Equações de Navier-Stokes

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1 Equações de Navier-Stokes J. L. Baliño Escola Politécnica - Universidade de São Paulo Apostila de aula 2017, v. 1 Equações de Navier-Stokes 1 / 16

2 Sumário 1 Relações constitutivas 2 Conservação do momento linear 3 Equação de Navier-Stokes Equações de Navier-Stokes 2 / 16

3 Relação constitutiva para um fluido newtoniano É a relação mais simples entre o tensores de estado de tensão e taxa de deformação (Claude-Louis Navier, 1822; George Gabriel Stokes, 1845). Baseada em três postulados: 1 O fluido é continuo e o tensor de tensor de tensões T é no máximo uma função linear do tensor taxa de deformação ɛ. Corolário: não há efeito da translação ou rotação nem da história pasada (histerese). 2 O fluido é isotrópico (propriedades independentes da direção) e, portanto, a lei é independente dos eixos coordenados escolhidos para descrevé-la. Corolário: os eixos principais dos tensores relacionados são coincidentes. 3 Na ausência de taxa de deformação, o estado de tensão se reduz ao estado hidrostático T = p I. Equações de Navier-Stokes 3 / 16

4 Relação constitutiva para um fluido newtoniano Escolhendo os eixos principais x 1, y 1, z 1 para estabelecer a relação constitutiva. Nestes eixos, as matrices associadas aos tensores são diagonais, resultando das hipóteses: T 11 = p + C 1 ɛ 11 + C 2 ɛ 22 + C 3 ɛ 33 Pela condição de isotropia, as direções perpendiculares a x 1 são equivalentes, isto é C 2 = C 3, resultando dois coeficientes independientes: T 11 = p + (C 1 C 2 ) ɛ 11 + C 2 (ɛ 11 + ɛ 22 + ɛ 33 ) = p + κ ɛ 11 + C 2 ( V) onde κ = C 1 C 2. Analogamente para as outras componentes: T 22 = p + κ ɛ 22 + C 2 ( V) T 33 = p + κ ɛ 33 + C 2 ( V) Equações de Navier-Stokes 4 / 16

5 Relação constitutiva para um fluido newtoniano Fazemos uma transformação aos eixos x, y, z onde as matrices associadas tem elementos extra-diagonais. Se T 1 e ɛ 1 são as matrices associadas aos eixos principais, enquanto T e ɛ são as matrices associadas aos eixos transformados, a transformação resulta: x 1 z ccc 1 n 1 ccc 1 l 1 x z 1 {Q} = ccc 1 m 1 y y 1 ( l1 l 2 l 3 ) m 1 m 2 m 3 n 1 n 2 n 3 T = Q T T 1 Q ɛ = Q T ɛ 1 Q Q: matriz de transformação (cosenos diretores dos eixos transformados colocados em coluna). ; { ĭ 1 = l 1 ĭ + l 2 j + l 3 k ĭ 2 = m 1 ĭ + m 2 j + m 3 k ĭ 3 = n 1 ĭ + n 2 j + n 3 k Equações de Navier-Stokes 5 / 16

6 Relação constitutiva para um fluido newtoniano A transformação para um elemento diagonal (por exemplo T xx e ɛ xx ) e um elemento extra-diagonal (por exemplo T xy e ɛ xy resulta: T xx = l 2 1 T 11 + m 2 1 T 22 + n 2 1 T 33 ɛ xx = l 2 1 ɛ 11 + m 2 1 ɛ 22 + n 2 1 ɛ 33 T xy = l 1 l 2 T 11 + m 1 m 2 T 22 + n 1 n 2 T 33 ɛ xy = l 1 l 2 ɛ 11 + m 1 m 2 ɛ 22 + n 1 n 2 ɛ 33 Substituindo as tensões nas direções principais e levando em conta as relações: ĭ ĭ = l m n 2 1 = 1 ĭ j = l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 Equações de Navier-Stokes 6 / 16

7 Relação constitutiva para um fluido newtoniano T xx = l1 2 [ p + κ ɛ 11 + C 2 ( V)] + m 2 1 [ p + κ ɛ 22 + C 2 ( V)] +n 2 1 [ p + κ ɛ 33 + C 2 ( V)] = p ( l1 2 + m n 2 ) ( 1 + κ l 2 1 ɛ 11 + m 2 1 ɛ 22 + n 2 ) 1 ɛ 33 +C 2 ( V) ( l1 2 + m n 2 ) 1 = p + κ ɛ xx + C 2 ( V) T xy = l 1 l 2 [ p + κ ɛ 11 + C 2 ( V)] + m 1 m 2 [ p + κ ɛ 22 + C 2 ( V)] +n 1 n 2 [ p + κ ɛ 33 + C 2 ( V)] = p (l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 ) + κ (l 1 l 2 ɛ 11 + m 1 m 2 ɛ 22 + n 1 n 2 ɛ 33 ) +C 2 ( V) (l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 ) = κ ɛ xy Equações de Navier-Stokes 7 / 16

8 Relação constitutiva para um fluido newtoniano Definindo κ = 2 µ e C 2 = λ, onde µ é a viscosidade dinâmica e λ é o segundo coeficiente de viscosidade, resultam finalmente: T xx = p + 2 µ ɛ xx + λ ( V) T yy = p + 2 µ ɛ yy + λ ( V) T zz = p + 2 µ ɛ zz + λ ( V) T xy = 2 µ ɛ xy T yz = 2 µ ɛ yz T zx = 2 µ ɛ zx Em forma compacta: ( ui T ij = [ p + λ ( V)] δ ij + 2 µ ɛ ij = [ p + λ ( V)] δ ij + µ + u ) j x j x i T = [ p + λ ( V)] I + 2 µ ɛ = [ p + λ ( V)] I + µ ( V + V T) Equações de Navier-Stokes 8 / 16

