Escoamentos não isotérmicos

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1 Escoamentos não isotérmicos Profa. Mônica F. Naccache 1

2 Condições de contorno: paredes sólidas e interfaces Tipos: Fronteira livre Fronteira limitada: paredes ou interfaces Condição cinemáeca conservação de massa em S, componente normal da velocidade coninuo) u n=û n em S Se a outra fase é sólida, û=u sólido parede fixa impermeável, û=0) Mudança de fase na interface: ρu- u I ) n= ρ û- û I ) n em S Velocidade da interface

3 Condição de contorno térmica Temperatura: θ = ˆ θ em S =θ s se for parede) Fluxo de calor conservação de energia na interface): j n = ˆ j n em S j = k θ + ρ u u I )C P θ θ ref ) ˆ ˆ j = k ˆ θ ˆ + ˆ ρ u ˆ u I C P ) ˆ θ θ ref ) Sem mudança de fase u n = ˆ u n = u I n ) = ˆ k θ n ) k θ ˆ n = Q s se for parede) Com mudança de fase H=C P θ) ) + ˆ k θ n ) = ρ H H ˆ ) u u I k θ ˆ n ) n 3

4 Condição de contorno dinâmica Especifica a relação entre os componentes tangenciais da velocidade Assumindo que a velocidade é coninua na interface não deslizamento): u u n)n = u ˆ u ˆ n)n parede, u ˆ = U sólido ) parede estática : u u n)n = 0 A condição de não deslizamento ocorre na maioria dos fluidos Newtonianos moléculas pequenas), e também em muitas situações dos fluidos complexos 4

5 Condição de contorno de deslizamento: Navier- slip: u u n)n β T n T n) n )n [ ] = 0 β: coeficiente de deslizamento empírico) A condição estabelece que ocorre um deslizamento, e que este é função da magnitude da tensão cisalhante na parede O deslizamento em geral ocorre para altos valores de tensão 5

6 Observações: Nas interfaces, além das CC de velocidade, são necessárias CC adicionais Interfaces mudam ao longo do escoamento. Generalização da condição cinemáeca: F: função escalar que define a forma da interface ) F z h x,y,t 1 F F t + u n = 0 n = ± F F Condição de tensão: balanço de forças na interface que tem volume nulo) - soma das forças na interface é zero Hipótese: interface é caracterizada por uma superccie ou tensão interfacial, que é função do estado termodinâmico local T ou p) Forças agindo na interface: pressão e tensão agindo nas faces proporcionais à área da interface); força devida a tensão interfacial que age no plano da interface, nas bordas do elemento de superccie. Tensão interfacial: medida de energia livre por unidade de área. Aumento de área requer aumento da energia livre trabalho) do sistema. Na teoria macroscópica, este trabalho é produzido pela força por unidade de comprimento γ tensão interfacial) 6

7 Definições: Escoamento viscoso Laminar: transferência de momentum a nível molecular Turbulento: transferência de momentum a nível macroscópico Transição: número de Reynolds Re x = ρux µ = forças inércia forças viscosas u u = u + u' transiente permanente u t 7

8 Escoamento internos x Escoamentos externos O escoamento e transferência de calor apresentam caracterísecas diferentes dependendo se é externo ou interno. ü Escoamento externo: caracterizado pela região com gradiente acentuado de velocidade camada limite hidrodinâmica) e gradiente acentuado de temperatura camada limite térmica) ü Escoamento interno: ü Entrada: comportamento análogo à camada limite externa ü Longe da entrada, em tubulações longas: escoamento desenvolvido: Hidrodinâmicamente desenvolvido: u/ x=0 ; dp/dx=cte Termicamente desenvolvido: forma do perfil de temperatura não varia θ/ x=0, θ é temperatura adimensional θ =T- T ref )/ ΔT ref 8

9 Le/D lam =Re/0 Le/D turb =40 9

10 Escoamento internos x Escoamentos externos Diâmetro hidráulico Fator de atrito Número de Nusselt Temperatura de mistura ou de de bulk ) Região desenvolvida 10

11 Camada Limite Hidrodinâmica: região do fluido que sofre os efeitos da parede u U) U U δx) y x δ uy) τ τ Fluidos Newtonianos: τ s = µ u y y= 0 Espessura da CL depende da viscosidade 11

