Na Física (em módulo) é uma Lei

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1 1 a interpretação Interpretações matemáticas Na Física (em módulo) é uma Lei Elementos de uma expressão matemática Variável dependente Coeficiente Variável independente

2 2 a interpretação Interpretações matemáticas Considerando-se a situação, em que, um móvel se desloca devido a aplicação de uma força, como também, sabendo-se que massa do móvel é constante (m = 10 kg) e a aceleração não será modificada (a = 2 m/s 2 ). Logo, Ou seja, em relação ao tempo as variáveis não modificam. Assim, Na Física, situação escalar

3 3 a interpretação Interpretações matemáticas Usando o mesmo exemplo anterior, em que, devido a agentes físicos externos (Força de Atrito) a aceleração é modificada ao decorrer do movimento Logo, Na Física, situação vetorial

4 Demonstrar a equação diferencial Velocidade (v), grandeza física que modifica a posição (s) ao decorrer do tempo (t) Aceleração (a), grandeza física que modifica a velocidade (v) ao decorrer do tempo (t)

5 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) Classificações São as que envolvem uma única variável independente nas derivadas ordinárias. Equações Diferenciais Parciais (EDP) São as que envolvem duas ou mais variáveis independentes nas derivadas parciais. Variável dependente Variáveis independentes Derivadas parciais (variáveis diferentes)

6 Classificações EDO Lineares Pode possuir: Potência na variável independente Produto da variável dependente com a independente ou com suas funções Produto da variável independente com suas derivadas EDO Não Lineares Pode possuir: Potência na variável dependente Potência nas derivadas Produto da variável dependente com suas derivadas

7 Classificações EDO Lineares Homogêneas Possui zero em um dos termos da equação EDO Lineares Não Homogêneas Não possui zero em um dos termos da equação

8 Exercício Evidencie a ordem e a classificação das equações diferenciais abaixo:

9 Natureza dos Coeficientes EDO com Coeficientes Constantes Se os termos estiverem correlacionados com a variável dependente ou suas derivadas. Coeficientes Variável dependente ou derivada EDO com Coeficientes Variáveis Se os termos estiverem correlacionados com as variáveis dependentes ou de suas derivadas e contiver a variável independente. Coeficientes Variável independente Variável dependente ou derivada

10 Tipos de Soluções Em uma equação algébrica são os valores que podem satisfazer a equação. Exemplo

11 Tipos de Soluções Já, em uma equação diferencial são as funções que podem satisfazer a equação. Exemplo Prove que a função: y = 3e 2x é a solução da equação diferencial: y 4y = 0

12 Tipos de Soluções Solução Geral (SG) Não existe um método de solução geral para todas equações diferenciais Existem técnicas de soluções (Condição Inicial e Condição de Contorno) para diferentes classificações de equações diferenciais Acontece de usar mais de uma técnica para solucionar uma equação diferencial Algumas vezes, a solução de equações diferenciais somente podem ser resolvidas por artifícios matemáticos Poucas outras, não possuem solução analítica

13 Tipos de Soluções Solução Geral (SG) Condições para EDO de 2 a Ordem e Homogênea, que evidencie:

14 Tipos de Soluções Condição Inicial e de Contorno Brasil Nordeste Planeta Fazer a previsão pluviométrica no Nordeste apenas com os dados meteorológicos locais. É uma Condição inicial Mas, será que teremos todos os dados meteorológicos necessários? Nem sempre Será que apenas os dados locais são necessários para uma previsão pluviométrica com grande margem de precisão? Não Coletar dados meteorológicos do contorno do Nordeste. É uma Condição de Contorno

15 Exemplo Um cientista ao trabalhar com vários dados coletados por outro estudioso evidenciou a seguinte equação diferencial: Dessa forma, ajude o cientista a encontrar a: a) A solução geral da equação. b) Os valores para a condição inicial quando: c) Os valores para a condição de contorno quando:

16 Resolução (a)

17 Resolução (b)

18 Resolução (b)

19 Resolução (b)

20 Resolução (c)

21 EDO POR INTEGRAÇÃO Apenas algumas EDO podem ser resolvidas por integração direta. A EDO deve possuir um termo único com uma derivada de y e nenhum termo relacionado com y. Exemplo A Resolução por Integração Direta Exemplo B Não resolve por Integração Direta

22 Exemplo Das EDO abaixo, verifique a(s) que pode(m) ser resolvida(s) por Integração Direta e encontre a(s) solução(ões) da(s) que é(são) possível(is).

23 Resolução

24 Resolução

25 Resolução

26 Demostre que a função pode ser a solução da EDO Exercício Equação Diferencial Função Solução

27 Demostre que a função pode ser a solução da EDO Exercício Equação Diferencial Função Solução

28 Sistema (massa-mola) Para modificar o estado inercial aplica-se: EDO com Aplicações A massa ao se deslocar evidencia a força resistente da mola. Os sistemas mecânicos experimentam o atrito de seus próprios elementos, em que, tal força é proporcional à velocidade e o coeficiente de amortecimento. Mais outras forças externas.

29 Sistema (massa-mola) EDO com Aplicações

30 Analise se a equação: Resolução Exemplo que representa o movimento de um oscilador do tipo massa-mola amortecido é uma solução para a EDO para esse tipo de sistema. Sabendo-se que F externa = 0, m = 1, k = 25 e b = 6.

31 Resolução Exemplo

32 Resolução Exemplo

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