W sen = v h A. Considerando o somatório das forças: Vamos calcular o número de Reynolds: F 2 Re=1264 5, Re=28

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1 Exercícios da lista do Módulo 1 [5] Na figura ao lado, se o fluido é a glicerina a ⁰ C e a largura entre as placas é 6 mm, qual a tensão de cisalhamento necessária (em Pa) para mover a placa superior a 5,5 m/s? Qual é o número de Reynolds se a dimensão representativa é distância entre placas? Dados: T = ⁰C, l=6mm, v=5,5 m/ s, =? e Re=? ; glicerina =1,5 N s /m ; glicerina =164 kg/m 3 Calculando a tensão de cisalhamento: = v 5,5 =1,5 h =1375 Pa Lembre-se que a unidade pascal (Pa) equivale a Newton (N) dividido por metro ao quadrado (m²) Pa = N/m². [6] Um bloco de peso P desliza para baixo em um plano inclinado enquanto é lubrificado por um filme fino de óleo, como mostra a figura ao lado. A área de contato do filme é A e sua espessura é h. Considerando uma distribuição linear de velocidade no filme, deduza uma expressão para a velocidade terminal (com aceleração igual a zero) v do bloco. a queda livre, ou seja, quando o plano caminhar para o Partindo do conceito de potência: eixo y: m a=w sen A =W sen A W sen= A P = t = F d t =F d =F v P =F v t A força aplicada está concentrada na película de óleo (fluido) e assim, considerando o perfil linear de velocidade, a tensão de cisalhamento será: = v h Retornando à primeira equação e aplicando a equação anterior: W sen = v h A v=w sen h A Uma placa fina é separada de duas placas fixas por líquidos muito viscosos (µ 1) e (µ ), respectivamente, conforme a figura abaixo. Os espaços entre as placas (h 1) e (h ) não são iguais, conforme a figura. A área de contato é A entre a placa central e cada fluido. Considerando uma distribuição linear de velocidade em cada fluido, deduza a força necessária para puxar a placa com velocidade v. Considerando o somatório das forças: Vamos calcular o número de Reynolds: Re= v L F =F 1 F Re=164 5, Re=8 1,5 F = Lembre-se que o número de Reynolds é adimensional 1 A A F = 1 A (não apresenta dimensão). Tente provar isto trabalhando só com as unidades na equação anterior. F= 1 v v h 1 h A A correia da figura ao lado, move-se a uma velocidade constante v e desliza no topo de um tanque de óleo de viscosidade (µ), como mostramos. Considerando uma distribuição linear do perfil de velocidade no óleo, desenvolva uma fórmula simples para a potência Partindo das Leis de Newton (somatório forças): (P) para acionar a correia como uma função de (h, L, v, b, µ). Qual a potência necessária P, em watts, se a F =P F Aplicada correia move-se a,5 m/s em óleo SAE 3W a ⁰ C, A velocidade terminal ocorrerá quando o bloco assumir com L = m, b = 6 cm e h = 3 cm? Calculando a potência, teremos: P =F v P= A v Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 1

2 Lembre-se que a força deste sistema leva em conta a película de óleo e que a área está relacionada a correia (L xb). Assim: P = oleo L B v P= v h L B v v P= L B h h=3 cm ; óleo SAE 3W C=,9 N s/ m. v,5 P = L B P=,9 h P=7,5 W (b) Ao parar completamente: Um disco de hóquei de mesa tem massa de 5 g e 9 cm de diâmetro. Quando colocado sobre a mesa de ar, v=v e k t =1 e,196 t e,196 t = um filme de ar a ⁰ C de,1 mm de espessura se forma sob o disco. O disco é lançado a uma velocidade t= inicial de 1 m/s. Considerando uma distribuição linear (c) Encontrando o espaço: de velocidade no filme de ar, quanto tempo decorrerá até o disco (a) atingir a velocidade de 1 m/s e (b) parar completamente? Além disso, (c) que distância, ao x= v k [1 e k t ] x= 1,196 [1 e, ,5 t ] longo dessa mesa extremamente longa, o disco terá percorrido para a condição (a)? x=459, m Dados: v=1 m/ s ; m=5 g ; =9cm ; T= ⁰C ; h=,1 mm. ln v v e =e k t v =e k t v v=v e k t Procurando o tempo, vamos considerar o espaço: v= dx t t dt dx=v dt x= v dt x= v e k t dt x= v e k t k x= v Substituindo os dados apresentados na equação k [1 e k t ] anterior, teremos a Potência: Vamos calcular a constante k, para finalmente Dados: v=,5m/s ; L= m ; b=6 cm ; encontrar o tempo: k= A m h k= 1, , ,1 1 3 k =,196s 1 v=v e k t 1=1 e,196 t,1=e,196 t,196 t =ln,1 t =117,5 s (a) Encontrando o tempo t. Partindo do somatório das forças: F x = A m a= v v A m d h dt = v h A Vamos isolar as variáveis similares e os dados que são constantes, chamaremos de k. Após, vamos integrar a função: d v v d v v = A m h dt t v = k dt lnv v t = k t v Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB]

