Exame de. Licenciatura em Engenharia Civil 21 de Junho de ª Chamada 1ª Época Ano lectivo 96/97-2º Semestre

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1 Exame de Licenciatura em Engenharia Civil 21 de Junho de ª Chamada 1ª Época Ano lectivo 96/97-2º Semestre Observações: Duração de 3 horas; Consulta livre; Inicie cada um dos problemas numa folha nova; Identifique todas as folhas; Justifique convenientemente todas as suas respostas. PROBLEMA 1 Para a estrutura representada na figura 1 e para a carga móvel aí representada determine: a) A linha de influência do momento flector na secção B; b) A linha de influência do esforço axial no cabo CF; c) Os valores extremos do momento flector na secção B devidos ao combóio de cargas d) O andamento da linha de influência do deslocamento vertical na secção C (indique o grau do polinómio para cada troço da linha de influência). Figura 1 e) Na estrutura representada na figura 1, substitua o apoio na secção E por um apoio elástico vertical (mola de rigidez K). Determine: e.1) A linha de influência do momento flector na secção B; e.2) O andamento da linha de influência do deslocamento vertical na secção C.

2 PROBLEMA 2 Considere a estrutura que se obtém bloqueando a libertação na secção D da estrutura representada na figura 1. Trace o andamento da linha de influência do momento flector na secção B, para a mesma carga móvel (indique o grau do polinómio para cada troço da linha de Assuma neste problema que todas as barras são axialmente indeformáveis. PROBLEMA 3 A estrutura representada na figura 2 é solicitada por uma carga móvel horizontal actuando apenas na barra BC. Determine: a) A linha de influência do momento flector na secção A; b) A linha de influência da rotação Θ no apoio D. Figura 2 PROBLEMA 4 Figura 3 Considere a estrutura e o carregamento indicados na figura 3. A placa representada tem uma espessura unitária e pode considerar-se que está sujeita a um estado plano de tensão. A estrutura é constituída apenas por um tipo de material com um módulo de elasticidade igual a E=200GPa e um coeficiente de Poisson valendo ν=0,3.

3 Figura 4 Na figura 4 encontra-se representada uma discretização da placa em quatro elementos finitos. Os deslocamentos independentes e a sua numeração global encontram-se devidamente identificados. a) Identifique a contribuição de cada um dos elementos da malha (sem efectuar os cálculos numéricos) para os seguintes coeficientes da matriz de rigidez global: K K, K, K, ; 11, K18 b) Determine o vector de forças nodais (considere que as forças de massa são nulas); DESLOCAMENTOS ************* NO -> 1 UX -> E+00 UY -> E+00 NO -> 2 UX -> E-07 UY -> E+00 NO -> 3 UX -> E-07 UY -> E+00 NO -> 4 UX -> E+00 UY -> E-09 NO -> 5 UX -> E-07 UY -> E-08 NO -> 6 UX -> E-07 UY -> E-08 NO -> 7 UX -> E-07 UY -> E-08 NO -> 8 UX -> E-07 UY -> E-08 NO -> 9 UX -> E-07 UY -> E-08 TENSOES NOS ELEMENTOS ********************* ELEM X Y SIG-X SIG-Y SIG-XY SIG-I SIG-II TETA E E-01/ 1.23E E E-03/ 1.23E E+00/ E E-01/ 1.15E E E-01/ 1.15E E-01/ E E+00/ 1.22E E E-03/ 1.22E E-01/ E E+00/ 1.29E E E-01/ 1.30E E+00/ -2. Tabela 1 c) Com base nos valores listados na tabela 1 (listagem de resultados do programa EPLAN), obtenha as componentes do tensor das tensões no ponto C da figura 3; d) Com base na listagem de resultados do programa TENSOES apresentada na tabela 2, verifique se a solução aproximada obtida verifica o equilíbrio na fronteira estática; e) Como consideraria a existência do apoio inclinado definido na figura 5?

4 Elemento 2 Tensoes na Fronteira Lado 1 - t_x : No E-01; No E-02 t_y : No E+00; No E-01 Lado 2 - t_x : No E+01; No E+00 t_y : No E-02; No E-02 Lado 3 - t_x : No E-02; No E-01 t_y : No E-01; No E+00 Lado 4 - t_x : No E+00; No E+01 t_y : No E-01; No E-01 Tabela 2 Figura 5 PROBLEMA 5 Considere o elemento 3 representado na discretização apresentada na figura 3. a) Obtenha a transformação isoparamétrica das coordenadas; b) Considere que no elemento 3 se aplicam as seguintes forças de massa: f x = 0,0kN m 3 ; f y = 10,0kN m Qual a contribuição deste elemento para o valor de F 9? c) Considere o seguinte resultado para o campo de deslocamentos; u =.0 ; u = 1.0 ; u = 0 (para j 4,11) j Determine o valor das deformações ε yy no nó 8; PROBLEMA 6 I - Considere a estrutura representada na figura 6 e o carregamento λ 1 =8λ; λ 2 =20λ. a) Defina as secções e os modos críticos e justifique a escolha feita; b) Determine um mecanismo cinematicamente admissível; c) Determine uma distribuição de esforços estaticamente admissível; d) Defina um limite superior e um limite inferior para a carga de colapso da estrutura. 3 ;

5 Figura 6 II - Verifique que o carregamento λ 1 =8 e λ 2 =24 provoca o colapso da estrutura representada na figura 6. Defina o diagrama de esforços no colapso e o mecanismo ou os mecanismos de colapso.