Sumário: Flexão segundo os dois Eixos Principais de Inércia ou Flexão Desviada. Flexão Combinada com Esforço Axial.

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1 Sumário e Objectivos Sumário: Flexão segundo os dois Eixos Principais de Inércia ou Flexão Desviada. Flexão Combinada com Esforço Axial. Objectivos da Aula: Apreensão da forma de Cálculo das Tensões Axiais em Secções sujeitas a Flexão Desviada e da forma de Cálculo das Tensões Axiais em Secções sujeitas a Flexão combinada com Esforço Axial. 1

2 Ponte 2

3 3

4 Garagem para o Barco 4

5 Estrutura de Carroçaria de Veículo 5

6 Ponte 6

7 Flexão Segundo os Dois Eixos Principais ou Flexão Desviada Momento segundo um eixo que não coincide com os eixos principais de inércia da secção. 7

8 Flexão Desviada O momento aplicado, M, pode ser decomposto em dois momentos actuantes segundo as direcções principais de inércia da Secção e que são de acordo com a figura M y e Mz. Uma vez que a Secção considerada tem simetria em relação aos eixos dos yy e dos zz, as formulas deduzidas para as tensões axiais em termos do Momento Flector são aplicáveis, à flexão no plano Oxy e no plano Oxz, ou seja aplicando o princípio da Sobreposição de Efeitos, σ x M I z y =- y+ z z M I y 8

9 Distribuição de Tensões 9

10 Eixo Neutro O eixo neutro da secção que corresponde a tensões axiais nulas ocorre quando for: M + = I I Mz y y z 0 z y y =+ z Mz I MI y z onde y/z representa a tangente do ângulo g, o qual representa o ângulo que a linha neutra faz com o eixo dos zz e corresponde à equação de uma recta que passa pelo centroide da Secção M y =Msenα M z = Mcosα tan g I I tan g y γ= z α y 10

11 Exemplo kN/m Secção Recta y Direcção da Carga A B C z β 200mm 4m 1m 100mm Considere a viga com tramo em consola representada na figura, sendo a distância entre apoios de 4m e o tramo em consola de 1m, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, de intensidade 10kN/m, cujo plano de solicitação faz um ângulo β=60º com o eixo dos yy, como se representa na referida figura. A secção da viga é rectangular de dimensões mm. Determine as tensões axiais máximas a que a viga está sujeita. 11

12 Exemplo Resolução Podem determinar-se os Esforços Transversos e Momentos Flectores e calcular o Momento Máximo instalado. Começa por calcular-se as Reacções de Apoio que são tais que RA+ RB= 50 R B = 31.25kN 4R B = 125 R A = 18.75kN No troço AB os Esforços Transversos e os Momentos são T = x T=0 implica x=1.875m M 18.75x 5x 2 = para x=1.875m é M=17.578kN.m para x=4m é M=-5kN.m 12

13 Exemplo Resolução No Troço BC da viga os Esforços Transversos e Momentos Flectores são T = 50 10x 2 2 M = 18.75x (x 4) 5 = 50x x x para x=4 M=-5kN.m para x=5 M=0 O momento Máximo é M=17.578kN.m e ocorre na secção que corresponde a x=1.875m, portanto num ponto entre apoios. Este momento tem componentes segundo yy e segundo zz que são M z = M cosβ= cos 60 = = M y = Msenβ= sen60 = = kN.m 13

14 Exemplo Resolução Antes de calcular as tensões há necessidade de calcular os Momentos de Inércia, que são Iz = /12 = Iy = /12 = mm mm Os pontos onde as tensões são potencialmente mais elevadas são os quatro cantos da secção e nesses pontos as tensões axiais são Para z=50mm e y=-100mm σ M M = y + z = ( 100 ) + (50 ) = I I z y 3 3 x z y Mpa 14

15 Exemplo Resolução σ Para z=-50mm e y=-100mm M M = y + z = ( 100 ) + ( 50 ) = I I MPa 3 3 z y 3 3 x z y Para z=-50mm e y=100mm σ M M = y + z = (100 ) + ( 50 ) = I I z y 3 3 x z y Mpa Para z=50mm e y=100mm σ M M = y + z = (100 ) + (50 ) = I I z y 3 3 x z y MPa 15

