Função de Transferência. Função de Transferência

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1 Departamento de Engenharia Química e de Petróleo UFF Diciplina: TEQ10- CONTROLE DE PROCESSOS Função de Tranferência cuto Prof a Ninoka Bojorge Sumário metre Função de Tranferência 5. Função de tranferência de Primeira Ordem 5.5 Diagrama de Bloco 5.6 Álgebra de Diagrama de Bloco

2 Função de Tranferência metre 5. Função de tranferência de Primeira Ordem dinâmica de proceo tem como objetivo avaliar o comportamento do proceo durante variaçõe na ua entrada (alimentação ou carga) do proceo. Vária planta indutriai ão bem repreentada por funçõe de tranferência (modelo matemático) de primeira ou egunda ordem. O inai podem er repreentado utilizando: Variávei contínua ou dicreta. funçõe de tranferência atravé da tranformada de Laplace e z. 3 Função de Tranferência metre 5. Função de tranferência de Primeira Ordem Uma função de tranferência é um modelo matemático que atravé de um cociente que relaciona a repota de um itema (()) a uma inal de entrada ou excitação (U()). Por definição uma função de tranferência e pode determinar egundo a expreão: onde: G () é a função de tranferência (também denotada como H () ); () é a tranformada de Laplace da repota e U () é a tranformada de Laplace da inal de entrada 4

3 Função de Tranferência metre 5. Função de tranferência de Primeira Ordem função de tranferencia de um itema: Se ua extenivamente na análie e projeto de itema lineai invariante no tempo. É um modelo matemático do itema, no entido de que exprea a equação diferencial que relaciona a variável de aída com repeito à variávei de entrada. É uma propriedade do itema, completamente independente da inal de entrada. Relaciona a variávei de entrada e de aída, ma não proporciona informação obre a etrutura fíica do itema. Pode definir-e também como a tranformada de Laplace da repota ao impulo do itema. Se a função de tranferência de um itema é conhecida, pode etudar-e o comportamento do itema para diferente funçõe de entrada. 5 Função de Tranferência metre 5. Função de tranferência de Primeira Ordem Perturbaçõe Entrada U() VM ou X() PROCESSO G() Saída VP () 6

4 Função de Tranferência metre 5. Função de tranferência de Primeira Ordem Modelo de Proceo Qualquer decrição de um proceo pode er coniderada como eu modelo; Em termo de propóito de controle, o modelo deve conter informaçõe que permitam predizer a coneqüência da mudança da condiçõe operacionai do proceo; Um modelo pode er dede uma decrição matemática ou até qualitativa do comportamento de um proceo. 7 metre 5. Função de tranferência de Primeira Ordem Degrau: ocorre uma variação abrupta da entrada. Pode er executada na prática. Por exemplo, uma variação degrau em uma vazão volumétrica pode er obtida pela abertura bruca de uma válvula. Impulo: é uma variação abrupta da entrada, entretanto de curtíima duração (intantânea). Perturbação ideal. Pulo: é uma variação na entrada, de duração finita (intantânea). Pode er executada na prática. Utilizada em identificação de itema. Rampa: a entrada varia linearmente com o tempo. h a ( ( ) 1 X RP ( ) (1 exp( tw)) X R ( ) X ) M X impule 8

5 Função de tranferência de Primeira Ordem - Modelo de Primeira Ordem h( u( q i Equema de um tanque de fluxo por gravidade R q metre 5. Função de tranferência de Primeira Ordem qi - vazão volumétrica de entrada; q - vazão volumétrica de aída; - área de eção tranveral do tanque; ρ - denidade do líquido; R - reitência à paagem do fluxo de aída devido à força de atrito na tubulação de aída; h - o nível de líquido no tanque (variável de aída do proceo), aquela que temo o interee em controlar. plicando Lei de Conervação e relaçõe dh( qi (. ρ i ( q(. ρ( ρ( dt h( q( R (1) () 9 Função de tranferência de Primeira Ordem metre 5. Função de tranferência de Primeira Ordem - Modelo de Primeira Ordem... contin. h( u( q i Equema de um tanque de fluxo por gravidade R q Subt. () em (1) e reordenando: dh( R h( Rq dt L R h( ) qi ( ) 1 R.. L -1 i ( h( Rq i (1 e t / ) 10

