 Fórmula para o Cálculo da Variância da Ditribuição de Frequência Variável Dicreta ( xi x ). fi fi 1 Variância xi Cada um do valore aumido pela variável fi freqüência aboluta x Média aritmética da variável dicreta fi 1 Soma do total de elemento obervado meno 1 Fórmula para o cálculo do devio-padrão Ditribuição de frequência variável dicreta Devio-padrão Variância Vejamo um exemplo: O quadro repreenta a nota de Matemática, calcule a variância e o devio-padrão. Quadro Nota de Matemática Nota de Matemática (xi) fi Totai 0 A nota de Matemática etão agrupada em uma ditribuição de frequência variável dicreta, para calcular a variância e o devio-padrão temo que uar a fórmula correpondente. 13

14 Unidade: Medida de Diperão ou Variação 1º Vamo calcular a variância uando a fórmula ( xi x ). fi fi 1 Vamo entender o que ela ignifica ( x i x ). f i devemo ubtrair cada nota da média aritmética. Ee reultado deve er elevado ao quadrado. Depoi deve er multiplicado pela repectiva frequência. Ao final fazer o omatório dee valore fi 1omar o total de nota e ubtrair 1 Primeiro, devemo calcular a média aritmética. Para podermo, depoi uar a fórmula da variância Lembra-e da fórmula da média aritmética ponderada? É ela que iremo uar! X xi. fi fi Vamo uar a ditribuição da nota de Matemática e abrir uma coluna para podermo multiplicar xi por fi e calcular a média Nota de Matemática (xi) fi xi.fi Totai

15 Calculando a média temo: X xi. fi fi ,65 A média aritmética da nota de Matemática é 3,65 Vamo calcular agora a Variância uando a fórmula. Para podermo fazer ( x x ). i f i, vamo abrir uma nova coluna na ditribuição de frequência da nota de Matemática, para poder facilitar noo cálculo Nota de Matemática (xi) fi (xi - x ). fi 3 ( - 3,65). 3 8, (3-3,65). 5, (4-3,65). 8 0, (5-3,65). 4 7,9 Totai 0 18,55 Concluímo daí que ( x i x ). f i vale 18,55, completando a reolução. fi Calculando temo 0,98 A variância da nota de Matemática vale 0,98 15

16 Unidade: Medida de Diperão ou Variação º Vamo calcular o devio-padrão uando a fórmula Devio-padrão Variância 0,98 0,99 (devio-padrão) Conideraçõe Podemo concluir pelo cálculo que o devio-padrão vale 0,99, o que no demontra uma variabilidade pequena na nota de Matemática..3 Cálculo da variância e do devio-padrão da ditribuição de frequência variável continua Para calcular a variância e o devio-padrão de variávei continua devemo proceder como para a variávei dicreta, tomando omente o cuidado de ubtituir o xi pelo ponto médio de cada clae, uma vez que a variável etá agrupada com intervalo de clae. Fórmula para o cálculo da variância da ditribuição de frequência variável contínua ( xi x ). fi fi 1 Variância xi Cada um do valore aumido pela variável fi freqüência aboluta x Média aritmética da variável dicreta fi 1 Soma do total de elemento obervado meno 1 16

17 Fórmula para o cálculo do devio-padrão Ditribuição de frequência variável contínua Devio-padrão Variância Vamo ver um exemplo: O quadro 3, repreenta um banco de hora de uma pequena emprea. Calcule a variância e o devio-padrão. Quadro 3 Banco de hora do empregado de uma emprea Banco de hora (h) fi Total 10 1º) Para calcular a variância a primeira coia que temo que conhecer é a média aritmética dee banco de hora, cao contrario, não tem como uar a fórmula da variância. Lembra-e da fórmula da média aritmética ponderada? É ela que iremo uar! X xi. fi fi Na variável contínua para podermo calcular a média temo que fazer aparecer o xi, calculando o ponto médio entre cada uma da hora. Para io vamo abrir uma coluna para ditribuição para colocar o ponto médio e outra para podermo multiplicar xi por fi. 17

18 Unidade: Medida de Diperão ou Variação Banco de hora (h) fi xi (ponto médio) xi. fi Total X xi. fi fi 84 x 8, 4 Temo que a média do banco de hora é 8,4 h 10 Agora im, etamo em condiçõe de calcular a variância ( xi x ). fi fi 1 Vamo uar a ditribuição e abrir uma coluna para podermo calcular ( x i x ). fi Banco de hora (h) fi xi (ponto médio) (xi - x ). fi ( 8,4). 1 40, (6 8,4). 3 17, (10 8,4). 5 1, (14 8,4). 1 31,36 Total 10-10,4 18

19 Temo que ( x i x ). fi 10,4 e fi Aplicando o valore na fórmula vem: ( x i x ). fi fi 1 10,4 11, 38 9 Chegamo à concluão de que a variância vale 11,38 º Agora vamo calcular o devio-padrão uando Subtituindo o valore temo: 11,38 3, 37 Conideraçõe Feito o cálculo verificamo que a variância do banco de hora é 3,37, o que demontra uma variabilidade média na hora. NOTA Quanto maior o devio-padrão maior a variação ou diperão do dado Quanto menor o devio-padrão, menor a variação ou diperão do dado Finalizando Finalizamo mai uma Unidade onde aprendemo a calcular a variância e calcular e interpretar o devio-padrão. Como vimo, o devio-padrão fornece informaçõe que complementam a informação da média aritmética, motrando e a variação do dado que geraram a média aritmética é pequena, média ou grande. Só coneguimo identificar e um devio-padrão é pequeno ou grande e tivermo doi conjunto que tenham média iguai para podermo comparar eu devio-padrão. 19

20 Unidade: Medida de Diperão ou Variação Material Complementar UOL educação. Diponível em < Diponível em: < Infoecola. padrao/>. Vídeo obre cálculo da media e do devio-padrão. Diponível em: < Site da ADVFN. Diponível em < 0

21 Anotaçõe 1

22 Unidade: Medida de Diperão ou Variação Referência CRESPO A. A. Etatítica Fácil, 11ª Ed. São Paulo: Saraiva, DOWNING, D. Etatítica Aplicada, ª Ed. São Paulo: Saraiva, 00. MORETTIN, L.G. Etatítica Báica, 7ª Ed. São Paulo: Pearon, 000. NEUFELD, J.L.Etatítica Aplicada a Adminitração Uando o Excel. São Paulo: Pearon, 003. SPIEGEL, M.R. Etatítica, 3ª Ed. Coleção Schaum. São Paulo: Pearon, SPIEGEL, M.R. Probabilidade e Etatítica. Coleção Schaum. São Paulo: Pearon, SILVA, E.M.,Etatítica Para o Curo de; Economia, Adminitração e Ciência Contábei. 3ª Ed. São Paulo:Atla, 1999.

23

24