16 Exemplo Flexão Desviada Considere-se uma viga cuja secção tem a forma em L como se representa na figura e determinese as tensões axiais de flexão na Secção da viga em que o Momento Flector é igual a 20kN.m segundo zz. 16

17 Exemplo 12.2-Resolução Começa por Determinar-se a posição do centro de Gravidade que é tal que z y b b = = mm = = mm Seguidamente determinam-se os momentos de inércia e produto de Inércia em relação aos eixos Oy e Oz Iz = ( ) ( ) = mm

18 Exemplo 12.2-Resolução Iz = ( ) ( ) = mm 12 I yz ( )( ) ( )( ) = = mm

19 Exemplo 12.2-Resolução Os momentos de Inércia Principais são 2 Iz+ Iy Iz Iy max = 1 = + + yz = I I I mm Iz+ Iy Iz Iy min = 2 = + yz = I I I mm 2 2 O ângulo q é tal que 2I yz tan g2θ= = z y ou seja θ = º I I 19

20 Exemplo 12.2-Resolução Uma vez conhecida a posição dos momentos de Inércia Principais podem considerar-se as fórmulas de flexão anteriormente deduzidas e determinar as tensões axiais considerando a flexão em relação aos eixos principais. 3 4 z M cos 20 cos N.m M = θ= 10 = y Msen 20 sen N.m M = θ= 10 = 10 As tensões são calculadas a partir da fórmula seguinte e nos pontos críticos σ x Mz y y z = + I M I z y 20

21 Momento Combinado com Esforço Axial 21

22 Momento Combinado com Esforço Axial A excentricidade e tem duas componentes, e, o momento resultante Pe pode decompor-se em dois momentos um segundo y que é M y= Pz e um momento segundo z que é M z = P y. As tensões axiais que se desenvolvem na viga resultam do esforço axial, P e dos dois momentos, por aplicação do princípio da sobreposição de efeitos, são σ x P M M z y = - y + z A Iz Iy 22

23 Problemas propostos 1. Considere uma viga encastrada de secção cruciforme, como se representa na figura seguinte. A viga está sujeita a uma carga, P=100N, com a orientação relativa à secção que se representa na figura. Determine: a) as tensões longitudinais máximas na secção que se encontra a 30cm do ponto de aplicação da carga. b) os pontos que na referida secção correspondem a tensões longitudinais nulas. 23

24 Problemas Propostos 10mm 15mm y 6mm 3m P x z 25mm Eixos de Simetria P 24

25 Problemas Propostos 2. Considere uma viga com vão de 4m e com uma secção rectangular de dimensões, 15 20cm, como se representa na figura. A viga está sujeita a uma carga pontual, P=6kN, no ponto médio que actua na direcção diagonal da secção, como se representa na referida figura. Determine as tensões longitudinais máximas e determine a orientação do plano neutro da secção. P y P=6kN 2m 2m z 200mm 150mm 25

26 Problemas Propostos 3. Considere uma viga encastrada de secção em Z, sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre e segundo o eixo dos yy. O comprimento da viga é de 2m. A intensidade da carga é P=15kN. As dimensões da secção estão representadas na figura conjuntamente com os eixos. A espessura da secção é constante e igual a 20mm. Determine as tensões axiais máximas. Nota: Secção não simétrica z 100mm y 200mm 26

27 Problemas Propostos Resolução: Cálculo dos Momentos de Inércia e Produtos de Inércia da Secção com vista à obtenção dos Eixos Principais de inércia e momentos de inércia principais. Decomposição da carga segundo as direcções principais. A partir daí a resolução segue o caminho usual. 27

28 Problemas Propostos 4. Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura, sujeita a uma carga axial segundo o eixo da viga e a uma carga uniformemente repartida com a orientação indicada em relação aos eixos principais de inércia da secção. P=15kN/m 30kN 30kN y P 1.5m 1.5m 1m x 150mm Espessura da Secção constante e igual a 20mm 120mm 28