Escoamentos Internos

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1 Escoamentos Internos Os escoamentos internos e incompressíveis, onde os efeitos da viscosidade são consideráveis, são de extrema importância para os engenheiros! Exemplos, Escoamento em tubo circular: veias e artérias de um corpo; sistema de saneamento e abastecimento de água da cidade; sistema de irrigação do agricultor; sistemas de tubulações que transportam fluidos em uma fábrica; linhas hidráulicas de uma aeronave, e jato de tinta da impressora do computador. Escoamentos em dutos não-circulares e canais abertos Vimos que efeitos viscosos resultam no número de Reynolds: Re ρvl µ Quando as áreas de superfície, tais como a área da parede de um tubo, são relativamente grandes os efeitos viscosos tornam-se bastante importantes

2 Região de entrada e Escoamento Totalmente esenvolvido (L M ) L M L M 0,065Re, para escoamento laminar 4,4 1 6 ( Re), para escoamento turbulento (1) () a Eq. 1: L M 0,65 se Re 10, L M 130 se Re 000 (lembrando que, grosso modo, o escoamento laminar em tubos ocorre para números de Reynolds até 000). Nós encontramos muitos problemas da engenharia em que 10 4 < Re < 10 5, a Eq. : 0 < L M < 30.

3 Tensão de cisalhamento e Pressão No escoamento plenamente desenvolvido, em regime permanente e num tubo horizontal com diâmetro constante, os efeitos viscosos oferecem a força de resistência que equilibra exatamente a força de pressão, sendo p / x p / Na região de entrada existe um equilíbrio entre as forças de pressão, as viscosas e as de inércia. Assim, o módulo do gradiente de pressão p / x é maior na região de entrada l Pgm 3 (09:5)

4 Exemplo 1: Um tubo horizontal de diâmetro pequeno é conectado a um reservatório, como mostra a Fig. Se 6600 mm 3 são capturados na saída em 10 s, estime a viscosidade da água. Verificar: a- se a hipótese de carga de velocidade desprezível é válida, b- se a hipótese de escoamento laminar é aceitável c- se a hipótese de escoamento totalmente desenvolvido é válida. (Quadro negro)

5 Tensões Tangenciais nos Escoamentos Turbulentos Totalmente esenvolvidos Nas situações práticas, a maioria dos escoamentos em tubos encontrados são turbulentos A título de ilustração, podemos dizer que: Re < 000, regime laminar 000 < Re < 4000, escoamento oscila ao acaso entre regime laminar e regime turbulento (zona crítica) Re > 4000, regime turbulento ou eventualmente regime completamente turbulento, este último independente do número de Reynolds. Em um escoamento turbulento totalmente desenvolvido as três componentes da velocidade são diferentes de zero, podendo ser escritas em termos de uma quantidade média e uma parte flutuante no tempo: u u + u, v v + v, w w + w Neste caso: u 0 e v w 0 Pgm3 (13:00)

6 Utiliza-se a abordagem de partícula fluida. Em um instante de tempo dado, uma partícula do fluido move-se através de uma área incremental da, devido à flutuação de velocidade v ; ela entra em uma camada vizinha de fluido, que está se movendo a uma velocidade mais alta na direção x e, assim, fornece um efeito retardador sobre a camada vizinha A componente x da força resultante seria: df ρv da u fluxo mássico vazão mássica variação negativa na comp. x da velocidade ividindo ambos os lados pela área da, e tomando a média temporal, temos: τ turb ρu v Obs. u v é, na média, uma quantidade negativa, pois v positivo produz um u negativo. a qual é a tensão de cisalhamento turbulenta aparente ou Tensão de Reynolds

7 A tensão cisalhante total em uma localização particular seria devida a ambas, à viscosidade e à troca de quantidade de movimento descrita acima, ou seja: u τ τ visc + τ turb µ ρu v y Em que: T 1 1 τ τ T T 0 () t dt e u v u v () t T 0 dt A tensão cisalhante total pode ser relacionada ao gradiente de pressão somando-se as forças sobre o elemento cilíndrico horizontal mostrado à direita na figura acima: r dp dx r p L τ (3) Nota: perceba a distribuição linear da tensão de cisalhamento em um escoamento turbulento, assim como em um escoamento laminar. Pgm3 (14:10)

8 istribuição da tensão de cisalhamento em um escoamento turbulento totalmente desenvolvido em um tubo:

9 Perfil de Velocidade Turbulento O perfil da velocidade média em um tubo é muito sensível à magnitude da altura média da rugosidade da parede, e. Se a espessura da subcamada viscosa δ v é suficientemente grande, ela sobrepõe os elementos da rugosidade da parede. Esta condição é citada como hidraulicamente lisa. Se a subcamada viscosa é relativamente fina, os elementos rugosos projetam-se para além dessa camada e a parede é rugosa. A rugosidade relativa e/ e o número de Reynolds podem ser usados para determinar se um tubo é liso ou rugoso Obs. para tubo liso, δ / ν 5 u τ v

10 Tubo liso região externa subcamada viscosa zona intermediária região da parede (Fig. A) onde u τ ρ é a velocidade de atrito Tubo rugoso:,44ln + 8, 5 τ Na região externa ou central, onde a tensão turbulenta predomina, os dados do perfil das velocidades são bem correlacionados pela equação u τ o u u u u máx τ y e ro,44 ln + y y 0,8 / r o 0,15

11 Lei de potência ou exponencial Uma forma alternativa mais simples que descreve adequadamente a distribuição da velocidade do escoamento turbulento em um tubo é o perfil da lei de potência u u máx y r o 1 n 1 r r o 1 n (3.1) Limitações: 1. falha ao prever a tensão de cisalhamento na parede. falha ao fornecer declividade zero na linha de centro

12 a lei de potência, a velocidade média é dada por: V r o o u ( r) πr πrdr o n u ( )( ) máx n + 1 n + 1 (3.) Introduzimos o fator de atrito, f, que é uma tensão de cisalhamento adimensional na parede, definido por: f O expoente n,em alguns casos, pode ser relacionado ao fator de atrito, f, pela expressão empírica: n 1 ρ V 8 n varia de 5 a 10, dependendo do n o. de Reynolds e da rugosidade da parede do tubo e/. O valor 7 é comumente usado ( perfil exponencial um sétimo ) τ o (3.3) 1 f (3.4)

13 Exemplo A água a 0 o C escoa em um tubo de 10 cm de diâmetro a uma velocidade média de 1,6 m/s. Se os elementos de rugosidade têm 0,046 mm de altura, a parede é considerada lisa ou rugosa? (Quadro negro)

14 Exemplo 3 O tubo horizontal de 4 cm de diâmetro da Fig. transporta 0,004 m 3 /s de água a 0 o C. Usando o perfil da lei de potência, faça uma aproximação para: (a) o fator de atrito, (b) a velocidade máxima, (c) a posição radial em que u V, (d) o cisalhamento na parede, e (e) a queda de pressão sobre um comprimento de 10 m (Quadro negro)

15 Avaliação Energética do Escoamento em Tubos Q Q Escoamentos Internos (cont.) Supondo um escoamento permanente num tubo de seção variável, a equação da energia seria: ( W + W + W ) eρdv + ( e + pv) eixo cisalhamento outro t ρv Supondo que não há trabalho de nenhuma espécie, escoamento permanente, incompressível e que a energia interna e pressão são uniformes nas seções (1) e (): p p1 α V α1v1 m u u1 m mg z z1 m ρ ρ onde a é o coeficiente cinético de energia. ividindo a Eq. acima pela vazão mássica e organizando os termos, temos: ( ) ( ) p V p V α + gz α gz + ρ + + ρ VC SC ( u u ) δq dm da Os últimos dois termos do lado direito da Eq. acima são identificados como sendo a perda de carga total; então: p V 1 1 p V + α + gz α + gz ρ ρ h lt (4) Obs: grosso modo, escoamento laminar, a ; turbulento, a 1

16 Cálculo da perda de carga A perda de carga total é a soma das perdas de carga contínuas e das perdas de carga locais: h h + lt l h lm A- Perda de carga contínua: Fator de Atrito Através de tubo horizontal de seção constante, h lm 0, ( V ) α ( ) α 1 1 V torna: e z 1 z, portanto a Eq. (4) se a conservação da energia p 1 ρ p p ρ h l (5) Assim, as perdas de carga contínuas podem ser expressas pela perda de pressão para escoamentos plenamente desenvolvidos através de tubos horizontais de área constante

17 A.1. Escoamento Laminar A perda de pressão pode ser computada analiticamente para escoamento laminar plenamente desenvolvido em tubo horizontal. Assim, da Lei de Poiseuille, temos: p 8Qµ L πr 18µ LQ π 18µ LV π ( π 4) L µ V (6) Substituindo (6) em (5): a conservação da q.d.m. h l 3 L µ V ρ L V 64 µ ρv 64 Re L V (7) Nota: perceba o acoplamento das eqs. da energia e q.d.m.

