Sumário e Objectivos. Setembro. Elementos Finitos 2ªAula

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1 Sumário e Objectivos Sumário: Revisão de Alguns Conceitos Fundamentais da Mecânica dos Sólidos. Relações Deformações Deslocamentos. Relações Tensões Deformações Equações de Equilíbrio. Objectivos da Aula: Apreensão e Revisão de Alguns Conceitos Fundamentais da Mecânica dos Sólidos necessários para efeitos de Discretização pelo Método dos. 1

2 Conteúdo Introdução: Estática e Dinâmica. Elasticidade e Plasticidade. Não Linearidade Geométrica. Isotropia e Anisotropia. Condições de Fronteira. Componentes Et Estruturais. t Problemas Bidimensionais Problemas Tridimensionais Vigas Placas 2

3 Sólidos 3

4 Introdução Nos Sólidos e nas Estruturas desenvolvem-se tensões como resultado das Acções Eternas, Forças, Cargas Térmicas, etc. A distribuição das Tensões nos Sólidos varia de ponto para ponto não sendo em geral uniforme como resultado de cargas aplicadas não uniformes. As Tensões dão origem a Deformações que também se distribuem no sólido de modo não uniforme. O conhecimento das Tensões e das Deformações éf Fundamental no Desenvolvimento e Análise de Produtos Sólidos na fase de Fabrico e de Utilização, no Projecto de Estruturas, na análise de defeitos, etc. 4

5 Introdução: Acções Eternas As Acções Eternas sobre os Sólidos podem ser de natureza Estática e de natureza Dinâmica. No caso de serem de natureza dinâmica há uma dependência do tempo das Acções e das grandezas relevantes que se desenvolvem no sólido. As Equações de Equilíbrio resultantes para o Comportamento Estático podem considerar-se um caso particular do Equilíbrio Dinâmico resultante da irrelevância dos termos dependentes do tempo para efeitos de Equilíbrio Estático. 5

6 Introdução: Isotropia e Anisotropia Os materiais podem ter um comportamento Isotrópico ou Anisotrópico. i 6

7 Mecânica dos Sólidos Relações Deformações Deslocamentos para Sólidos 3D T Vector Deformações u, v, w zz z zz z z u v u w v w, z, z z z 7

8 Mecânica dos Sólidos Relações Deformações-Deslocamentos em forma Matricial onde: z L 0 z z 0 0 LU U u v w 8

9 Mecânica dos Sólidos Tensões num Ponto z z z z z z z z T z zz z z zz z zz z z z 9

10 Relações Tensões - Deformações Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos = c ou D c11 c12 c13 c14 c15 c16 c 22 c23 c24 c25 c 26 zz c33 c34 c35 c 36 zz z c44 c45 c46 z sim. c c z z c 66 10

11 Mecânica dos Sólidos Matriz de Elasticidade caso Isotrópico c 11 c 12 c c11 c c c11 c Dc 2 c c sim. 0 2 c11 c 12 2 E E(1 ) E c12 c11 G (1 2 )(1 ) (1 2 )(1 ) c c 2 2(1 ) 11

12 Mecânica dos Sólidos Equações de Equilíbrio Dinâmico z z z z z z z zz f f f z u v w 12

13 Mecânica dos Sólidos Forma matricial das Equações de Equilíbrio T L f U ou T LDLUf U sendo: f f f f z Caso Estático z 0 0 z 0 T T L LDLU f z 0 13

14 Mecânica dos Sólidos Problemas 2D: Estado Plano de Tensão Etd Estado Plano de Deformação Df 14

15 Mecânica dos Sólidos Tensões e Deformações Caso 2D u v u v,, 15

16 Mecânica dos Sólidos Relações Deformações Deslocamentos caso 2D L 0, u U v ε LU 0 onde 0 16

17 = c c=d D Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos Matriz de Elasticidade - Isotropia E(1 ) 1 0 (1 )(1 2 ) (1 ) 1 0 E /2 Tensão Plana Deformação Plana 17

18 Mecânica dos Sólidos Equações de Equilíbrio para Sólidos 2D Dinâmico Estático f u f v f 0 f 0 18

19 Mecânica dos Sólidos Equações de Equilíbrio em Forma Matricial 2D f Dinâmico sendo: f T f L f U ou T LDLU f U Estático T 0 L 0 T LDLUf 0 19

20 Mecânica dos Sólidos Equações para Vigas,v p() z Teoria de Euler Bernoulli Deslocamentos 0 dv( ) d u dv u d Eio 20

21 Teoria de Euler Bernoulli Deformações Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos 2 du d v 2 Lv d 2 com L 2 d d d Tensões = E ou ELv Momentos sendo M A E A Lv EI Lv EI I 2 z da A 2 z d ( d ) z z A A o momento de Inércia da Secção em relação ao eio dosz z 2 v 2 21

22 Equações de Equilíbrio M z T (p()- d Av A ) d T + dt Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos M z + dm z consequentemente 3 dv TEIz d 3 Equação de Equilíbrio de Forças segundo dt p Av d Equação de Equilíbrio de Momentos segundo zz dm d z T 22

23 T EI 3 dv z 3 d Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos dmz d T dt p Av p d Equações de Equilíbrio de Vigas em termos dos Deslocamentos 4 dv z 4 EI Av p() d EI 4 dv z 4 Dinâmico p() d Estático 23

24 Mecânica dos Sólidos No caso das vigas planas de Timoshenko considera-se que as secções planas normais ao eio após deformação permanecem planas mas não necessariamente normais ao oeio oda viga. vg.oe eio oda viga vg considera-se sde se coincidente c e com o eio dos, no plano de fleão e normal ao eio dos considera-se o eio dos e na direcção perpendicular ao plano de fleão considera-se o eio dos zz. O sistema de eios é análogo ao considerado nas vigas de Euler-Bernoulli. 24