6 Função de tranferência de Primeira Ordem metre 5. Função de tranferência de Primeira Ordem - Modelo de Primeira Ordem... contin. u( q i h( Rq i (1 e t / ) h( R q h( Equema de um tanque de fluxo por gravidade Repota a degrau para um itema de 1ª ordem 11 Função de tranferência de Primeira Ordem metre 5. Função de tranferência de Primeira Ordem - forma Geral de uma função de tranferência de primeira ordem ( ) (5.1) ( ) K X 1 onde K é o ganho etático o proceo e é a contante de tempo. Encontrar () e y( para alguma entrada particular X()? 1. Repota degrau. M X ( ) K ( ) 1 M y( KM (1 exp( t )) (5.) (5.3) (5.4) Repota ao Degrau 1

7 Uma caracterítica de itema de primeira ordem é que não reponde intantaneamente a uma úbita mudança na ua entrada e depoi de um intervalo de tempo igual à contante de tempo do proceo (), a repota do proceo é apena 63,% da variação total. Teoricamente, o reultado do proceo nunca atinge o novo valor do etado etacionário, uma aproximação do novo valor obtém-e quando t é igual a 3-5 veze a contante de tempo do proceo.. Repota Rampa a X ( ) (5.5) Ka Ka Ka ( ) ( 1) 1 Ka Ka C B 1 Ka 1 0 Propriedade intereante para grande valore de tempo (t >>). y ( Ka (exp( t ) 1) kat (5.7) y ( t ) Ka ( t ) (5.8) Figura repota Rampa - Comparação de entrada e aída pó um período inicial tranitório, a entrada Rampa produz uma aída rampa com inclinação igual a Ka, ma delocada no tempo, pela cte de tempo do proceo,.

8 3. Repota Senoidal ω X ( ) (5.9) ω Kω K ω ω ω ) ( ω )( 1) ω 1 1 ω ω ( Por identidade trigonométrica. K y ω 1 (5.10) [ ω exp( t ) ω co( ω in( ω )] (5.11) ( t onde: Kω K y( exp( t ) in( ωt ω 1 ω 1 φ ) (5.1) - Por identidade trigonométrica φ tan 1 ( ω ) onde: a inθ b coθ a b in( θ φ) φ tan 1 ( b a) (5.13) Obervaçõe: metre 5. Função de tranferência de Primeira Ordem Em ambo (5.11) e (5.1), qdo t o termo exponencial, tende para zero e fica como uma repota pura enoidal. Repota de Frequência! (erá dicutida em unidade poteriore). y( K ω 1 Fae lag u ( y (t ) 1 3 ω t Proceo φ(ω) 1 3 ω t Figura Repota típica enoidal 16

9 O que é um proceo de integração? Proceo de integração tem unidade (1/) em ua função de tranferência. - Em malha aberta o proceo é intável (não-auto-regulação). Um proceo que não pode chegar a um novo etado de equilíbrio quando é ujeito a mudança degrau na entrada é chamado de proceo em malha aberta intável ou Proceo não-auto-regulatório". Qual itema é um proceo de integração? (a) u( (b) u( q i q i y( q y( q Figura - Sitema de nível de líquido com uma bomba (a) ou válvula (b). 17 Repota: (a) é o proceo de integração! vazão do efluente em (b) aumenta automaticamente e aumenta o nível. Portanto, e a vazão do afluente é maior, então o nível vai aumentar, e a vazão do efluente também aumentará. Se a vazão de efluente aumenta também a vazão afluente aumentou de modo que o nível irá convergir. Sitema de nível de líquido com uma válvula é um proceo etável (ou autoregulatório). Ma, no itema (a), independentemente do nível, a vazão do efluente é contante devido à bomba. im, e a vazão do afluente é maior que a vazão do efluente o nível empre aumentará, e vice-vera. ou eja, a diferença entre a vazão do afluente e a vazão de efluente é integrado ao proceo de aída (o nível). Sitema de nível de líquido com uma bomba é um proceo intável (ou nãoauto-regulatório). 18

