FENTRAN. Universidade Federal Fluminense Escola de Engenharia. Aula 9 Escoamento em tubulações

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1 Universidade Federal Fluminense Escola de Engenharia FENTRAN Aula 9 Escoamento em tubulações Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente) Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)

2 Aula 9 Escoamento em tubulações Introdução Perda de carga Fórmula universal Cálculo do fator de atrito f Escoamento laminar Turbulento liso Turbulento rugoso Rugosidade transicional Formulas aproximadas Seções não circulares

3 Introdução

4 Energia hidráulica num ponto i: H i = p i γ + α i V i 2 2g + z i = 1 A A u V max 3 da escoamento laminar: = 2 escoamentos turbulentos: 1,04 1,11

5 Energia hidráulica num ponto i: = 1 A A u V max 3 da Para o escoamento num tubo (ponto 1 ao 2) com diâmetro constante regime permanente; e variação de energia H 12 (diminuição +) H i = p i γ + α i V i 2 2g + z i escoamento laminar: = 2 escoamentos turbulentos: 1,04 1,11 A 1 = A 2 V 1 A 1 =V 2 A 2 H 1 = H 2 + ΔH 12, onde H = h Turbina h Bomba + h Perdas p 1 γ + α 1 V 1 2 2g + z 1 = p 2 γ + α 2 2 V 2 2g + z 2 + h P h P = p γ + z

6 Equação do momentum em regime permanente: F = mv + saída i ; m = ρv nr A entrada Ao longo do eixo do tubo (direção x): p 1 A p 2 A+Wsenα τ p A p = m 2 V 2 m 1 V 1 1 p 1 princípio da continuidade: m 2 = m 1 = m τ p peso: W = ρ V g = ρ AL g r Z área da parede: senα = z L A p = P L p A + ρ AL g z L τ pp L = ρv 1 A 1 = ρv 2 A 2 m V 2 V 1 g x p 2 2 D Aρg = h P p ρg + z = τ p ρg P A L h P = 4τ p ρg L D

7 Equação do momentum em regime permanente: F = mv + saída i ; m = ρv nr A entrada Ao longo do eixo do tubo (direção x): p 1 A p 2 A+Wsenα τ p A p = m 2 V 2 m 1 V 1 1 p 1 princípio da continuidade: m 2 = m 1 = m τ p peso: W = ρ V g = ρ AL g r Z área da parede: senα = z L A p = P L p A + ρ AL g z L τ pp L = ρv 1 A 1 = ρv 2 A 2 m V 2 V 1 g x p 2 2 D Aρg = h P p ρg + z = τ p ρg P A L h P = 4τ p ρg L D

8 Teorema dos s: Seja um fenômeno físico representado por uma relação dimensionalmente homogênea de n variáveis dimensionais, na forma: F u 1, u 2,, u n = 0 pode ser descrito por: Φ Π 1, Π 2,, Π n r = 0 onde são grupos adimensionais formados pela combinação das variáveis dimensionais: Π i = A i u 1 α i1 u 2 α i2 u n α in e r o número de grandezas básicas. Ex.: M (massa) L (comprimento) T (tempo)

9 Variáveis: Variação da pressão ( p) Massa específica ( ) Velocidade média do escoamento (V) Diâmetro interno da tubulação (D) Comprimento da tubulação (L) Viscosidade ( ) Rugosidade da parede interna ( ) h P = p γ + z Δp = G ρ, V, D, μ, L, ε F Δp, ρ, V, D, μ, L, ε = 0 Pelo teorema dos s: Φ Π 1, Π 2,, Π n r = 0 Π 1 = Ψ Π 2, Π 3, Π = 4

10 Variáveis: p,, V, D, L,, Grupos adimensionais: Π i = A i u 1 α i1 u 2 α i2 u n α in h P = p γ + z Número de Euler Número de Reynolds (Re) Rugosidade relativa Π 1 = Δp ρv 2 Π 2 = ρvd μ Π 3 = ε D Comprimento relativo Π 4 = L D Π 1 = Ψ Π 2, Π 3, Π 4 Δp ρv 2 = Ψ Re, ε D, L D

11 Δp ρv 2 = Ψ Re, ε D, L D h P = p γ + z p = γh P Informação experimental: Δp L D Δp ρv 2 = L D ψ Re, ε D Δp = ρ ψ L D V2 ρg γh P = ρ ψ L D V2 f = f(re, ε/d) h P = ψ L V 2 2 D 2g h P L = f D V 2 2g J = h P L = f D V 2 2g Fórmula universal da perda de carga ou equação de Darcy-Weisbach.

