Fluidos Geofísicos e Meteorologia

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1 Fluidos Geofísicos e Meteorologia Vinícius Roggério da Rocha Instituto de Física - USP 5 de Julho de 2007

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3 Os movimentos atmosféricos se dão baseadas em determinadas leis: Lei da conservação da massa dρ + ρ v dt = 0 1ª Lei da Termodinâmica dt dt = 1 c p dq dt + α c p dp 2ª Lei de movimento de Newton dv dt = F 1 = p ρ dt + G + i F r

4 Forças que provocam e modificam os movimentos da circulação atmosférica

5 Forças que provocam e modificam os movimentos da circulação atmosférica Força de gradiente de pressão Forças dissipativas (atrito ou viscosidade) Força da gravidade Forças não-inerciais

6 Força de viscosidade Definição Fluido newtoniano e Lei de viscosidade: τ = yx µ du dy Coeficiente de viscosidade para gases Valor típico do coeficiente de viscosidade do ar é de 1, Kg/ms Fluido ideal

7 Escalas Análise de escala Exemplos de microescala Camada limite Definição Camada Limite Planetária (CLP) Turbulência Aproximação Parâmetro de Coriolis

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9 Escoamentos geofísicos Sistema de referência em rotação: aceleração da partícula é derivada para um sistema de referências inercial, mas deve-se levar em conta a rotação da Terra (referencial não-inercial) Turbulência: presente em todas as escalas de movimento nos fluidos geofísicos

10 Aplicações Expressão da taxa de mudança Equação fundamental do movimento Geostrofia Vento gradiente, geostrófico e ciclostrófico Vorticidade e circulação Taxa de mudança da vorticidade absoluta

11 Taxa de mudança ( )F v t F Dt DF + = ouconvecção advecçãovertical F advecçãohorizontal z F w y F v x F u t F Dt DF H = =

12 Equação fundamental do movimento Dv = Dt Onde: g = g e p ρ gr r 1 µ 2 + Ω + ρ ( ) Ω r Parâmetro de Coriolis 2Ω v r ( uiˆ vj ˆ wkˆ )

13 Geostrofia Coordenadas cartesianas tangenciais Termo de Coriolis f = 2Ωsenφ Dv Dt = 1 p ρ g + 2Ωwcosφiˆ fuj ˆ + 2Ωsenφkˆ

14 Geostrofia Aproximação geostrófica: balanço entre a força de Coriolis e a força do gradiente de pressão para o movimento horizontal fv = 1 p ρ x => v v g = 1 ρf p x fu = 1 p ρ y => u u g = 1 ρf p y

15 Geostrofia Aproximação geostrófica com viscosidade fv fu 2 1 p u = µ 2 ρ x z 2 1 p v = + µ 2 ρ y z Camada de Ekman

16 Vento gradiente, geostrófico e ciclostrófico Dv Dt H v ( v ) vh = fk vh + f rh H = + ˆ t 1 ρ Coordenadas naturais Define-se os versores, onde: n é orientado na direção do escoamento em cada ponto (paralelo à velocidade horizontal em cada ponto); t é normal a, perpendicular ao escoamento e é definido como positivo à esquerda do escoamento; k é dirigido verticalmente para cima; R é o raio de curvatura da trajetória da parcela de ar, sendo R>0 um giro anti-horário e R<0 horário.

17 Vento gradiente, geostrófico e ciclostrófico Dv Dt 1 = ρ Dv Dv n = t + v Dt Dt R aceleração segundo o movimento p S + f rt taxa de mudança da velocidade da parcela de ar Ao longo do movimento ( ): Perpendicular ao movimento ( n ): 2 v R 1 = ρ p x fv + f rn t 2 aceleração centrípeta devido à curvatura da trajetória

18 Vento Gradiente Escoamento coincide com as isóbaras e despreza-se a fricção Dv Dt 1 = ρ p S + f rt v R 2 1 = ρ p x fv + f rn f 2 4 R 1 p ρ n > 0

19 Vento Gradiente Trajetórias ciclônicas Trajetórias anti-ciclônicas

20 Vento Gradiente Estimativa da pressão central de superfície em ciclones + = p n p r dr R v f v n p ) ( 0 ρ dr R v f v r p r p r + = = 0 ) ( 0) ( ρ

21 Vento geostrófico Ocorre quando R tende a infinito Importante para ciclones pequenos e intensos Velocidades do vento são paralelas às isóbaras em torno dos centros de pressão

