RESISTÊNCIA DE MATERIAIS II

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura Secção de Mecânica Estrutural, Estruturas e Construção Ano lectivo de 2003/ o teste e o exame Lisboa, 23 de Junho de 2004 RESISTÊNCIA DE MATERIAIS II Este enunciado contém três grupos de perguntas. Os grupos II e III correspondem à matéria do 2 o teste. Se pretende realizar o 2 o teste deve entregar as resoluções dos grupos II e III até 2 horas depois do início da prova. Se pretende realizar o o exame deve entregar as resoluções dos grupos I, II e III até 3 horas depois do início da prova. Em cada alínea dos grupos II e III, a primeira cotação refere-se ao 2 o teste e a segunda cotação refere-se ao o exame. Sem consulta. Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. Identifique cada folha com o seu número no canto superior direito. Cada folha entregue só pode conter respostas a perguntas do mesmo grupo. Grupo I. Considere a estrutura representada esquematicamente na figura, submetida ao carregamento indicado e constituída por um material elástico perfeitamente plástico. Todas as barras têm a mesma secção transversal. (.0) (a) Determine, em função do momento de plastificação M p (considerado independente do valor do esforço normal) e do comprimento L, a carga associada ao mecanismo que envolve a formação de rótulas plásticas nas secções B, C e D. (.5) (b) Diga, justificando, se esse é o verdadeiro mecanismo de colapso. 2. A secção hexagonal regular compacta (lado a) representada na figura é constituída por um material elástico perfeitamente plástico com tensão de cedência σ c. (.0) (a) Determine, em função de σ c e a, o valor do momento de plastificação em torno do eixo x quando a secção está submetida a flexão pura. Página de 5

2 (.5) (b) Determine, em função de σ c e a, o valor do momento de plastificação M p em torno do eixo x quando a secção está submetida a flexão composta, com um esforço normal N p = 3σ c a Diga, justificando, se as afirmações seguintes são verdadeiras: (.0) (a) Numa estrutura isostática é impossível haver tensões e esforços residuais. (.0) (b) Num mecanismo cinematicamente admissível de uma viga, o valor do momento plástico tem que ser atingido num número de secções igual ao grau de hiperestatia mais um. Grupo II 4. Considere a viga elástica em consola representada na figura sujeita a uma carga uniformemente distribuída de 50 KN/m. A secção transversal é constituída por dois perfis HEB200 soldados longitudinalmente (cada perfil tem um momento de inércia em torno do eixo x de 5696 cm 4 ). No alçado representado na figura a carga actua na aresta do perfil situado para dentro do plano do papel. (4.0 ou 3.0) (a) Determine todos os diagramas de tensões na secção de encastramento. (.5 ou.0) (b) Calcule a tensão de comparação máxima na viga segundo o critério de von Mises. (2.5 ou.5) (c) Calcule o deslocamento vertical do ponto Q da extremidade livre da consola. Despreze a deformabilidade por esforço transverso. (E = 200 GPa, G = 80 GPa) (.5 ou.0) (d) O que entende por área reduzida? Como a determinaria no caso da secção dada? (Não efectue cálculos; limite-se a descrever o raciocínio.) (2.5 ou.5) 5. Considere agora uma secção transversal de um perfil HEB200 a que foram soldadas chapas com 9 mm de espessura ao longo do seu comprimento, conforme se indica na figura. Página 2 de 5

3 Calcule, em função do momento torsor positivo T, o valor do fluxo de corte nas várias paredes da secção. Grupo III 6. A estrutura representada na figura, contida no plano x 2 x 3, é constituída por uma barra AB e por uma barra BC que estão rigidamente ligadas entre si em B. A figura mostra também as secções transversais dos troços AB (perfil INP00) e BC (perfil INP00 com reforços) bem como alguns valores numéricos importantes. Sabe-se que a estrutura de aço (E = 200 GPa, f y = 235 MPa) está impedida de se deslocar na direcção perpendicular ao seu plano. (2.5 ou.5) (a) Determine a carga crítica da estrutura. (2.5 ou.5) (b) Determine a carga máxima que pode ser aplicada à estrutura de acordo com o EC3. (.5 ou.0) 7. Diga o que entende por comportamento geometricamente linear. Admite-se este comportamento numa análise linear de estabilidade? Porquê? (.5 ou.0) 8. Considere uma barra elástica linear e geometricamente perfeita que está sujeita à acção simultânea de uma carga transversal distribuída p(x 3 ) e a uma carga axial concêntrica P < P cr. Admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos mas considerando o equilíbrio na configuração deformada, prove a afirmação seguinte: O deslocamento transversal u 2 devido a p e a P é diferente da soma dos deslocamentos transversais provocados pela actuação separada de cada uma das cargas (ver a figura). Página 3 de 5

4 σ 33 = N A + M Ix II I I M IIx I FORMULÁRIO I II σ 33 = N A + M I 2 M 2 I I I 22 I 2 2 x + M I 22 M 2 I 2 I I 22 x I2 2 2 = M R EI +α T 2 T h R u 2,33 u 3 x 3 = ε 33 = σ 33 E + α T M c = σ c W W = I v M p = σ c Z Z = S A + S A2 f M = Mp M c = Z W τ = V IIS I I I e V IS II I II τ = (V 2I 2 +V I )S 2 e (I I 22 (V 2I 22 +V I 2 )S I2 2 )e (I I 22 I2 2 )e f = σ Γ 3 n dγ = τe (no caso de parede fina) A = V 2 = A Ω τ2 dω α u 3 = τ G ds u II,33 = M I EI I p II u I,33 = M II p I GA I E a S a + E b S b = 0 S a + m a S b = 0 m a = E b E a S b + m b S a = 0 m b = Ea E b = R M E ai a+e b I b = M E ai ha = M E b I hb I ha = I a + m a I b I hb = I b + m b I a τ = V (EaS 0a+E b S 0b ) τ (E ai a+e b I b f = 0 ds )e ds e α = dθ dx 3 = T GJ τ = T 2A me J = 4A2 m ds e τ max k = T k J k e k τ max = T J emax J k = 3 l ke 3 k Γ i f e ds = 2GαA i σ comp = σ 2 + 3τ 2 σ comp = σ 2 + 4τ 2 σ comp σ = fy s V X iu i dv + S σ iu i ds = V σ ijε ijdv V X i u 2 idv + S σ i u 2 ids = V X2 i u idv + S σ2 i u ids U = σ { } 2 V ijε ij dv = N 2 + M2 I 2 EA EI I + M2 II + V I 2 + V 2 + T2 dx I GJ 3 δ ou θ = { } N N + T T dx EA GJ 3 + M I M I EI I (EIu 2,33 ),33 Nu 2,33 + p 3 u 2,3 = 0 + M II M II + V I V I GA I L e = +0.45(η +η 2 ) 0.265η η 2 L (η +η 2 ) 0.247η η 2 η = λ = π φ = V II V II P cr = π2 EI L 2 e + β E f y λ = λ λ N b,rd = χafy λ = Le i i = I A β = α L η EI 2 = β 4 + β 2 2 = α 2L EI 4 φ+ φ 2 λ 2 γ M γ M =. χ = [ + α(λ 0.2) + λ 2] α = 0.2(a); 0.34(b); 0.49(c); 0.76(d) Página 4 de 5

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