12 pela tensão cisalhante de parede: h P = 4τ p ρg L D J = h P L = 4τ p ρgd 4τ p ρgd = f V 2 D 2g pela análise dimensional: (Darcy-Weisbach) J = h P L = f V 2 D 2g τ p ρ = f 8 V Velocidade de atrito: u = τ p ρ = f 8 V

13 Exemplo: Numa tubulação de 300 mm de diâmetro, água escoa em uma extensão de 300 m, ligando um ponto A, na cota topográfica de 90,0 m, no qual a pressão interna é de 275 kpa, a um ponto B, na cota topográfica de 75,0 m, no qual a pressão interna é de 345 kpa. Determine: a) o sentido do escoamento; b) a perda de carga entre A e B; c) a tensão de cisalhamento na parede do tubo; d) a velocidade de atrito; e e) o fator de atrito da tubulação, se Q = 0,14 m³/s. (considere = 1000 kg/m 3 e g = 10 m/s 2 ) a) p A = 275 kpa z A = 90 m A Q? γ = ρg = 10 4 N/m³ H A = p 2 A γ +α V A A 2g +z A = α V A A 2g +90 p 2 B H B = γ +α V B B 2g +z B = α V B B 2g +75 B z B = 75 m p B = 345 kpa V A A A = V B A B = 117,5+α V 2 2g = 109,5+α V 2 2g H A > H B O escoamento ocorre de A para B b) h P = H AB = H A H B = 8 m c) h P = 4τ p ρg τp = L D τ p = h P ρ g D 4L , = 20 Pa d) u = τp/ρ = 20 / 1000 = 0,14 m/s e) u = τp/ρ = f/8v f =8 u V V = Q A = 0,14 π 0,3 2 = 2 m/s f = 0,04 4 2

14 Equação de Darcy-Weisbach: Q = VA V = Q/A J = h P L = f D V 2 2g = 8 π 2 g fq 2 fq2 = 0,0826 D5 D 5 fator de atrito f = f Re, ε D =??? regime laminar... regime turbulento...

15 Escoamento laminar

16 Lei de Newton da viscosidade (escoamento unidimensional): τ = μ du dy μ du dr μ du dr = h P ρ g r 2L R R r y x u(y) = u(r) = R-r dy = -dr h P = 4τ p ρg r L 2R τ = h P ρ g r 2L R du dr dr = h P ρ g 2L r R r dr du dr = h P ρ g 2Lμ u r = h Pρg 4Lμ R2 r 2 r τ p u R u r R 2 r 2 /2 Velocidade média: Q = A u da = π h f ρ g R 4 8 L μ V = Q A V = Q π R 2 = h f ρ g R 2 8 L μ h P = L f D = h f ρ g D 2 32 L μ V 2 2g = 32 L μ V D 2 ρg h f = 32 L μ V D 2 ρg Comparando com Darcy-Weisbach: f = 64 ρvd/μ f = 64 Re

17 γ = N/m³ μ =? Exemplo: Um líquido com = N/m³ escoa por gravidade através de um tanque com 30 cm de altura e um tubo capilar, também com 30 cm de altura, numa vazão de 4,25 L/h, como mostrado na figura ao lado. As seções 1 e 2 estão à pressão atmosférica. Desprezando os efeitos de entrada, calcule a viscosidade do líquido. 30 cm 1 30 cm d = 1,2 mm 2 Q = 4,25 L/h