22 Vento ciclostrófico Ocorre quando v²/r >> fv 2 v R 1 = ρ p n Exemplo numérico Para um tornado, temos v 75m/s e R 10³m, e temos: v²/r (10³ a 10 4 )/10³ = 1 a 10 m/s² fv ² = 10-2 m/s² Então, temos que v²/r >> fv

23 Tornado Oklahoma, 1999 Dust Devil

24 Vorticidade e circulação Vorticidade Circulação w Γ = = Vorticidade em um ponto é igual à circulação por unidade de área v vds = ( v ) C s = w ξ = dγ da da

25 Convenção de sinais: Anti-horário => w >0 e >0 Horário => w Γ <0 e Γ<0 Trajetórias ciclônicas Trajetórias anti-ciclônicas Escala sinótica ξ = kˆ ( v ) = v x u y

26 Vorticidade absoluta Vorticidade no referencial não-inercial v v r a = r + Ω velocidade absoluta velocidade relativa ao velocidade rotação fluido do pela transferida sistema w a = w + 2Ω, onde Ω = Ωcosφˆj + Ωsenφkˆ Assim, a componente vertical da vorticidade absoluta é definida por: k w a = ξ a = ξ + f

27 Taxa de mudança da vorticidade absoluta Estimar velocidade vertical Formação de nuvens Perfis verticais de convergência/divergência Dispersão de poluentes Estimar variação de pressão Estudar crescimento e decaimento de ciclones de latitude média

28 Teorema de Helmholtz Alguns modelos numéricos atmosféricos (inclusive de previsão de tempo) resolvem as equações completas da vorticidade e divergência ao invés da variação de velocidades horizontais, pois qualquer escoamento pode ser decomposto como a soma de dois vetores velocidade: a) Vetor velocidade não-divergente, mas rotacional; b) Vetor velocidade divergente, mas irrotacional. Essas afirmações constituem o Teorema de Helmholtz, e pode ser expresso por: v H = v ψ parte rotacional não divergente + v φ parte divergente irrotacional

29 Equação da vorticidade D Dt H w v w u x z y z r ( + f ) = ( ξ + f ) v + + ( ρ p) + k ( f ) ξ 2 a b k ρ c d a) Termo da divergência b) Termo de inclinação c) Termo solenóide d) Termo de fricção

30 Termo da divergência Representa a fonte/sumidouro, pode criar/destruir a vorticidade através da convergência/ divergência de massa Convergência Divergência ( v < 0) H ( v > 0) H

31 Termo de inclinação Responsável por inclinar os vórtices Necessário que exista um cisalhamento Formação de tornados e frontogênese

32 Exemplo numérico Supondo um outdraft à frente de uma tempestade de 20m/s a cada 100m e que w muda de 1m/s para 1m/s w ( 1 1 ) u z D ξ Dt = 20m / s 100m w x v z z w y = u z m / s 100m 3 2 ( + f ) + = 4.10 s A vorticidade no centro do tornado pode ser estimada como: ξ v R 100m / s = = 1s 100m Então se um tornado com a inclinação calculada for mantido por 5 minutos: =1,2s -1, que é da ordem de grandeza normalmente observada em um tornado. 1

33 Termo solenóide Não é muito importante no comportamento de sistemas de grande escala

34 Termo de fricção Escoamento desascelera mais rapidamente próximo à fronteira, gerando vorticidade. Este mecanismo é responsável pela geração de vorticidade nas asas de aviões e ao longo de construções muito altas

35 Conclusão Atmosfera tratada como fluido geofísico Escalas variadas com diferentes aproximações Modelagem da atmosfera

36 CPTEC Modelo Regional ETA (7 dias, 20 x 20 km)

37 Referências [1] HOLTON, J.R. - An Introduction to Dynamic Meteorology. 2003, 391p. [2] WALLACE, J.M. e HOBBS, P.V. - Atmospheric Science: An Introductory Survey. Academic Press, New York, 2006, 467p. [3] DUTTON, J.A. - The Ceaseless Wind: An Introduction to the Theory of Atmospheric Motion. 1976, 579p. [4] FOX, R.W. e MCDONALD, A.T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 1992, 662p. [5] MARCHETTI, D.H.U. Notas de Mecânica dos Fluidos (1 sem/2007 IF/USP) [6] ROCHA, R.P. Notas de aula Meteorologia Dinâmica I (2 sem/2006 IAG/USP)