12 Camada Limite Térmica: região do fluido que apresenta variações no campo de temperatura devido a presença da parede T 0 y x U δt T 0 Ty) δtx) T s T s T T s T 0 = 0,99 T q " s = k f = h T s T 0 ) y y= 0 h = k f T y y= 0 ) T s T 0 h é função da distribuição de temperaturas δt cresce com x T/ y y=0 cai com x h cai com x 1

13 Escoamento interno: Algumas definições Velocidade média: m = ρu m A u m = 1 ρa A ρur, x)da Temperatura de mistura ou de bulk): Diâmetro hidráulico: D H =4A c /P A c - área seção transversal P - perímetro molhado T b = T m = 1 m c v A ρuc v TdA 13

14 - Escoamento no interior de um tubo circular: - Hip.: Escoamento laminar, regime permanente, propriedades constantes, esc. desenvolvido u x = 0 v = 0 - Balanço de forças: τπrdx) {τπrdx) + d [ dr τπrdx) ]dr} + pπrdr) { pπrdr) + d [ dx pπrdr) ]dx} = 0 1 r d rτ) = r dp dr dx - Fluido Newtoniano: τ = µ du dr SubsEtuindo na equação obeda do balanço de forças: µ d! # r dr r du " dr $ & = dp dx ur) = 1 dp r µ dx 4 + C lnr + C 1 CC : ur 0 ) = 0 du = 0 ur) = 1 ) dp dr r=0 4µ dx r! # r * + " r 0 $ & 14,. -.

15 - Velocidade média: u m = r 0 dp 8µ dx - Queda de pressão e fator de atrito para escoamento desenvolvido fator de atrito: f = dp/ dx)d 1/ρu m Coeficiente de atrito: C f = τ 1/ρu m C f = f 4 - Escoamento laminar desenvolvido: f = 64 Re - Escoamento turbulento - superccies lisas: f = 0.316Re 1/4 Re x10 4 f = Re 1/5 Re x10 4 f = 0.79lnRe 0.164) 3000 Re 5x

16 - Número de Nusselt: Nu Lc = hl c k = q s "L c k T s T ref ) # dq conv + m c v T m + pv) m c v T m + pv) + m dc T + pv) v m $ dx dq conv = m dc v T m + pv) taxa de troca de calor por convecção fluxo de energia térmica devida ao fluxo massa + trabalho líquido realizado pelo fluido ao se movimentar através do VC & dx ' = 0 Para gases ideais: pv=rt m, c p =c v +R Para líquidos incompressíveis, c v =c p e v é muito pequeno dpv)<<dc v T m )) dq conv = m c p dt m dq conv = m c p dt m 16

17 Integrando a equação acima ao longo de todo o tubo: q conv calor total transferido ao tubo = m c pt m,s T m,e ) Num elemento diferencial de fluido: dq conv = q" s Pdx P - perímetro da superfície tubo circular : P = πd) dt m dx = q" s P = P ht m c p m c s T m ) p Nu Lc = hl c k = q s "L c k T s T ref ) = m c pl c / P k T s T ) ref dt m dx Se T s >T m, calor é transferido ao fluido e T m cresce com x Se T s <T m, calor é transferido pelo fluido e T m cai com x 17

18 Escoamentos simples unidimensionais: soluções exatas 18

19 Solução de Escoamentos Equações não lineares Soluções exatas só para escoamentos simples p. ex. termos não lineares nulos - u grad u=0) Soluções aproximadas: Soluções numéricas Métodos analíecos - métodos assintóecos ou técnicas de perturbação: soluções analíecas baseadas em aproximações/ hipóteses que simplificam as equações 19

20 Soluções exatas: Escoamentos unidimensionais Escoamento de Coueze - entre placas paralelas infinitas Hipóteses: Propriedades ctes Escoamento desenvolvido Esc. no plano xy: w=0, Regime permanente Fluido Newtoniano T / x = 0, T=Ty) / x = 0) / z = 0 0

