UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA. LMAEE Laboratório de Matemática Aplicada a Engenharia Elétrica

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1 unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE GUARATINGUETÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA LMAEE- - Laboratório de Matemática Aplicada a Engenharia Elétrica LAB. 3 RESOLUÇÃO, DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS USANDO O COMPUTADOR ANALÓGICO E O SOFTWARE MATLAB/SIMULINK. INSTRUÇÕES - As atividades de laboratório deverão ser feitas individualmente, e os relatórios em grupos de até 3 (três) alunos, e entregue no prazo máximo de semana após a realização do EXPERIMENTO; - As soluções deverão ser de forma clara, simples e organizadas. Se houver figuras, tabelas e equações, essas deverão ser numeradas e referenciadas. Não deverá ser utilizado no relatório material já apresentado na introdução; 3- Sempre que houver listagens de sessões do Matlab, estas deverão ser incluídas. 4- A folha de rosto do relatório será a página que contém as atividades. PROPOSTA Neste laboratório, você será introduzido ao Matlab/Simulink na solução de equações diferenciais ordinárias lineares e também equações diferenciais não-lineares. Com o Matlab/Simulink, você pode facilmente resolver estas equações e através de sua grande capacidade de visualização, cálculo e plotagem, usado extensivamente como ferramenta de simulação. Serão introduzidos também, os procedimentos para resolução de equações diferenciais lineares e não-lineares usando um antigo procedimento que ainda apresenta algumas vantagens sobre a simulação digital que é o computador analógico. OBJETIVOS Resolver equações diferenciais usando computador analógico e digital. Determinar as propriedades das equações diferenciais de ª e ª ordem definidas por parâmetros e entradas. REFERÊNCIAS - Material disponível na Web relacionado no endereço: - Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno. Prentice Hall do Brasil, 3a. Ed., Hanselman, D.; Littlefield, B. MATLAB 5: Versão do Estudante, Guia do Usuário, Makron Books, 999. INTRODUÇÃO FUNDAMENTOS DO COMPUTADOR ANALÓGICO USO COMUM DO COMPUTADOR ANALÓGICO Embora computadores analógicos possam ser usados para solução de problemas que não envolve equações diferenciais, eles são freqüentemente considerados como solucionadores de equações diferenciais. Por esta razão, o Computador Analógico tem sido chamado Analisador Diferencial. Como nós sabemos, equações diferenciais são importantes no estudo de sistemas dinâmicos, porque nestes sistemas as variáveis importantes são mudadas com respeito a cada outra, tanto que seu comportamento possa ser expresso matematicamente por equações diferenciais. Em alguns casos as variáveis físicas são mudadas com respeito ao tempo real, e nós estamos preocupados em encontrar o chamado Comportamento Transitório do sistema. Em outros casos as variáveis não estão mudando com respeito ao tempo, e nós talvez queiramos estudar a solução em Regime Versão 8-5/03/009

2 Permanente do sistema. Embora o computador analógico possa ser usado para solução de problemas em regime permanente assim como para solução de problemas transitórios, é no ultimo caso que o computador tem sido usado com mais freqüência. Os computadores analógicos têm sido úteis na solução de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes tais como a equação n dy( d y( d y( a + a a F( n = n onde a, a,... a n = constantes F(= função que pode ser igual a zero ou alguma função arbitrária do tempo t. ou: F m du d u = f ( t,,..., ) m m n Uma das mais úteis aplicações do computador analógico é na solução de equações não-lineares, que em geral não apresente solução analítica. Como nós recordamos, uma equação diferencial não-linear é aquela que a variável dependente ou uma ou mais de suas derivadas aparecem elevada a uma potência diferente da unitária ou como argumento de uma função. Exemplos: d x dx d x ε ( x ) + x = 0, + x c = 0, d y dy m + c + k sen y = k Certos tipos de equações diferenciais parciais, lineares ou não-lineares, podem também ser resolvidos usando computadores analógicos. As mais importantes são: a- Equação Parabólica, tal como a equação de difusão que é importante no estudo de transferência de calor. ϕ ϕ = k + kϕ + k3, t b- Equação Hiperbólica, tal como as equações de onda que governam muitos sistemas físicos envolvendo propagação de ondas. ϕ ϕ ϕ = k + k + k3ϕ, t t E também equações elípticas como a equação de Poisson, podem ser resolvidas mais convenientemente com computadores analógicos eletrônicos. Versão 8-5/03/009

3 OS COMPONENTES DE UM COMPUTADOR ANALÓGICO 3 Suponha que a equação dy( d y( a y( + f( a 0 = 0 Será resolvida com um computador analógico eletrônico. Observando as operações requeridas nesta equação, nós concluímos que componentes são necessários para: a- multiplicar uma variável ou uma função por uma constante, como em b- gerar as derivadas de uma variável, c- gerar funções arbitrárias tais como f ( ), d- multiplicar duas funções tais como d y( a 0 y(, a etc..., t dy( f ( e, e- realizar a adição e subtração de variáveis e funções como requerido pelo lado esquerdo da equação. Em um computador analógico eletrônico estas operações básicas são realizadas em tensões (voltagens) por caixas pretas eletrônicas que recebem tensões em seus terminais de entrada, operam nestas tensões continuamente, e produzem tensões em seus terminais de saída que são algumas funções das tensões de entrada. A analogia envolvida no uso destes computadores é a analogia que o usuário deve levantar entre as variáveis físicas tais como deslocamento, velocidades, ângulos, pressões e as várias tensões presentes no computador. MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE Uma das mais simples operações que podem ser realizadas em tensões é a multiplicação por uma constante. Se a constante é menor que (isto é simplesmente um divisor de tensão), a operação pode ser feita com um potenciômetro ou atenuador (às vezes chamado um pot ). Este dispositivo efetua a multiplicação por uma constante que não excede a unidade e também não inverte o sinal. Observar tabela. BLOCO MULTIPLICADOR CONSTANTE O potenciômetro é um dispositivo passivo e pode proporcionar apenas atenuação. Um dispositivo ativo que proporciona ambos, atenuação e amplificação é o bloco multiplicador constante, que é realizado por um amplificador operacional e duas resistências, como mostrado na tabela. SOMADOR A adição de duas ou mais tensões é executada pelo bloco somador que também é efetuado por um amplificador operacional observar tabela. INTEGRADOR Antes de discutir um bloco analógico que efetua a operação de integração, vale a pena rever alguns conceitos básicos de integração. Primeiramente relembre que b a f ( x) dx É chamada integral definida de f(x). A função f(x) é chamada Integrando e os números a, b são chamados limites de integração. Versão 8-5/03/009

