MECÂNICA DO CONTÍNUO. Tópico 2. Cont. Elasticidade Linear Cálculo Variacional

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1 MECÂNICA DO CONTÍNUO Tópico 2 Cont. Elaticidade Linear Cálculo Variacional PROF. ISAAC NL SILVA

2 Lei de Hooke Até o limite elático, a tenão é diretamente proporcional à deformação: x E. e x e e y z n E n E x x Em que = F/A, e=dl/l, E é o Módulo de Elaticidade ou de Young e n é o coeficiente de Poion.

3 Matriz Jacobiana É a matriz formada pela derivada parciai de primeira ordem de uma função vetorial. O jacobiano é o determinante da matriz. ou =

4 Tenor de Tenão de Cauchy ij é o tenor de de Cauchy (F/A). O primeiro índice (i) indica o plano e o egundo (j) a direção. Pelo princípio da reciprocidade da tenõe ij = ji. ij Tenore de tenão. Fonte: Wikipedia.

5 Parâmetro de Lamé Coeficiente de Poion >>> Tenore de tenão. Fonte: Wikipedia.

6 Tenore imétrico reai São aquele encontrado em problema prático da engenharia, fíica, geofíica, etc. Exemplo: Tenor tenão Tenor deformação Tenor grad. de deformação Se ão imétrico, então: T = T t e T = T + T t T A = T - T t 2 2

7 Dinâmica do Contínuo Se x = x(x, t) é um movimento, a velocidade e a aceleração do ponto no intante t ão definido por: Coniderando 3D:

8 Definiçõe O Cálculo Variacional é o ramo da matemática que conite em maximizar ou minimizar funcionai. Um exemplo prático dio é o uo de aplicativo que garantem o menor tempo poível entre doi ponto numa determinada cidade, coniderando a condiçõe do tráfego na via: Fonte: Internet.

9 braquitócrona Um exemplo cláico de problema do éculo XVII 1696 foi a olução da curva braquitócrona (do grego: brakhito: o mai curto e chrono: tempo). O que e queria aber era: dado doi ponto, num epaço obre a influência de um campo gravitacional contante, qual é a curva para qual a trajetória é efetuada no menor intervalo de tempo poível. Foi Bernoulli quem demontrou a repota, decrevendo geometricamente a olução. O método que uou à época, não uava ferramenta de cálculo infiniteimal ou de equaçõe diferenciai.

10 Fonte: paralyibyanalyi52.wordpre.com Equação Diferencial de Euler-Lagrange: f / y d/dx f/ y = 0 A Equação de Euler-Lagrange e a condiçõe de contorno y(x0) = y0 e y(x1) = y1 fazem o funcional etacionário.

11 Onde o cálculo variacional é empregado Problema de maximização Qual a geometria de uma peça (perfil da eção) de modo a e ter a máxima reitência mecânica para um peo do componente contante? Problema de minimização Qual a uperfície de um perfil aerodinâmico utilizado em um avião, de modo a e ter a menor reitência aerodinâmica?

12 Funcional Funcional I é uma grandeza ecalar, repota a uma função, que aume um valor epecífico, dependendo da função utilizada. Em outra palavra, funcional é uma função de funçõe. Função y=2x Funcional y=f(y(x)) x y1,y2,y x y1,y2, y x y1, y2, y3...

13 Funcional No problema aqui abordado, ea função pode aumir a forma de uma equação integral definida: I xx 2 F( x, y, y') dx Funcional báico xx1 Onde x é a variável independente, y=y(x) e y =dy/dx.

14 A funçõe devem er contínua, pelo meno até a ordem (m-1), ou eja, de clae C m-1, para que exitam derivada até a ordem m, endo integrável, portanto. A funçõe devem atender à condiçõe geométrica de contorno. O funcional mapeia a funçõe admiívei no epaço do número reai R. O cálculo variacional etabelece, entre a funçõe admiívei, aquela que etacionaliza o funcional (encontra o valor máximo ou mínimo).

15 Cálculo da variaçõe Seja a função f(x). Se num ponto x=a temo um mínimo local, então, na vizinhança de a f(x)>f(a), para todo x a. Sabe-e que a condição neceária para um mínimo ou máximo em x=a é que f (a)=0. Exceção: ponto de inflexão. Aim, em f (a)=0, o valore de f(a) ão dito valore etacionário ou extremo de f. Sua determinação é chamada de problema de extremização de f.

16 Máximo e mínimo de uma função Fonte: internet.

17 Variação de um funcional Coniderando o funcional báico: x x f I F( x, y, y') dx xx 0 O valor de I depende do ponto inicial e final ecolhido, bem como da trajetória. Admitindo a exitência de um caminho Y que extremize I, ou eja, minimize I com relação a outro caminho vizinho y.

18 Variação de um funcional y y1 y(x2) Y = caminho extremizante y(x1) Y y2 y = caminho vizinho variado x1 x2 x Pode-e exprear a variação da função y como: y(x) Y(x) = dy Em que d repreenta uma variação infiniteimal em y, para um valor fixo de x. Diferentemente de dy que é um incremento em y para um incremento em x.

19 Condição neceária (Diferencial de Euler-Lagrange) Para que o funcional eja extremo, há neceidade que di tenha o memo inal que dy, naquela região. Onde di: Para que io eja poível, a expreão dentro do colchete deve er nula, o que acarreta di=0.

20 Equação de Euler-Lagrange

21 Princípio de Hamilton O Princípio de Hamilton diz que a dinâmica entre doi intante em itema conervativo é dado pelo extremo do funcional: tt tt f 0 Ldt onde L (Ec Ep) é o Lagrangeano, Ec é a energia cinética e Ep é a energia potencial. O Cálculo Variacional é empregado na reolução do problema de extremização dee funcional.

22 Exemplo O comprimento entre o ponto A e B da curva pode er dado pelo omatório de (d). Encontre a curva de menor comprimento que liga o ponto A e B: y A y A B B x x L d B d A

23 Exercício Voltando ao exemplo da braquitócrona, motre como o cálculo variacional pode contribuir para e chegar ao reultado da melhor trajetória, tomando-e como dado: -Utilizar o princípio da conervação da energia -Utilizar a expreão para a velocidade v=d/dt