MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF)

Transcrição

1 3 0 Exercício Programa de PMR 2420 Data de entrega: 17/06/2013 (até as 17:00hs) MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF) 1) Considere a estrutura da figura abaixo sujeita a duas cargas concentradas F 3 (t) e F 6 aplicadas nos pontos 3 e 6, respectivamente. Além disso, o pórtico é submetido a um momento concentrado M 2 (t) no ponto 2. A força F 6 é constante em toda a análise e sua magnitude é de 5 kn. a) Utilizando o software ANSYS (ou similar): a.1) Obtenha e plote os 6 primeiros modos de vibrar e frequências de ressonância da estrutura (sem amortecimento);

2 a.2) Obtenha a resposta transiente da estrutura utilizando o método direto Newmark. Considere os coeficientes de amortecimento do modelo de Rayleigh = 3x10-1 e = 3x10-2 ([C]=[M]+[K]). Plote (utilizando um gráfico por caso) o deslocamento δ x e δ y dos pontos 2, 3 e 6 indicados na figura em função do tempo até 6s. Condição inicial: velocidades e deslocamentos nulos; a.3) Discuta a influência da discretização da malha nos valores de frequência de ressonância e da discretização do tempo t no deslocamento do ponto 6. b) Utilizando o software SCILAB (ou MATLAB): b.1) Desenvolva um programa específico de MEF para resolver o problema acima baseando-se nos programas listados na apostila a doc; b.2) Resolva os itens a.1) e a.2) novamente utilizando o seu programa; b.3) Compare os resultados do ANSYS (ou similar) com os resultados do seu programa (por exemplo, plote ambos os resultados no mesmo gráfico). 2) Considere a peça simétrica da figura abaixo. Resolva o problema usando o programa ANSYS (ou similar) considerando estado plano de tensões ( plane stress ), ou seja: a) Plote a estrutura deformada e identifique o máximo valor de deslocamento e onde ocorre;

3 b) Plote as tensões mecânicas de von Mises na estrutura e obtenha os valores de tensão nos pontos A, B, C, D, E e F. Verifique a influência da discretização da malha nos resultados; c) Suponha que a tensão de escoamento do material é 250 MPa. Determine a partir do modelo de MEF, a espessura mínima da placa para que a tensão de von Mises não seja ultrapassada em nenhum ponto da estrutura; d) Identifique o máximo valor de tensão de von Mises e onde ocorre, bem como os demais pontos onde ocorrem concentração de tensões na estrutura. Sugira modificações na estrutura para reduzir a concentração de tensões; OPTATIVO Esse exercício (EX) é optativo e entrará no cálculo da média final da seguinte forma: MF=0,8M+0,2EX, onde M é a média calculada como descrito no programa do curso e EX a nota desse exercício. A nota desse exercício somente será levada em conta caso aumente a média M (independentemente de seu valor). MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF) Em regime estacionário, o fenômeno de condução elétrica em duas dimensões e em meios contínuos (Modelo de correntes estacionárias) é regido pela equação de Laplace: 2 2 V V (1) x y sendo V(x,y) o potencial elétrico que é dado em Volts e, a condutividade elétrica do material. A densidade de corrente elétrica J (x,y) (em A/m 2 ) que flui no meio é calculada por: V V J V grad ( V ) (, ) (2) x y Considere a barra prismática constituída por dois materiais A e B descrita na figura acima, com dimensões indicadas na figura em metros e profundidade igual a 0,4 m. A condutividade elétrica do material A é = 5,85x10 7 S/m, e do material B = 6,4x10 6 S/m. O bloco é submetido a uma diferença de potencial elétrico igual a 200 V que faz com que circule uma corrente elétrica por ele. O problema está sujeito às seguintes condições de contorno: a) nos pontos em y = 0,0 m o potencial elétrico V vale V2 = 0 V; b) nos pontos em y = 0,24 m o potencial elétrico V vale V1 = 200 V; c) Nas demais fronteiras

4 Considere as constantes dadas e resolva a equação (1) no domínio da figura utilizando o método de elementos finitos (MEF) com malha triangular (x = y) do tipo sugerida na figura (elementos triangulares retângulos), mas a malha pode ser mais discretizada: a) Implemente um programa em SCILAB (ou MATLAB) que resolve a equação de Laplace (1); b) Resolva o problema aproveitando a simetria do sistema e determine as condições de contorno requeridas para tornar o problema simétrico; c) Plote a distribuição de V(x,y) no bloco. Verifique a influência da discretização sobre a solução (explique a discretização utilizada); d) Plote o vetor densidade de corrente elétrica J (x,y) (use o comando apropriado no SCILAB ou MATLAB); e) Calcular a resistência elétrica R do bloco acima, sabendo que: R V onde I m é a corrente I m elétrica média dada por J. nds e J. n é a componente de J na direção do vetor normal a I m superfície, e S é a área da superfície. Se escolhida a superfície y=0,24 tem-se:

5 m 0,16. 0,4 n y0,24 uma vez que ds = 0,4dx. Se escolhida a superfície y=0,0 tem-se: 0 I J nds J dx m 0,16. 0,4 n y0 uma vez que ds = 0,4dx (O limite superior nas integrais é definido 0 I J nds J dx conforme a simetria). A integral deve ser resolvida usando um dos métodos de integração estudados no curso (trapézio, Simpson, etc.). Note que pela equação da continuidade: 0,16 0,16 J dx J dx 0. n y0,24 n y0 0 0 APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS Os resultados devem ser apresentados da seguinte forma: a) Inicialmente, apresente o equacionamento do problema a ser implementado no SCILAB (ou MATLAB). b) NÃO será aceita a utilização de comandos prontos do SCILAB (ou MATLAB) para a solução da equação de derivadas parciais acima. c) Todos os resultados do tipo f(x,y) devem ser plotados usando-se funções do SCILAB (ou MATLAB) como mesh, contour, surf, etc (escolha uma) (coloque título e legenda nos gráficos). NÃO será aceita a simples apresentação de tabelas ou a listagem dos valores da função nos nós da malha. d) A geração da malha de elementos finitos pode ser feita de forma simples e específica para esse problema. e) O sistema matricial final pode ser resolvido simplesmente usando-se um comando do SCILAB (ou MATLAB) do tipo x=a/b. No entanto, caso o tamanho da matriz seja maior do que o máximo permitido pelo SCILAB (ou MATLAB) use um método iterativo como Gauss-Seidel ou Sobrerelaxação. f) NÃO use os comandos de manipulação simbólica do SCILAB (ou MATLAB) na solução desse problema. g) Entregue os arquivos *.sci (ou *.m), os quais devem estar decentemente comentados. h) Qualquer discussão ou comparação deve ser acompanhada de gráficos e/ou outras indicações que o levou às conclusões. i) Entregue o relatório impresso. NÃO será aceita a entrega do relatório em formato digital ou por e- mail. j) Para cada dia de atraso serão descontados 2,0 pontos na nota do EP.