RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Transcrição

1 SEÇÃO DE ESTRUTURS DERTMENTO DE ENGENHRI IVI FUDDE DE IÊNIS E TENOOGI UNIVERSIDDE NOV DE ISO RESISTÊNI DOS MTERIIS II roblemas 1. Flexão lástica 2. orte 3. Torção 4. Solicitações ompostas e Verificação da Segurança 5. Métodos Energéticos 6. Encurvadura na Raquel Fernandes Rodrigues de aula arlos Manuel Tiago Tavares Fernandes João arlos Gomes Rocha de lmeida 1

2 apítulo 1. Flexão lástica 1. Flexão lástica 1. Uma viga de secção transversal quadrada, orientada como indicado na Figura 1-1, é submetida a uma carga vertical. Determine o momento de cedência, o momento plástico e o respectivo factor de forma. a 45º 2 45º a D a 2 Figura Uma barra de secção sólida circular de raio r está sujeita a flexão. Qual a percentagem em que o momento requerido para causar a cedência das fibras à distância r 2 da linha neutra excede o momento que apenas causa a plastificação das fibras extremas? 3. onsidere a secção transversal em T de um elemento estrutural, representada na Figura 1-2. Determine: 2

3 Resistência de Materiais II 300 σ [ Ma] Ga ε [mm] Figura 1-2 a. O momento resistente em regime elástico e plástico. b. O factor de forma da secção. 4. ssumindo que o momento plástico dos elementos estruturais é M, determine a carga última, u, associado ao colapso das estruturas representadas nas figuras seguintes: 2 D Figura D E Figura 1-4 3

4 apítulo 1. Flexão lástica p Figura 1-5 D E F Figura D E Figura 1-7 4

5 Resistência de Materiais II h 1 h 2 D Figura 1-8 Figura onsidere a estrutura representada na figura 1-10 e admita que o comportamento do material à flexão é elástico perfeitamente plástico, como indicado. onsidere apenas a deformabilidade por flexão em todos os cálculos que efectuar e despreze a influência do efeito do esforço axial e esforço transverso no valor do momento plástico secção. 5

6 apítulo 1. Flexão lástica D M M /R 3 M Figura 1-10 a. Determine o momentos flectores elásticos na estrutura e diga qual a carga para a qual se forma a primeira rótula plástica. b. alcule a carga de colapso da estrutura. Justifique com base nos teoremas da análise limite. 0,933M =2,9 M / 2=5,8 M / M 0,033M Figura 1-11 c. ara uma determinada carga de valor igual a 2,9 M / o diagrama de momentos flectores é o indicado na figura omo calcula os momentos a que a estrutura fica sujeita quando essa carga é retirada? 6. viga representada na figura é constituída por um perfil IE300, e está suspensa em três tirantes cuja secção transversal é de 16 cm 2. 6

7 Resistência de Materiais II E F G IE300 2,0 1 2 D E=210 Ga σ ced =210 N/mm 2 3,0 1,0 4,0 Figura 1-12 a. ara a carga indicada na figura, trace os diagramas de esforços na viga e nos tirantes. b. Determine o valor da carga que provoca a plastificação de uma secção, ced. c. alcule um majorante e um minorante da carga de colapso da estrutura. d. Determine o valor da carga que provoca o colapso da estrutura, c, efectuando uma análise: d.1) Elastoplástica; d.2) imite; e. Trace os diagramas de esforços no colapso. 7. onsidere a estrutura e carregamentos indicados na figura: p D p /2 /2 Figura

