Escoamentos Internos

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1 Escoamentos Internos Os escoamentos internos e incompressíveis, onde os efeitos da viscosidade são consideráveis, são de extrema importância para os engenheiros! Exemplos, Escoamento em tbo circlar: veias e artérias de m corpo; sistema de saneamento e abastecimento de ága da cidade; sistema de irrigação do agricltor; sistemas de tblações qe transportam flidos em ma fábrica; linhas hidrálicas de ma aeronave, e jato de tinta da impressora do comptador. Escoamentos em dtos não-circlares e canais abertos Vimos qe efeitos viscosos resltam no número de Reynolds: Re ρvl µ Qando as áreas de sperfície, tais como a área da parede de m tbo, são relativamente grandes os efeitos viscosos tornam-se bastante importantes

2 Região de entrada e Escoamento Totalmente Desenvolvido (L M ) L M D L M D 0,065Re, para escoamento laminar 4,4 1 6 ( Re), para escoamento trblento (1) (2) Da Eq. 1: L M 0,65D se Re 10, L M 120D se Re 2000 (lembrando qe o escoamento laminar em tbos ocorre para números de Reynolds menores do qe 2000). Nós encontramos mitos problemas da engenharia em qe 10 4 < Re < 10 5, Da Eq. 2: 20D < L M < 30D. pgm3 : (9:25-10:40)

3 Exemplo : Um tbo horizontal de diâmetro peqeno é conectado a m reservatório, como mostra a Fig. Se 6600 mm 3 são captrados na saída em 10 s, estime a viscosidade da ága. Verificar: a- se a hipótese de escoamento laminar é aceitável b- se a hipótese de escoamento totalmente desenvolvido é válida.

4 Tensão de cisalhamento e Pressão No escoamento plenamente desenvolvido, em regime permanente e nm tbo horizontal com diâmetro constante, os efeitos viscosos oferecem a força de resistência qe eqilibra exatamente a força de pressão, sendo p / x p / Na região de entrada existe m eqilíbrio entre as forças de pressão, as viscosas e as de inércia. Assim, o módlo do gradiente de pressão p / x é maior na região de entrada l

5 Escoamento trblento em m tbo Nas sitações práticas, a maioria dos escoamentos em tbos encontrados são trblentos A títlo de ilstração, podemos dizer qe: Re < 2000, regime laminar 2000 < Re < 4000, escoamento oscila ao acaso entre regime laminar e regime trblento (zona crítica) Re > 4000, regime trblento o eventalmente regime completamente trblento, este último independente do número de Reynolds. Em m escoamento trblento totalmente desenvolvido as três componentes da velocidade são diferentes de zero, podendo ser escritas em termos de ma qantidade média e ma parte fltante no tempo: +, v v + v, w w + w Neste caso: 0 e v w 0

6 Tensões Tangenciais nos Escoamentos Trblentos Totalmente Desenvolvidos Utiliza-se a abordagem de partícla flida. Em m instante de tempo dado, ma partícla do flido move-se através de ma área incremental da, devido à fltação de velocidade v ; ela entra em ma camada vizinha de flido, qe está se movendo a ma velocidade mais alta na direção x e, assim, fornece m efeito retardador sobre a camada vizinha A componente x da força resltante seria: df ρv da flxo mássico variação na comp.x da velocidade Dividindo ambos os lados pela área da, e tomando a média temporal, temos: τ trb ρ v Obs. v é, na média, ma qantidade negativa, pois v positivo prodz m negativo. a qal é a tensão de cisalhamento trblenta aparente o Tensão de Reynolds

7 A tensão cisalhante total em ma localização particlar seria devida a ambas, à viscosidade e à troca de qantidade de movimento descrita acima, o seja: τ τ visc + τ trb µ ρ v y Em qe: T 1 1 τ τ T T 0 () t dt e v v () t T 0 dt A tensão cisalhante total pode ser relacionada ao gradiente de pressão somando-se as forças sobre o elemento cilíndrico horizontal mostrado à direita na figra acima: r 2 dp dx r p 2L τ (3)

8 Distribições da tensão de cisalhamento em m escoamento totalmente desenvolvido em m tbo:

9 Perfil de Velocidade Trblento O perfil da velocidade média em m tbo é mito sensível à magnitde da altra média da rgosidade da parede, e. Se a espessra da sbcamada viscosa δ v é sficientemente grande, ela sobrepõe os elementos da rgosidade da parede. Esta condição é citada como hidralicamente lisa. Se a sbcamada viscosa é relativamente fina, os elementos rgosos projetam-se para além dessa camada e a parede é rgosa. A rgosidade relativa e/d e o número de Reynolds podem ser sados para determinar se m tbo é liso o rgoso Obs. para tbo liso, δ / ν 5 τ v

10 Tbo liso região externa sbcamada viscosa zona intermediária região da parede (Fig. A) onde τ τ o ρ é a velocidade de atrito Tbo rgoso: 2,44ln + 8, 5 τ Na região externa o central, onde a tensão trblenta predomina, os dados do perfil das velocidades são bem correlacionados pela eqação máx τ y e ro 2,5ln y y / r o 0,15

11 Lei de potência o exponencial Uma forma alternativa mais simples qe descreve adeqadamente a distribição da velocidade do escoamento trblento em m tbo é o perfil da lei de potência máx y r o 1 n 1 r r o 1 n (3.1) Limitações: 1. falha ao prever a tensão de cisalhamento na parede 2. falha ao fornecer declividade zero na linha de centro

12 Da lei de potência, a velocidade média é dada por: V r o o ( r) πr 2πrdr 2 o 2n 2 ( )( ) máx n + 1 2n + 1 (3.2) Introdzimos o fator de atrito, f, qe é ma tensão de cisalhamento adimensional na parede, definido por: f O expoente n é relacionado ao fator de atrito, f, pela expressão empírica n o (3.3) 2 1 ρ V 8 1 n varia de 5 a 10, dependendo do n o. de Reynolds e da rgosidade da parede do tbo e/d. O valor 7 é commente sado ( perfil exponencial m sétimo ) τ f (3.4)

13 Exemplo A ága a 20 o C escoa em m tbo de 10 cm de diâmetro a ma velocidade média de 1,6 m/s. Se os elementos de rgosidade têm 0,046 mm de altra, a parede é considerada lisa o rgosa? (Qadro negro)

14 Exemplo O tbo horizontal de 4 cm de diâmetro da Fig. transporta 0,004 m 3 /s de ága a 20 o C. Usando o perfil da lei de potência, faça ma aproximação para: (a) o fator de atrito, (b) a velocidade máxima, (c) a posição radial em qe V, (d) o cisalhamento na parede, e (e) a qeda de pressão sobre m comprimento de 10 m (Qadro negro)