18 Exemplo: H 1 = H 2 + H 12 H i = 0 γ = N/m³ μ =? 2 p i γ + α V i i 2g + z i H = h T h B +h P 0 p γ +α V 1 1 2g +z 1 = p 2 2 γ +α V 2 2 2g +z 2 +h P 30 cm 1 0,6 m 2 V h P = z 1 z 2 α 2 2 2g = 0,6 2 1, ,8 = 0,49 m V 2 = Q Q = A 2 πd 2 /4 = 4, /3600 π 1, /4 = 1,04 m/s 30 cm d = 1,2 mm considerando laminar: 2 = 2 ; f = 64/Re h P = L f V 2 D 2g f = 2Dgh P LV 2 = 2 1, ,8 0,49 0,3 1,04 2 = 0,035 (Darcy-Weisbach) 2 Q = 4,25 L/h

19 Exemplo: H 1 = H 2 + H 12 H i = H = h T h B +h P 0 0 p γ +α V 1 1 2g +z 1 = p 2 2 γ +α V 2 2 2g +z 2 +h P 0,6 m 2 V h P = z 1 z 2 α 2 2 γ = N/m³ μ =? 2g 2 p i γ + α V i i 2g + z i V 2 = Q Q = A 2 πd 2 = 4, /3600 /4 π 1, /4 considerando laminar: 2 = 2 = 0,6 2 1, ,8 = 0,49 m = 1,04 m/s ; f = 64/Re h P = L f V 2 D 2g f = 2Dgh P LV 2 = 2 1, ,8 0,49 0,3 1,04 2 = 0,035 (Darcy-Weisbach) Re = 64 = 64 f 0,035 = 1800 Re < 2000 laminar γ = ρg ρ = γ/g Re = ρvd μ μ = γvd g Re = γvd gμ ,04 1, = 9, = 0, kg/m.s μ = 0,64 cp

20 Equação de Darcy-Weisbach: Q = VA V = Q/A J = h P L = f D V 2 2g fator de atrito f = f Re, ε D =??? regime laminar : f = 64 Re regime turbulento...

21 Escoamento turbulento liso

22 Grandeza (t) (t) φ p u v w (t) φ t = 1 T t t+tφ dt t Tempo φ t = φ t + φ t Equações da Continuidade e de Navier-Stokes: (fluido newtoniano e incompressível)...com média de Reynolds: u x + v y + w z φ t = φ t + φ t u x + v y + w z ρ g p + μ 2 V = ρ dv dt t t+t ρg x p x + y u μ y ρu v τ = τ lam + τ turb = ρ d u dt

23 y u camada limite 0,99u u

24 Escoamento Turbulento Camada Limite: y y U(x) y = δ x Camada turbulenta externa u(x, y) Camada intermediária τ turb τ(x, y) τ lam Subcamada laminar parede do tubo τ P (x)

25 Lei logarítmica da camada intermediária Millikan (1937) y + = yu ν u + = 1 κ ln y+ + B camada turbulenta externa 30 5 y + 11 u + = y + Lei interna de parede camada intermediária subcamada viscosa u + = u u

26 Lei logarítmica da camada intermediária Millikan (1937) y + = yu ν u + = 1 κ ln y+ + B camada turbulenta externa 30 5 y + 11 u + = y + Lei interna de parede camada intermediária subcamada viscosa u + = u u

27 Lei logarítmica da camada intermediária: em um tubo: u u = 1 κ ln R r u ν + B u + = 1 κ ln y+ + B R r u u = 1 yu ln κ ν + B velocidade média: V = Q A = A u da A V u = R u ln κ ν + 2B 3 κ = 0,41 e B = 5,0 V R u = 2,44 ln u ν + 1,34 1 f = 1,99 log Re f 1,02 e lembrando que: u = τ p ρ = f 8 V V u = 8 f desenvolvendo Ru D f ν = 2ν 8 V = 1 2 Re f 8 1 f = 2,0 log Re f 0,8 Prandtl (1935)

28 Prandtl: 1 f = 2,0 log Re f 0,8 Aproximação: Blasius (1911) (4000 < Re < 10 5 ) f = 0,316 Re 1/4

29 Escoamento turbulento rugoso

30 Camada Limite: y U(x) Rugosidade Camada turbulenta externa parede do tubo u(x, y) Camada intermediária Subcamada laminar parede do tubo