25 O campo de deslocamentos é: Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos u (, ) ( ) e v ( ) v ( ) A partir do campo de deslocamentos podem determinar-se as deformações: d ( ) ( ) e =- ( )+ dv d d 25

26 Mecânica dos Sólidos Neste caso aparece uma deformação de corte não nula dando origem a uma tensão de corte. As tensões obtêm-se por aplicação da Lei de Hooke Generalizada e são: d ( ) E E d dv ( ) G G( ( ) ) G( ) d dv ( ) com ( ) - ( ) d 26

27 Mecânica dos Sólidos Conhecidas as Tensões podem calcular-se os Esforços Generalizados que são os Momentos e os Esforços Transversos, ou seja 2 d ( ) d ( ) Mz E ddz EIz d d T G ( ) ddz GA ( ) 27

28 Mecânica dos Sólidos As equações de equilíbrio em termos dos Esforços Generalizados são análogas às equações consideradas na Teoria de Euler-Bernoulli e correspondem omitindo a dependência dê em das rotações e dos deslocamentos e os no plano às seguintes equações de equilíbrio em termos de q e de v, no caso Estático 3 d EI p 3 d dv 1 d d EI d kga d d 28

29 Mecânica dos Sólidos Placas Sistema de Eios e Deslocamentos z, w, v p() e, u 29

30 Mecânica dos Sólidos Teoria Clássica das Vigas Finas z Sendo z = 0, z = 0 Plano Médio Campo de Deslocamentos u z w v z w w w (, ) 30

31 Mecânica dos Sólidos-Placas Finas Deformações-Deslocamentos u 2 w v 2 w z z u v w 2z 31

32 Mecânica dos Sólidos-Placas Finas Relações Deformações-Deslocamentos em forma matricial = z z Lw onde L

33 Mecânica dos Sólidos-Placas Finas Relações Tensões Deformações para Placas Isotrópicas =D Sendo a Matriz D definida por: 1 0 E D /2 33

34 Mecânica dos Sólidos-Placas Finas Momentos, M e M e Esforços Transversos T e T z T M M T O M M T +dt p() T +dt M +dm M +dm d M +dm M +dm d 34

35 Mecânica dos Sólidos-Placas Finas = D = - D z Lw M 3 e/2 e/2 2 e Mp M zd z D( z d z) Lw DLw e/2 e/2 12 M sendo dt T d dt T d 35

36 Mecânica dos Sólidos-Placas Equilíbrio de Forças segundo zz Equilíbrio de Momentos Segundo T T p() ew Equilíbrio de Momentos Segundo T M M M M T 36

37 Mecânica dos Sólidos-Placas Finas Equações de Equilíbrio Dinâmico e Estático em termos dos Deslocamentos Equação de Lagrange w w w 2 p( ) ew / D w w w p( ) / D onde Estático D 3 Ee 2 12( 1 ) 37

38 Teoria de Mindlin Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas Hipóteses de Reissner - Mindlin (i) A superfície média é plana e indeformável ou seja as deformações no plano médio. (ii) Os pontos pertencentes à normal ao plano médio da placa antes da deformação permanecem numa direcção linear mas não necessariamente na normal à superfície média flectida. (iii) A tensão na direcção normal ao plano médio, 33 é irrelevante quando comparada com as tensões 11 e

39 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas P e Vector Deslocamentos Generalizados P' e -u z (, ) =- v z (,) w w, 39

40 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas Deformações Calculadas a partir dos Deslocamentos θ -z ε = θ ε -z γ θ θ -z - z w -θ + γz =γz w -θ + 40

41 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas z u z v = z L onde L 0 L 41

42 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas A lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos, uma relação entre as tensões e deformações 10σ 1-1- ε Eestabelece σ =10 ε σ ε 01 0 E 2 E10 = σ σ z z+ 42

43 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas Relações Tensões - Deslocamentos Generalizados E 1 z 2 E E w 1 z z 2 E z 2 1 z 2 1 E w

44 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas Momentos e Esforços Tranversos O M M M e/2 e/2 e/2 e/2 e/2 e/2 z dz z dz z dz e/2 e/2 T dz e T dz e/2 z e/2 z 44

45 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas Momentos e Esforços Tranversos Relações Momentos e Esforços e Deslocamentos Generalizados T ' 1 0 G T 0 1 M D w M D w 1 M D 2 G ' Ee /

46 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas Trabalho Virtual realizado pelas Deformações Virtuais T V ij ij dv e/2 E E 2 2 z z S e/2 E E w w z E w w ds d

47 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas Integrando ao longo da espessura obtém-se T M M M ds S w w T T ds + S 47

48 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas Aplicando o Teorema de Green, obtém-se M M M M T S T T T T w w ds M cos M sen M sen M cos dl L T w cos T w sen dl L 48

49 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas cos sen Tendo em conta que n s sen cos n s 2 2 M M cos M sen 2 M sen cos n 2 2 M M M sen cos M cos sen t T T cos T sen 49

50 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas O Trabalho virtual dos esforços internos toma a forma M M M12 M12 T S T T T T w w ds Mn n Ms s dl T w dl L L 50

51 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas O trabalho realizado pelas forças eteriores W s p wds Note-se que o Teorema dos trabalhos virtuais obriga a que seja: T W 0 Ver como se obtêm as Equações de Equilíbrio 51

52 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas M M M12 M12 T w S T T T T w w ds Mn n Ms s dl T w dl p(,)wds L L S Equações de Equilíbrio M M M T T T M p, T 52

53 Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas Equações de Equilíbrio em termos dos deslocamentos generalizados w 2 2 D 2 G D 2 G w G w G w p(, )