4 4 Observar tabela para mais detalhes. Versão 8-5/03/009

5 5 Tabela : (Introdution to system dynamics - pág. 77, Shearer) PROCEDIMENTO PARA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS USANDO COMPUTADOR ANALÓGICO Como ilustração considere a equação diferencial: Versão 8-5/03/009 x ( + 0 x( + 6x( = 0, x(0) = 0, x(0) = 8 O primeiro passo na montagem de um diagrama de computação é assumir que a derivada de ordem mais elevada está disponível. Então, é só resolver a equação diferencial para esta derivada de ordem mais alta. Na equação acima: x( = 0 x( 6x(

6 Note que a variável x ( pode ser obtida integrando x( e também que x ( pode ser obtida integrando (. A figura mostra um diagrama de computação para este sistema. Nós produzimos os sinais 0 ( e x 6x( pelo uso de dois integradores e um inversor de sinais. O próximo passo é adicionar estes dois sinais, e igualar o resultado a x(, o termo de mais alta derivada que foi inicialmente assumido como disponível. Finalmente, as condições iniciais são ajustadas na saída dos integradores (As condições iniciais são indicadas nos círculos). x 6 Figura É importante recordar que há uma mudança de sinal associada com cada amplificador operacional. Assim se o número de amplificadores operacionais (integradores, somadores e inversores) em uma malha fechada é par, a tensão de saída aumentará até saturar. Portanto, para eliminar qualquer chance de operação instável o número de amplificadores operacionais em qualquer malha fechada deve ser em quantidades ímpares (No diagrama de computação visto na figura, a malha interna tem um amplificador, e a malha externa (de saída), três amplificadores). Este requisito serve como um teste conveniente para ver se há algum erro na montagem do diagrama de computação. Versão 8-5/03/009

7 unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE GUARATINGUETÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 7 LMAEE- - Laboratório de Matemática Aplicada a Engenharia Elétrica LAB. 3 - RESOLUÇÃO, DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS USANDO O COMPUTADOR ANALÓGICO E O SOFTWARE MATLAB/SIMULINK. Aluno: Nº: Aluno: Nº: Aluno: Nº: - Resolver a equação diferencial de a. ordem (analiticamente). Fazer um diagrama de simulação para ser implementado no computador analógico. Desenhe o diagrama de simulação digital (para o simulink), faça a simulação digital e responda: - os valores obtidos na simulação, são os esperados teoricamente? Justifique? dy( ( ) t a- + y( = + e ; y(0) = - Resolver a equação diferencial de a. ordem (analiticamente). Fazer um diagrama de simulação para ser implementado no computador analógico Desenhe o diagrama de simulação digital (para o simulink), faça a simulação digital e responda: - os valores obtidos na simulação, são os esperados teoricamente? Justifique? a- y ( + 3 y( + y( = 4; y(0) = 5; y(0) = 3- Proponha um exercício para resolver uma equação diferencial de a. ordem ou superior (analiticamente) e diferente da equação apresentada anteriormente. Fazer um diagrama de simulação para ser implementado no computador analógico. Desenhe o diagrama de simulação digital (para o simulink), faça a simulação digital e responda: - os valores obtidos na simulação, são os esperados teoricamente? Justifique?. 4- Fazer um diagrama de simulação para ser implementado no computador analógico para gerar as funções: 3 t a- x( = Asen( ω b- y ( = t ; y(0) = Mostre que as funções: y 5x 3x ( x) = e e y ( x) = e, são soluções da equação diferencial y ( y ( 5y( = 0 xy 6- Demonstre que a relação: x + y + e = 0, é solução implícita de xy dy xy ( + xe ) + + ye = 0 dx Versão 8-5/03/009

8 8 7- Frenagem de um vagão: Considere o problema de frenagem, através de uma mola, para o vagão representado na figura abaixo. Considerando que o vagão está sujeito à força de atrito, devido a fricções nos seus eixos, e que o instante inicial do estudo é o de seu choque com a mola, obtenha as equações que regem o comportamento do sistema, com os parâmetros apresentado adiante, determine o diagrama para a simulação em computador analógico dos comportamentos da sua posição, velocidade e aceleração. Faça, usando o Simulink, a simulação deste sistema com os parâmetros e as condições iniciais dadas. Comente o resultado obtido. Dados: M = 0000kg D = 000Ns / m K = 5000N / m Velocidade inicial =,0m / s BIBLIOGRAFIA SUGESTÕES (Relacionar possíveis sugestões para melhoria deste lab. de Análise e Controle de Sistemas Dinâmicos). Versão 8-5/03/009