10 Exemplo dh dt q i q onde q é independente do h H ( ) Qi ( ) Q( ) H ( S) Qi ( ) Q( ) (5.14) (5.15) (5.16) Proceo de Integração u( q i h y( q Figura Sitema de Nível de Liquido com um bomba de itema de egunda ordem Um itema de egunda ordem é aquele cuja aída y( é decrita pela olução de uma equação diferencial de egunda ordem. d y dy a a1 ao y dt dt onde u( é a entrada (função forçada). bu( Sea 0 é diferente de zero, a equação anterior e ecreverá: 5.17 d y dy ξ dt dt y K P u (

11 ... cont. d y dy ξ dt dt a y onde: 1, ξ e K P ao ao o a equação (5.18) é a forma normal de um itema de egunda ordem, onde ξ K p K : período de ocilação normal do itema, : fator de amortecimento a P u ( : ganho etacionário, ou ganho imple do itema b a função de tranferência padrão de um itema de egundo ordem: G ( ) y u ( ) K P ( ) ξ cont. função de tranferência de egunda ordem pode urgir fiicamente. Doi proceo de 1 a - ordem conectado em érie. G( ) ( ) X ( ) K1K ( 1)( 1) 1 K ( 1)( 1) 1 (5.0) U() K1 U () K () Figura Doi itema de primeira ordem em érie reulta num itema de egunda ordem. O modelo do proceo: equação diferencial de egunda ordem G ( ) y u ( ) K P ( ) ξ

12 Sitema de doi tanque em érie 3 Trê ubcao importante. Denominador de eq.(5.19): ζ 1 ( 1)( 1) ζ ζ 1 ζ ζ 1 Raíze ; 1 (5.) ζ ζ 1 ζ ζ 1 (5.1) (5.3) ζ < 0 ; itema de egunda ordem intável que teria uma repota em limite para qualquer entrada. 4

13 Repota da FT ª ordem para entrada tipo Degrau M X ( ), ( ) ( Cao a ζ >1 KM ζ 1) (5.4), raíze ão reai e ditinta: Sobreamortecida ζt y( KM{1 exp( )[coh( ζ 1 t ζtζ t y ( t ) KM [1 (1 )exp( )] Cao b. ζ inh(, raíze dupla : Criticamente amortecida (5.6) ]} (5.5) Cao c. 0 ζ <1, raíze complexa: Subamortecida ζt y( KM{1 exp( )[co( KM{1 1 ψ ζ 1 onde tan ( 1 ) ζt exp( )in( ζ ζ in( t ψ )} ]} (5.7) (a) (b) Figura - Repota de proceo de egunda ordem para perturbação Degrau (a) obreamortecida e criticamente amortecida (b) ubamortecida Obervação KM >1 Repota que exibem ocilação e overhoot ( ) ão obtida apena para valore de ζ inferiore a hum. Valore grande de ζ reulta uma repota lenta. Repota mai rápida, em overhoot ζ 1 é obtida para o cao de amortecimento crítico. y

14 Uma érie de termo que decrevem a dinâmica do proceo ubamortecido. 1. Tempo de elevação (t r ) é o tempo a aída proceo leva a primeira atingir o valor de etado etacionário de novo.. Tempo do 1º pico (t P ) é o tempo neceário para a aída para atingir o eu valor máximo em primeiro lugar. 3. Tempo de aentamento (t ) é definido como o tempo neceário para atingir a aída do proceo e permanecem dentro de uma banda cuja largura é ± 5% da alteração total em y. 4. Overhoot. OS a 5. Tempo de Decaimento b DR c a Repota caracterítica do deempenho de um proceo da -ordem a um Degrau. DR ( OS) exp( πζ ) 6. Período (P) é o tempo entre doi pico uceivo da repota. Tempo de ubida. t r ( π ψ ) (5.36) 1 ζt t Q 1 1 exp( )in( ψ ) t in( ψ ) 0 Tempo do 1 ro pico [ Qdy dt 0 ] t p π Overhoot. OS exp( πζ ) (5.37) (5.38) [ Qa y( t t p ) b KM exp( πζ )]