21 Eq. conservação de massa: u x + v y = 0 v y = 0 v = cte = 0 v = u ˆ e x + v ˆ e y + w ˆ e z = u y) ˆ e x Eq. conservação de QML: $ ρ u u x + v u ' & ) = p y x + µ $ u x + u' & ) + ρg y x $ ρ u v x + v v ' & ) = p y y + µ $ v x + v ' & ) + ρg y y p y ρg = 0 p = f x) ρgy P = p + ρgy P y = p y + ρg = 0 dp = µ $ u' & ) y dx g x ) h y) P x = p x = dp dx = cte= A) u = A y µ + C y + C 1 1

22 CC : y = a u = 0 y = a u =U u = dp dx u m = 1 3 dp dx a # µ $ a µ + U τ = µ du dy = a dp dx y 1 a # $ y a & + U ' & + µ U ' a # y $ a +1 & ' Casos pareculares: U=0 dp/dx=0 f = fator de atrito: dp/ dx)d 1/ρu m Coeficiente de atrito: C f = τ 1/ ρu m Exercício: Obtenha o fator de atrito para estes casos pareculares

23 Eq. da Energia:! ρc p u T x + v T $! # & = k T " y x + T $ # &+ µφ + q " y - /! µφ = µ # u y + v $. & 0/ " x '! + u $ )# & ) " x! + v $ # & " y * 1 /, +, 3/! 0 = k d T $! # &+ µ du $ # & " dy " dy T = µ '! dp $ )# & k ) " µ dx CC : y = a y dp Uy 3 dx 6aµ +! # U " a T = T 0 placa inferior) y = a T = T 1 placa superior) θ = T T o = 1 ' T 1 T o 1+ y * ) a+, + µ c p k 1 µ c p 3 k U [dp / dx a / µ)] c p T 1 T o ) c p $ & y U 1! # T 1 T o ) 8" *, +, + C 1y + C y 1 a! y a $ # y3 &+ 1 µ c p " a 3 3 k $ &+ dp / dx a / µ) ) c p T 1 T o )! # " 1 y4 a 4 $ & 3

24 Número de Prandtl: razão entre difusividades de momentum e térmica Número de Eckert: energia cinéeca/variação entalpia caracteriza a dissipacão Pr = ν α = µ / ρ k / ρc p E = c p U T 1 T o ) ) = µ c p k T T o T 1 T o = 1 " 1+ y # $ a& ' + Pr E 1 * 8) 1 3 Pr U [dp / dx a / µ)] c p T 1 T o T T o T 1 T o ) * ) = 1 " 1+ y # $ a& ' + Pr E 1 * 8) 1 3 Pr E [dp / dx a / µ)] U * ) y 1 a y a y3 a 3 y 1 a y a y3 a , ) , 3 Pr dp / dx a / µ) c p T 1 T o + -+, ) +, Pr E dp / dx a / µ) U * ) ) 1 y4 a 4 * ) + -, 1 y4 a 4 + -, 4

25 Exemplos: 1. dp/dx=0 q w " = k T ' y & q w " = k T ' y & y =a y = a = k T 1 T o a = k T 1 T o a 1 Pr E + ) *, - 1+ Pr E + ) *, - = * *. k T o T 1 + Pr U * 0 / c ' * p & * ) a Temp. de recuperação ou Temp. de parede adiabática temperatura da parede inferior, quando ela está isolada i.e., q w =0) , 5

26 Perfil de temperatura para placa inferior adiabáeca q wi =0): T = T 1 + µ k U 8 # 3 y a y & $ a ' T aw = T y = a) = T 1 + Pr U c p T aw - temperatura aengida pela superccie adiabáeca, devido à dissipação viscosa - Aumento de temperatura devido a conversão de energia cinéeca da placa superior) em energia térmica - Def.: Fator de recuperação= En. térmica recuperada En. cinéeca na placa superior r = c T p T aw 1) U / = Pr Gases: Pr < 1 è r < 1 Líquidos: Pr > 1 è r > 1 6

27 . dp/dx 0 e U=0 T T o T 1 T o E = c p = 1 # 1 + y & $ a ' Pr E ) 1 y 4, +. * a 4 - u max T 1 T o ) q w / = k T,. y - q w / = k T,. y - y = a y = a = k T 1 T o a = k T 1 T o a # 1 8 $ 3 Pr E & ' # ) 8 Pr u k T # 1+ 8 o T 1 + max + $ 3 Pr E & ' = $ * 3 c p a,&. -' T aw = T Pr u max 3 c p r = c T T ) p aw 1 =1 Pr / u max 7