31 Experimento de Nikuradse: ε + = εu ν + < 5 parede hidraulicamente lisa + > 70 escoamento totalmente rugoso rugosidade transicional 5 ε + 70 ε + > 70 ε + < 5 Válido para escoamento totalmente rugoso ( + > 70): u u = 1 κ ln R r u ν + B ΔB Experimento de Nikuradse com rugosidade de grãos de areia. V = u da A V u = 2,44 ln D ε + 3,2 ΔB = 1 κ ln ε+ 3,5 V/u = f/8 1f = 2,0 log ε/d 3,7

32 1f Turbulento (Colebrooke-White) : ε/d = 2,0 log 3,7 + 2,51 Re f Totalmente rugoso (Exp. de Nikuradse) : 1f = 2,0 log ε/d 3, f f Escoamento liso (Eq. de Prandtl) : = 2,0 log Re f 0, E+3 1E+4 1E+5 1E+6 1E+7 1E+8 Re

33 Diagrama de Moody: 1f Colebrook-White: ε/d = 2,0 log 3,7 + 2,51 Re f

34 Diagrama de Moody: Escoamento laminar f = 64 Re

35 Diagrama de Moody: Região crítica (transição laminar turbulento)

36 Diagrama de Moody: Escoamento turbulento liso 1 f Fórmula de Prandtl: = 2,0 log Re f 0,8 Fórmula de Blasius: f 0,316 Re 0,25

37 Diagrama de Moody: Zona de transição (rugosidade transicional) 1f Fórmula de Colebrook-White: ε/d = 2,0 log 3,71 + 2,51 Re f

38 Diagrama de Moody: Experimento de Nikuradse: 1f = 2,0 log 3,71 ε/d Turbulência completa (totalmente rugoso)

39 Diagrama de Moody: (escoamento turbulento) 1f Fórmula de Colebrook-White: ε/d = 2,0 log 3,71 + 2,51 Re f

40 Material (mm) Material (mm) Aço comercial novo 0,045 Ferro fundido com leve oxidação 0,3 Aço laminado novo 0,04 a 0,10 Ferro fundido velho 3 a 5 Aço soldado novo 0,05 a 0,10 Ferro fundido centrifugado 0,05 Aço soldado limpo, usado Aço soldado moderadamente oxidado Aço soldado revestido de cimento centrifugado 0,15 a 0,20 0,4 0,1 Ferro fundido em uso com cimento centrifugado Ferro fundido com revestimento asfáltico Ferro fundido oxidado 0,1 0,12 a 0,20 1 a 1,5 Aço laminado revestido de asfalto 0,05 Cimento amianto novo 0,025 Aço rebitado novo 1 a 3 Concreto centrifugado novo 0,16 Aço rebitado em uso 6 Concreto armado liso, vários anos de uso 0,20 a 0,30 Aço galvanizado, com costura 0,15 a 0,20 Concreto com acabamento normal 1 a3 Aço galvanizado, sem costura 0,06 a 0,15 Concreto protendido Freyssinel 0,04 Ferro forjado 0,05 Ferro fundido novo 0,25 a 0,50 Cobre, latão, aço revestido de epoxi, PVC, plásticos em geral, tubos extrudados 0,0015 a 0,010 Fonte: Porto (2004)

41 Equação de Darcy-Weisbach: Q = VA V = Q/A J = h P L = f D V 2 2g fator de atrito f = f Re, ε D =??? regime laminar : f = 64 Re regime turbulento : Colebrooke-White 1f ε/d = 2,0 log 3,7 + 2,51 Re f

42 Fórmulas aproximadas para o fator de atrito f

43 Escoamento turbulento: Swamee-Jain: (10-6 /D 10-2 e 5x10 3 Re 10 8 ) f = 0,25 log ε/d 3,7 + 5,74 Re 0,9 2

44 Escoamento turbulento: Swamee-Jain: (10-6 /D 10-2 e 5x10 3 Re 10 8 ) f = 0,25 log ε/d 3,7 + 5,74 Re 0,9 2 Haaland: (limites?) f = log ε D 3,7 0,31 1,11 + 6,9 Re 2 Geral (laminar, transicional e turbulento): Swamee: f = 64 Re 8 + 9,5 ln ε D 3,7 + 5,74 Re 0, Re ,125