8 apítulo 1. Flexão lástica a. dmitindo que a estrutura tem comportamento elástico linear com módulo de elasticidade E e de secção transversal constante, com momento de inércia I, determine em função de p,, E e I o momento flector e a rotação do nó rígido. Despreze a deformabilidade por esforço transverso. b. dmitindo um diagrama de momentos flectores-curvatura elástico perfeitamente plástico e designando por M p o momento plástico da secção transversal, determine em função de M p e um majorante e minorante da carga de colapso da estrutura. c. Determine a carga de colapso e o respectivo mecanismo a esta associado. 8. alcule o valor da carga de colapso da viga de capacidade plástica linearmente variável representada na figura Desenhe o mecanismo de colapso e o diagrama de momentos flectores no colapso. p x 10 m Figura 1-14 M p x kn m ( ) = ,5 x m 9. onsidere o pilar representado na figura submetido a uma carga excêntrica,, e. as duas superfícies de cedência nas figuras 1-14 a) e 1-14 b), com e sem interacção, respectivamente. Na situação 1-14 b) considera-se a aproximação linear da superfície de cedência da secção rectangular. tensão de cedência é σ ced. 8

9 Resistência de Materiais II M M 1 H 2c a a) -1 M M N N b) N N Figura 1-15 Figura 1-16 Determine as cargas de colapso associadas às duas superfícies de cedência. ompare o resultado obtido e justifique-o com base no teorema estático da análise limite. 9

10 apítulo 2. orte 2. orte 1. ara ligar duas barras de aço sujeitas a um esforço de tracção de F=200 kn, pretende-se utilizar duas cobrejuntas com parafusos da classe 4.6 com 20 mm de diâmetro. F F F F Figura 2-1 Determine o número de parafusos necessário. Não considere as possibilidades de esmagamento da chapa ou ovalização do furo. 2. Determine o diâmetro mínimo que o parafuso deve ter para suportar o sistema estrutural indicado na figura onsidere que o parafuso é da classe mm 1,1 kn 80 mm Figura ara a secção triangular equilátera representada na figura seguinte: 10

11 Resistência de Materiais II V G a Figura 2-3 a. Trace o diagrama de tensões σ 32 e determine a sua lei de variação com o eixo. b. alcule σ e indique em que ponto se atinge esse valor. max onsidere a viga em consola constituída por uma cantoneira e solicitada por uma carga concentrada na sua extremidade: =2m =500 kn E=210 Ga ν=0, [mm] 200 Figura 2-4 a) Represente o diagrama de tensões normais na secção de encastramento, indicando todos os valores numéricos necessários à sua perfeita definição. b) Determine a posição da linha neutra. c) Supondo que a linha de acção de passa pelo centro de corte da secção e é perpendicular ao eixo de simetria da secção, determine: c.1) lei de variação das tensões tangenciais em função de s. c.2) resultante das tensões tangenciais. 11

12 apítulo 2. orte s G Figura 2-5 d) Determine a área de corte da secção segundo o eixo 2. e) Determine a equação da elástica considerando a deformabilidade por esforço transverso. alcule o deslocamento vertical na extremidade da consola (ponto ) devido a à flexão e ao esforço transverso. ompare o resultado obtido com o que obteria se tivesse desprezado esta última parcela. 5. onsidere a viga constituída por duas peças de madeira, ligadas entre si por pregos, com as dimensões indicadas na figura. viga encontra-se encastrada numa das extremidades e na outra está aplicada uma força de 3 kn. a f 3kN ,75 31,25 Figura 2-6 a) Sabendo que a tensão de segurança na madeira para estados de flexão é de seg σ = 10Ma, determine o máximo vão que a viga pode apresentar. b) Se cada prego resiste a um esforço de corte de 0,6 kn, qual o afastamento máximo entre pregos? 5 [cm] 12

13 Resistência de Materiais II c) Represente o diagrama de tensões tangenciais na secção. 6. onsidere a seguinte secção transversal: G ,147 7,853 [cm] Figura 2-7 a) Represente o diagrama de tensões tangenciais da secção para: a.1) um esforço transverso de 500 kn segundo o eixo. a.2) um esforço transverso de 500 kn segundo o eixo e passando no centro de corte da secção. b) Determine a posição do centro de corte da secção. c) alcule a área de corte segundo a direcção 1. 13

14 apítulo 2. orte 7. Relativamente à secção representada na figura seguinte, determine a posição do centro de corte. onsidere a espessura e constante ao longo da linha média ,5 e e = 2cm G 7,5 10 7,5 12,5 [cm] Figura