9 Pressão mecânica e pressão termodinâmica Somando as tensões normais, o invariante I 1 do tensor de tensões resulta: I 1 = 3 p + 2 µ (ɛ xx + ɛ yy + ɛ zz ) + 3 λ ( V) = 3 p + (2 µ + 3 λ) ( V) Definindo a pressão mecânica como p = I 1 3, resulta: p = p (λ + 23 ) µ ( V) A pressão mecânica não é igual à pressão termodinâmica. O termo conflitivo tem a ver com escoamentos compressíveis (e irrelevante se V = 0) e é objeto de controvérsia. Stokes iludiu o assunto estabelecendo a condição p = p, isto é, λ = 2 µ, o que se conhece 3 como hipótese de Stokes. Equações de Navier-Stokes 9 / 16

10 Termo de força de estado de tensão Devemos acresentar, na equação de conservação do momento linear, o termos de força do estado de tensão T: T = {[ p + λ ( V)] I + µ ( V + V T)} = p + ( V) λ + λ ( V) + ( V + V T) µ +µ ( V + V T) Calculamos o último termo utilizando a convenção de sumatória de Einstein (quando um índice aparece duplicado, significa que deve ser sumado em todos seus valores): ) ( ) uj [ ( V + V T )] i = x j ( ui x j + u j x i = ( 2 V ) i + [ ( V)] i = 2 u i x 2 j ( V + V T) = 2 V + ( V) + x i Equações de Navier-Stokes 10 / 16 x j

11 Termo de força de estado de tensão Substituindo, obtemos: T = p + ( V) λ + (λ + µ) ( V) + ( V + V T) µ + µ 2 V Em termos de operadores "genuinos", o laplaciano vectorial resulta: 2 V = ( V) ( V) A equação de conservação do momento linear resulta, finalmente: DV = V + V V = 1 Dt t ρ p + G + ν 2 V + 1 [ ( (λ + µ) ( V) + ( V) λ + V + V T ) µ ] ρ A relação anterior mostra o acoplamento com a equação da energia, através da massa específica e o gradiente da viscosidade. Equações de Navier-Stokes 11 / 16

12 Equação de Navier-Stokes Considerando a hipótesis de Stokes e viscosidade constante, resulta: DV = V + V V = 1 Dt t ρ p + G + ν 2 V + 1 ν ( V) 3 Finalmente, considerando escoamento incompressível, resulta a equação de Navier-Stokes (N-S): DV Dt = V t + V V = 1 ρ p + G + ν 2 V A equação de N-S é de segunda ordem na velocidade e está desacoplada da equação da energia. Em coordenadas cartesianas, a componente x resulta: Du Dt = u t + u u x + v u +ν y + w u z = 1 ρ ) ( 2 u x u y u z 2 p x + G x Equações de Navier-Stokes 12 / 16

13 Condições de contorno em interfase fluido-sólido Em interfases fluido-sólido, desprezando efeitos de micro-escala caracterizados por grandes números de Knudsen (Kn = l L 0, 1, onde l é o caminho livre médio das moléculas e L é o comprimento característico do problema), é costume supor a condição de não escorregamento: V (r s, t) = V s (t) Se o sólido for permeável (por exemplo, nos casos de sucção ou injeção de fluido) ou se existir mudança de fase (vaporização, condensação, sublimação, deposição) se relaxa a componente normal da velocidade, isto é, V n (r s, t) 0. Equações de Navier-Stokes 13 / 16

14 Condições de contorno em superfície livre (cinemática) Para o caso de uma superfície livre ideal que exerce uma pressão conhecida na interfase, caracterizada pela posição z = η (x, y, t), aplíca-se a condição cinemática de que as partículas na superfície permanecem nela, isto é, a velocidade da partícula na direção vertical é igual ao deslocamento vertical acompanhando as partículas: z p a w (x, y, η, t) = Dη Dt η z = η(x, y, t) = η t + u η x + v η y x y Desprezando a inclinação da superfície, resulta: w (x, y, η, t) = η t Equações de Navier-Stokes 14 / 16

15 Condições de contorno em superfície livre (normal) A curvatura na interface está relacionada com uma força na direção normal. Um balanço na direção normal à interface resulta na equação de Young-Laplace: ( 1 p (x, y, η, t) = p a σ + 1 ) R x R y σ σ 1 R x + 1 R y = [ η x 2 ( η x + 2 η y 2 ) 2 + ( η y onde σ é a tensão superficial. Desprezando efeitos de tensão superficial ou para grandes raios de curvatura, resulta p = p a. ) 2 ] 3/2 Equações de Navier-Stokes 15 / 16

16 Condições de contorno em superfície entre fluídos Considerando que a interfase tem inércia desprezível e possibilidade de variação da tensão superficial ao longo da superfície (escoamento de Marangoni), as condições de contorno resultam: σ 1 2 n τ s1 t τ s2 σ + dd dd dd Continuidade da velocidade: V 1 = V 2 Balanço na direção tangencial: onde: τ s1 + τ s2 = dσ ds τ s2 = ( τ 2 n ) t τ s1 = ( τ 1 n ) t Equações de Navier-Stokes 16 / 16