45 Geral (laminar, transicional e turbulento): Swamee: f = 64 Re 8 + 9,5 ln ε D 3,7 + 5,74 Re 0, Re Diagrama de Moody (Swamee): ,125

46 Diagrama de Moody (Swamee): f = 64 Re 8 + 9,5 ln ε D 3,7 + 5,74 Re 0, Re ,125 Diagrama de Moody (Colebrook-White): 1f ε/d = 2,0 log 3,7 + 2,51 Re f f = 64 Re

47 Eq. de Darcy-Weisbach Tipos de problemas: J = h p L = f D f = f(re, ε D ) V 2 2g = 8 π 2 g V = Q/A fq 2 D 5 Tipo Dados (além de, L,, e g) Incógnitas Observação D Q V h p 1? h p Solução direta 2?? Q e V 3?? D e V Solução iterativa (manual ou computacional) Solução iterativa (manual ou computacional) Problema de dimensionamento

48 Exemplo 1 (vazão conhecida): Numa tubulação de aço comercial novo ( = 0,045 mm) de 4 de diâmetro interno e 100 m de comprimento escoa água a 2 m/s. Determine: a) a perda de carga nessa tubulação; b) o regime de escoamento. hp = L f D V 2 2g f = f(re, ε D ) Swamee-Jain 10-6 /D x10 3 Re 10 8 = 0,25 log ε/d 3,7 + 5,74 Re 0,9 2 = 0,0186 Re = ρvd μ = , ε D = 0, ,0254 = 4,4 10 4

49 f = 0,0181 Re = ε D = 4,4 10 4

50 Exemplo 1 (vazão conhecida): Numa tubulação de aço comercial novo ( = 0,045 mm) de 4 de diâmetro interno e 100 m de comprimento escoa água a 2 m/s. Determine: a) a perda de carga nessa tubulação; b) o regime de escoamento. hp = L f V 2 D 2g f = f(re, ε D ) Re = ρvd μ Swamee-Jain 10-6 /D x10 3 Re 10 8 = 0,25 log ε/d 3,7 + 5,74 Re 0,9 = , ε D = 0, ,0254 = 4, = 0,0186 b) a) ε + = ε u ν = ε D Re f 8 hp = 100 0, , ,8 = 3,7 m u = = ε ν = 4,2 τ p ρ = f 8 V f 8 V = ε D VD ν f 8 hidraulicamente liso

51 Zona de transição (rugosidade transicional) f = 0,0181 ε + = 4,3 < 5 hidraulicamente liso Re = ε D = 4,4 10 4

52 Exemplo 2 (vazão desconhecida): A ligação entre dois reservatórios abertos, cujos níveis d água diferem em 26 m, é feita através de uma tubulação de 4 de diâmetro, em ferro fundido com leve oxidação ( = 0,3 mm). O comprimento retilíneo da tubulação é 600 m. Desconsiderando perdas localizadas, determine a vazão transportada em regime permanente. 1 R 1 Δz = 26 m 600 m 4 2 R 2 H 1 = H 2 +ΔH p 1 γ + V g +z 1 = p 2 γ + V 2 2 2g +z 2 + h T h B +h p hp = z 1 z 2 = Δz = 26 m hp = L f D V 2 2g fv2 = 2 g h p D = L 2 9, , = 0,0863 V = 0,294 f V (m/s) Q = V πd2 4 = 0,0145 m3 /s 1 0,0276 1,77 0,0270 1,79 0,0270 f Swamee-Jain f = 0,25 log ε/d 3,7 + 5,74 Re 0,9 ε D = 0, ,0254 = 2, Re = V D ν = 1, V 2