15 Resistência de Materiais II 3. Torção 1. Um veio de secção circular oca com 1,5m de comprimento tem um momento torsor aplicado na sua extremidade livre. Mt 1,5m [mm] Figura 3-1 a) Qual é o valor do momento torsor máximo que pode ser aplicado ao veio de modo a que a tensão tangencial não exceda 120Ma? b) Qual o valor mínimo da tensão tangencial correspondente a esse momento torsor? c) Que ângulo de rotação no ponto irá originar uma tensão tangencial mínima de 70Ma no veio? (G = 80Ga). d) Que momento torsor deverá ser aplicado ao veio para produzir uma rotação de 2º no ponto? 2. onsidere uma barra de secção circular com 10cm de diâmetro, constituída por dois materiais, alumínio e cobre, tal como representado na figura seguinte. Qual o máximo momento torsor que pode ser aplicado à barra de modo a que não sejam excedidas as tensões de segurança dos materiais e para que a rotação na extremidade livre não ultrapasse 5º. cobre alumínio 2m 2m (τ adm ) cobre = 60Ma (τ adm ) alumínio = 65Ma G cobre = 38Ga G alumínio = 24Ga T Figura

16 apítulo 3. Torção 3. Um veio de aço e um tubo de alumínio estão ligados a um apoio fixo e a um disco rígido, tal como representado na figura seguinte. Sabendo que as tensões iniciais são nulas, calcular o máximo momento torsor que pode ser aplicado ao disco para que não sejam excedidas as tensões admissíveis em ambos os materiais. aço alumínio T ,5m 76 [mm] Figura 3-3 ço lumínio t adm [Ma] G [Ga] Uma barra de secção circular está encastrada nas suas extremidades e sujeita aos momentos torsores T1 e T2. Determinar a distribuição de tensões tangenciais na(s) secção(ões) onde T é máximo. alcular a máxima rotação por torção. D T1 T = 1 = /4 T1 = T T2 = T/ D Figura

17 Resistência de Materiais II 5. onsidere a viga biencastrada de aço (G=80 Ga) representada na figura. 12 p = 10kN/m p p ,5m 1,5m [mm] Figura 3-5 a) Trace o diagrama de momentos torsores. b) Diga em que secção se verifica a máxima rotação por torção e calcule essa rotação. c) alcule a tensão tangencial máxima. 6. Uma viga de 1,5m de comprimento com uma secção transversal em caixão, tal como representada na figura seguinte, está solicitada por um momento torsor. tensão de corte admissível (τ adm ) é igual a 84Ma e o módulo de distorção (G) é igual a Ma Figura 3-6 [mm] 17

18 apítulo 3. Torção a) alcule o momento torsor máximo. b) Determine o ângulo de torção (em graus) entre as secções extremas da viga. 7. alcular a distribuição de tensões tangenciais e a rotação por unidade de comprimento, provocadas por um momento torsor M t na secção representada na figura seguinte: 3a a 15,5a 18,5a 15a 3a 2a a 3a a Figura figura seguinte representa a secção transversal de uma peça constituída por 2 materiais de comportamento elástico linear, cujos módulos de distorção são dados por G a = 2G e G b = 3G. peça está sujeita a torção pura. a) Determinar a tensão instalada em cada um dos materiais. b) alcular a rotação relativa das secções por unidade de comprimento. Figura a 6a 33a 3a 3a 3a 18

19 Resistência de Materiais II 9. onsidere uma barra de secção transversal circular cheia sujeita a um momento torsor. dmita que o material é elástico perfeitamente plástico, isto é, o diagrama tensão tangencial-distorção tem a forma indicada na figura seguinte. Determine a distância ao centro O a partir da qual as fibras atingem a cedência, em função do momento torsor. Determine, também, o momento torsor plástico da secção transversal. τ τ ced O a r τ ced γ Figura onsidere um veio de secção transversal em forma de coroa circular. Determine o momento torsor máximo que a secção pode suportar em regime plástico. R 0 R i Figura