15 Razão de decaimento DR ( OS) exp( πζ ) [ Qc y( t 3π ) b KM exp( 3πζ ) ] π Período de ocilação P 1 ζ Função de Tranferência comun KGanho; contante de tempo; ζ fator de amortecimento; t D tempo morto Entrada U() VM ou X() PROCESSO G() Saída VC () ( ) G ( ) X ( ) VC VM 30

16 Função de Tranferência comun KGanho; contante de tempo; ζ fator de amortecimento; t D tempo morto Sitema de primeira ordem Sitema de egunda ordem VC( ) K VM VC( ) VM ( ) 1 K ( ) ζ 1 Primeira ordem mai tempo morto VC( ) VM ( ) K e 1 t D Segunda ordem mai tempo morto VC( ) VM ( ) K e ζ 1 t D Diagrama de Bloco 5. Função de tranferência de Primeira Ordem metre 5.5 Diagrama de Bloco 5.6 Álgebra de Diagrama de Bloco Diagrama de Bloco O diagrama de bloco é contruído a partir da equaçõe que decrevem um determinado itema. Um diagrama de bloco de um itema é uma repreentação da funçõe deempenhada por cada componente e de fluxo de inai. Ete diagrama indica a inter-relação que exite entre o vário componente, onde toda a variávei do itema ão ligada à outra atravé da relação entre a entrada e aída do bloco. Eta relação é a chamada função de tranferência. 3

17 Álgebra de Diagrama de Bloco 5. Função de tranferência de Primeira Ordem metre 5.5 Diagrama de Bloco 5.6 Álgebra de Diagrama de Bloco Para analiar o comportamento de um itema etabelece-e relaçõe entre a varia variávei dete itema, pela ubtituição da variávei intermediaria, na equaçõe que decrevem o itema, de forma que reulte uma expreão que relacione diretamente a variávei de interee. Ou atravé da implificação do diagrama de bloco. Regra Principal: Não alterar a relação entre a variávei de entrada e aída do bloco que e quer implificar. 33 Álgebra de Diagrama de Bloco 5. Função de tranferência de Primeira Ordem metre 5.5 Diagrama de Bloco 5.6 Álgebra de Diagrama de Bloco 1) B C B - C - B C - - B - C - ) G 1 G G 1 G G G 1 G 1 G 34

18 Álgebra de Diagrama de Bloco 3) G 1 ( B) 5. Função de tranferência de Primeira Ordem metre 5.5 Diagrama de Bloco 5.6 Álgebra de Diagrama de Bloco B - G 1 G 1 _ 4) G 1 G B B G 1 Profa. Nin noka Bojorge B G 1 G Álgebra de Diagrama de Bloco 5. Função de tranferência de Primeira Ordem metre 5.5 Diagrama de Bloco 5.6 Álgebra de Diagrama de Bloco 5) (G 1 G ) G G 1 /G G1 G 36

19 Álgebra de Diagrama de Bloco 5. Função de tranferência de Primeira Ordem metre 5.5 Diagrama de Bloco 5.6 Álgebra de Diagrama de Bloco 6) Conexão de bloco em malha fechada 37 Álgebra de Diagrama de Bloco 5. Função de tranferência de Primeira Ordem metre 5.5 Diagrama de Bloco 5.6 Álgebra de Diagrama de Bloco 7) Movimento de bloco em relação a um omador 38

20 Álgebra de Diagrama de Bloco 5. Função de tranferência de Primeira Ordem metre 5.5 Diagrama de Bloco 5.6 Álgebra de Diagrama de Bloco 8) Movimento de bloco em relação a ponto de junção 39 Álgebra de Diagrama de Bloco 5. Função de tranferência de Primeira Ordem metre 5.5 Diagrama de Bloco 5.6 Álgebra de Diagrama de Bloco 9) Movimento de bloco para dentro do ponto de junção 40