18 Fator de Atrito a Eq. (3), temos, na parede do tubo, que: p τ r Se introduzirmos o fator de atrito f (que é uma tensão de cisalhamento adimensional na parede de substancial interesse em escoamentos em tubos), definido por: vemos que: f τ o o o 1 ρ V 8 L p ρ f L V (8) Essa equação é muito conhecida e é chamada de equação de arcy-weisbach. Substituindo (8) em (5) e comparando com (7), temos que: 64 L V h l Re f L V ou seja, para escoamento laminar o fator de atrito, f, é dado por: f laminar 64 Re

19 A.. Escoamento Turbulento No escoamento turbulento plenamente desenvolvido não podemos avaliar analiticamente a queda de pressão. Porém, sabemos da observação que a queda de pressão p devida ao atrito em tubo horizontal de seção constante depende do diâmetro, do comprimento L, da velocidade média V, da densidade ρ e da viscosidade do fluido µ, e da altura da rugosidade e. Talvez a quantidade mais desejada em um escoamento em um tubo seja a perda de carga. Se a perda de carga é conhecida, a mudança de pressão pode ser calculada.

20 edução do fator de atrito por análise dimensional Aplicando a análise dimensional a um escoamento totalmente desenvolvido em um tubo, temos: p φ Re, ρv L Substituindo a Eq. (5) em (9), temos: h l L φ Re,, V Experiências mostram que h l é diretamente proporcional a L/, assim: h l 1 V L φ Re,, e e e (9) Obs. perda de carga adimensionalizada pela energia cinética do fluido escoante A função desconhecida φ (Re, e/) é definida como o fator de atrito, f. L V h l f (10)

21 rugosidade relativa e/ iagrama de Moody (1944)

22 Analisando o diagrama de Moody, percebe-se que: 1. No regime de escoamento laminar, o fator de atrito decresce com o aumento do n o. de Reynolds.. Na zona crítica, f aumenta acentuadamente. 3. No regime de escoamento turbulento, o fator de atrito decresce gradualmente ao longo da curva dos tubos lisos 4. No regime de escoamento completamente turbulento, o fator de atrito torna-se independente do n o. de Reynolds Há uma série de correlações semi-empíricas que representam o diagrama de Moody; alguns exemplos: Correlação de Blasius (tubos lisos e Re < 10 5 ): f 0,3164 Re 0,5 Correlação de Colebrook (Re > 4000): 1 f 0,5 e /,51,0 log + 0, 5 3,7 Re f Obs.: Na correlação de Colebrook, se e 0, tem-se uma expressão para escoamento em tubo liso (nos moldes da correlação de Blasius); se Re, tem-se uma equação para a região completamente turbulenta

23 Uma alternativa ao diagrama de Moody, que evita qualquer processo de tentativa e erro, torna-se possível através de correlações explicitas como as apresentadas por Swamee e Jain (1976) para o escoamento em um tubo. Elas podem ser aplicadas para cada uma das três categorias de problemas que são identificadas para um escoamento turbulento totalmente desenvolvido em um tubo de comprimento L: Correlações de Swamee e Jain:

24 B- Perdas Locais Quando o escoamento passa por uma variedade de acessórios, curvas ou abruptas mudanças de seção, ocorrem perdas de carga adicionais, resultantes principalmente do descolamento do fluxo. As perdas de carga locas podem ser expressas por: ou V h lm K h lm f L e V onde L e éo comprimento equivalente de tubo reto.

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26 Exemplo 4 Uma queda de pressão de 700 kpa é medida sobre um comprimento de 300 m de um tubo em ferro forjado de 10 cm de diâmetro que transporta óleo (densidade 0,9, viscosidade 10-5 m /s). Calcule a vazão usando (a) o diagrama de Moody e (b) correlações empíricas. (Quadro negro)

27 Exemplo 5 Ar, nas condições normais, está para ser transportado através de 500 m de um duto retangular horizontal e liso medindo 30 cm X 0 cm, a uma vazão de 0,4 m 3 /s. Calcular a queda de pressão. (Quadro negro)

28 Exemplo 6 Se a vazão através de um tubo de ferro forjado de 10 cm de diâmetro é de 0,04 m 3 /s, encontre a diferença de elevação H para os dois reservatórios. (Quadro negro)