20 apítulo 4. Solicitações ompostas e Verificação da Segurança 4. Solicitações ompostas e Verificação da Segurança 1. onsidere a viga representada na figura seguinte, encastrada nas duas extremidades e solicitada por uma carga uniformemente distribuída ao longo de todo o vão. E = 210 Ga G = 81 Ga p = 5kN/m 100mm W p X HE300 15m Figura 4-1 HE300 a) Trace os diagramas de todos os esforços na viga. b) alcule o deslocamento vertical do centro de gravidade da secção de meio vão. c) alcule a rotação máxima (em torno do eixo da viga), justificando em que secção se verifica. d) om base nos resultados das alíneas b) e c), determine o deslocamento vertical do ponto X da secção de meio vão. e) Trace quantitativamente os diagramas de tensões na secção de encastramento. f) Verifique a segurança do ponto W da secção segundo o critério de Mises-Hencky. onsidere que σ seg = 160Ma. Sugira em que pontos σ comp toma valores máximos. Nota: Despreze a deformabilidade por esforço transverso em todas as alíneas anteriores. 2. Supondo que a viga representada na figura seguinte é constituída por metade de um HE240, determine: ½ HE240 p = 20kN/m p G 2m Figura 4-2 a) máxima tensão tangencial no perfil. b) máxima tensão de comparação, segundo o critério de Mises-Hencky. 20

21 Resistência de Materiais II 3. Supondo que a viga representada na figura seguinte é constituída por um HE500, determine: E = 210Ga G = 81Ga p = 10kN/m p 10m Figura 4-3 a) s reacções nos apoios e os diagramas de todos os esforços. b) máxima tensão tangencial no perfil e a máxima tensão de comparação. c) s rotações da secção sobre o apoio. 4. onsidere a viga representada na figura seguinte. HE500 p = 5kN/m 5m p G V 3 = 8 Figura a) Determine a posição da linha neutra. b) Determine o valor da tensão de comparação, segundo Mises-Hencky, do ponto da secção do apoio. c) alcule o deslocamento horizontal do ponto situado na secção do apoio. Nota: Resolva as alíneas anteriores recorrendo à formulação nos eixos centrais de inércia. Despreze a deformabilidade por esforço transverso. p 23,4 [mm] 21

22 apítulo 4. Solicitações ompostas e Verificação da Segurança 5. Na figura seguinte apresenta-se esquematizada uma estrutura tridimensional localizada no plano xz, com um carregamento segundo o eixo y. O carregamento passa pelo centro de gravidade da secção transversal, cuja espessura é constante e igual a 5mm. y x G z Figura 4-5 a) Trace os diagramas de tensões na secção ; b) alcule a máxima carga de modo a que a não seja excedida a tensão resistente do material da estrutura (235 Ma). Utilize o critério de: b.1) Mises-Hencky; b.2) Tresca; c) alcule a rotação (torção) relativa entre os pontos e. dmita que E = 210Ga e que G = 0,4 E. [m] [mm] 22

23 Resistência de Materiais II 6. estrutura em aço (E = 210 Ga, G = 0,4 E, σ seg = 235 Ma) representada na figura seguinte encontra-se localizada no plano 1-2 e está solicitada por uma força, segundo o eixo ,0 m encastramento ,0 m [cm] 10 Secção transversal 1 Figura 4-6 a) Determine o máximo valor da força que pode ser aplicada à estrutura. Utilize o critério de Mises-Hencky. b) alcule a rotação da extremidade. 23

24 apítulo 5. Métodos Energéticos 5. Métodos Energéticos 1. Utilizando o teorema de Manabrea calcule os diagramas de esforços na estrutura seguinte. p /2 /2 Figura