53 Exemplo 2 (vazão desconhecida): A ligação entre dois reservatórios abertos, cujos níveis d água diferem em 26 m, é feita através de uma tubulação de 4 de diâmetro, em ferro fundido com leve oxidação ( = 0,3 mm). O comprimento retilíneo da tubulação é 600 m. Desconsiderando perdas localizadas, determine a vazão transportada em regime permanente. 1 R 1 Δz = 26 m 600 m 4 2 R 2 H 1 = H 2 +ΔH p 1 γ + V g +z 1 = p 2 γ + V 2 2 2g +z 2 + h T h B +h p hp = z 1 z 2 = Δz = 26 m hp = L f V 2 D 2g fv2 2 = 2 g h p D = L 2 9, , = 0,0863 V = 0,294 f Colebrooke-White: 1 = 2,0 log f fv 2 = 2 g h p D L ε/d 3,7 + 2,51 Re f 1 = 2,0 log f ζ = gd3 hp Lν 2 ε/d 3,7 + 1,775 ζ f = 0,0268 V = 1,80 m/s Q = V πd2 4 = 0,0146 m3 /s

54 Exemplo 2 (vazão desconhecida): R 1 Δz = 26 m método iterativo com Swamee Jain Q = 0,0145 m 3 /s 600 m 4 = 0,3mm R 2 Software EPANET: (versão USA) (versão BR)

55 Darcy-Weisbach: Fator de atrito f = f (Re, /D): Laminar: f = 64 Re Turbulento (Colebook-White): Equações aproximadas. Ex.: Swamee-Jain J = h p L = f V 2 D 2g 1f ε/d = 2,0 log 3,7 + 2,51 Re f = 0,0826 fq2 D 5 f = 0,25 log ε/d 3,7 + 5,74 Re 0,9 2

56 Planilha para cálculo da perda de carga: Menu Utilidades Planilha... Sugestão: Pode-se observar a variação da precisão das equações de Hazem-Williams e Fair-Whipple-Hsiao em relação a Darcy-Weisbach, testando-se os valores de perda de carga calculados para diferentes condições de escoamento (vazão ou velocidade, diâmetro e rugosidade).

57 Seções não circulares

58 Raio hidráulico: R h = A P A m Diâmetro hidráulico: D h = 4R h P m O valor de D h é utilizado nas fórmulas de perda de carga: J = h p L = f D h V 2 2g

59 Exemplo 4: Determinar a perda de carga unitária em um conduto semicircular com fundo plano de concreto armado liso ( = 0,25 mm), 1,50 m de diâmetro, transportando, como conduto forçado, água com velocidade média de 3,0 m/s. 1,5 m f = f(re, ε D ) h R h = A πr 2 P = 2 2πR 2 +2R = πr 2π+4 = π 0,75 2π+4 = 0,229 m D h = 4R h = 4 0,229 = 0,916 m J = f V 2 = 0,015 D h 2g 0, = 0,0075 m/m 2 9,8 Re = VD h ν ε D h = = 3 0, = 2, , ,916 = 0, Swamee-Jain: f = 0,25 log ε/d 3,7 + 5,74 Re 0,9 2 f = 0,015

60 Darcy-Weisbach: Fator de atrito f = f (Re, /D): Laminar: f = 64 Re J = h p L = f V 2 D 2g = 0,0826 fq2 D 5 Turbulento (Colebook-White): Equações aproximadas. Ex.: Swamee-Jain 1f ε/d = 2,0 log 3,7 + 2,51 Re f f = 0,25 log ε/d 3,7 + 5,74 Re 0,9 2 Seções não circulares: R h = A P D h = 4R h

61 Aula 9 Escoamento em tubulações Introdução Perda de carga Fórmula universal Cálculo do fator de atrito f Escoamento laminar Turbulento liso Turbulento rugoso Rugosidade transicional Formulas aproximadas Seções não circulares

62 BIBLIOGRAFIA: WHITE, Frank. M. Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. McGraw- Hill, PORTO, Rodrigo de Melo. Hidráulica Básica. EESC-USP, AZEVEDO NETTO, J. M. Fernandez y Fernandez, M. Araújo, R. de Ito, Acácio Eiji. Manual de Hidráulica. SP: Ed. Edgard Blucher Ltda BAPTISTA, Márcio B.; COELHO, Márcia M.L.; CIRILO, José A.; MASCARENHAS, Flávio C.B. (Organizadores). Hidráulica Aplicada. 2ª Ed. Revista e Ampliada. ABRH. Porto Alegre, 2003.

63

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