25 Resistência de Materiais II 6. Encurvadura 1. Um pilar de aço (Fe360) com 6 m de comprimento é constituído pela secção transversal indicada na figura. dmitindo que as condições de apoio são encastrado na base e simplesmente apoiado na extremidade superior, determine a carga crítica ideal de acordo com a teoria linear da estabilidade. Esboce o modo de encurvadura associado a esta carga. 4,2 1,5 50 UN I 1 =206 cm 4 I 2 =29,3 cm 4 =13,5 cm 2 9,2 [cm] 1,5 15,5 [mm] Figura Uma coluna de aço (Fe430) constituída por um perfil IN200 está fixada através de duas barras a meio do seu comprimento, como mostra a figura. Determine: a) a carga crítica ideal; b) a máxima carga que pode ser aplicada de acordo com o E3. 25

26 apítulo 6. Encurvadura IN200 I 1 =2140 cm 4 I 2 =117 cm 4 =33,5 cm 2 11,3 2,0 200,0 2,0 [m] 90,0 [mm] Figura onsidere a treliça (Fe510) representada na figura seguinte, cuja secção transversal é meterializada por uma cantoneira de abas desiguais : 30º 12 3,92 D 2,5 2,5 [m] [cm] I 1 =276 cm 4 I 2 =98,1 cm 4 =19,1 cm 2 1, Figura 6-3 s ligações entre todas as barras são formadas por rótulas esféricas. Determine máxima carga que pode ser aplicada à estrutura: a) de modo a que não ocorra instabilidade elástica em qualquer dos seus componentes; b) de acordo com o E3. Trace qualitativamente a relação λ e represente os critérios de plastificação, de coluna ideal e de coluna real. 26

27 Resistência de Materiais II 4. Na estrutura de aço (E=210Ga e G=0,4E) da figura os apoios e impedem a torção, D é uma rótula esférica e o nó está impedido de se deslocar na direcção perpendicular ao plano da estrutura. Determine a carga de instabilidade elástica usando: a) tabelas; b) resolvendo o problema de valores na fronteira associado. ompare os resultados obtidos. 3,5 D 0,04 2,5 2,5 [m] Figura Na estrutura (E=210 Ga) esquematizada considere que o ponto está impedido de se deslocar. x 3 rótula esférica oluna : 3,0 1,5 I 1 =449,33 cm 4 I 2 =348,0 cm 4 =28,0 cm 2 rótula cilíndrica (eixo ) [m] 27

28 apítulo 6. Encurvadura Figura 6-5 a) calcule a inércia da viga de modo a que a encurvadura no plano 1-3 se verifique para a carga =1500 kn; b) calcule a carga crítica da coluna. 6. onsidere a estrutura em aço (Fe360) e carregamento esquematicamente representados na figura seguinte. Os nós e estão impedidos de se deslocarem perpendicularmente ao plano da figura e além disso o nó está impedido de se deslocar segundo a horizontal. arra rígida à flexão, corte e deformação axial (I 1 =I 2 =Ω 1 =Ω 1 =Ω)= ,0 [mm] 6,0 D [m] HE 220 I 1 =8091 cm 4 I 2 =2843 cm 4 =91 cm 2 Figura 6-6 a) Determine a carga crítica da estrutura e represente o respectivo modo de instabilidade a ela associado. b) alcule a carga máxima que pode ser aplicada, de acordo com o E3, sem que seja excedida a tensão resistente do material. 28

29 Resistência de Materiais II 7. onsidere a estrutura e carregamento esquematicamente representados na figura seguinte. Todos os nós estão impedidos de se deslocarem perpendicularmente ao plano da figura. Todos os apoios possuem articulações esféricas. Fe360 I=5000 cm 4 =100 cm 2 D 5,0 I=2000 cm 4 =50 cm 2 I=5000 cm 4 =100 cm 2 6,0 [m] Figura 6-7 a) Determine a carga crítica da estrutura e represente o respectivo modo de instabilidade a ela associado. b) alcule a carga máxima que pode ser aplicada, de acordo com o E3, sem que seja excedida a tensão resistente do material. c) Diga o que entende por comprimento de encurvadura de uma barra. 29