3 Exercícios sobre Quantidade de Movimento Linear ) A água é acelerada por um bocal a uma velocidade 1) Em uma tubulação há um cotovelo de reversão para média de m/s e atinge uma placa vertical fixa à taxa que o fluido faça a volta de 18 antes de ser de 1 Kg/s. Após o choque, a corrente de água se descarregado, como mostrado na figura. Ali ocorre um espalha em todas as direções do plano da placa. escoamento de água a uma taxa de kg/s em um Determine a força necessária para evitar que a placa tubo horizontal ao mesmo tempo em que o acelera. O se movimente horizontalmente devido à corrente de cotovelo descarrega água na atmosfera. A área da água. seção transversal do cotovelo é de 113 cm na entrada e de 7 cm na saída. A pressão manométrica de entrada é de, kpa. A diferença de elevação entre os centros das seções de entrada e saída é de 3 cm. Determinar a força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar Considere: ρ = 1kg/cm 3 F Bcampo F Ssuperficie = v d v v d A VC F Sx = u v d A F Sx = u 1 v Au v A R x p A 1 = 1,4,4 R x = 97,9 p A 1 anterior, são destinadas a pressão exercida na placa e R x = 58,8 N sua força de reação. As velocidades utilizadas foram encontradas a partir da vazão: Q= v A u 1 = Q u A 1 = u 1 =1,4 m/s u = Q u A = u =,4 m/ s A velocidade apresenta sinal negativo pois a mesma está em sentido contrário. Aplicando a conservação da quantidade de movimento, considerando o escoamento permanente e incompressível: F Bcampo F Ssuperficie = v d v v d A VC Aplicando a conservação da quantidade de movimento, A força resultante será na horizontal e na superfície; considerando o escoamento permanente e assim: incompressível: F Sx = u v d A F Sx =u v A Aplicando-se todas as forças horizontais: p ATM A p ATM AR x =u v A R x =u v A R x =1 R x =1 Note que as forças devido as pressões na equação Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 3

4 4) Um jato d água horizontal com 5 cm de diâmetro e 5) Os bombeiro seguram um bocal na ponta de uma velocidade de 18 m/s é aplicado horizontalmente a uma mangueira enquanto tentam apagar um incêndio. Se o placa vertical de massa 1 kg. A placa é mantida em diâmetro de saída do bocal é de 6 cm e a taxa de um trilho quase se atrito e inicialmente está parada. escoamento da água é de 5 m 3 /min, determine: Quando o jato atinge a placa, esta começa a se (a) A velocidade média de saída da água; movimentar na direção do jato. A água sempre se (b) A força de resistência horizontal necessária para espalha no plano da placa que se afasta. Determine: que os bombeiros segurem o bocal. (a) A aceleração da placa quando o jato a atinge Considere: ρ = 1kg/m³ (tempo = ); (b) O tempo necessário para que a placa atinja uma velocidade de 9 m/s; Considere: ρ = 1kg/m³ (a) Para encontrar a aceleração, devemos saber qual será a força aplicada pelo sistema, para após aplicarmos a a Lei de Newton. Assim, com o intuito de encontrar a força, vamos aplicar a conservação da a) A velocidade de saída será dada pela equação da quantidade de movimento, considerando o escoamento vazão: permanente e incompressível: F Bcampo F Ssuperficie = 5 v d v v d A VC Q=v A v= Q A v= v=9,47 m/ s F S = u v d A F Rx = u v A (1) A equação anterior apresenta sinal negativo pois, é a considerando o escoamento permanente e força de reação necessária para manter a placa no incompressível: lugar. Entretanto, se esta é uma força de reação, a força presente na placa será positiva. F Rx = u v A F placa =u v A F placa =18 [ ] F placa =636, N Com o valor da força, podemos encontrar a aceleração: F =m a a= F m a=636, 1 a=,636 m/ s (b) Vamos encontrar o tempo para a velocidade dada. Lembre-se: a= dv dt, ou simplesmente, a= v t t= v 9 t= a,636 t=, s 4 (b) A força realizada é na horizontal. Assim, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento, F Bcampo F Ssuperficie = v d v v d A VC F S = v v d A F Rx =v v A F Rx =455N Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 4

5 9) Um tanque pressurizado de água tem um orifício de 15) Um cotovelo redutor é usado para defletir de 3 o 1 cm de diâmetro na parte inferior, onde a água é escoamento de água a uma taxa de kg/s em um descarregada para a atmosfera. O nível de água está 3 tubo horizontal ao mesmo tempo em que o acelera. O m acima da saída. A pressão do ar do tanque acima do cotovelo descarrega água na atmosfera. A área da nível de água é de 3 kpa (absoluta) enquanto a seção transversal do cotovelo é de 113 cm na entrada pressão atmosférica é de 1 kpa. Desprezando os e de 7 cm na saída. A diferença de elevação entre os efeitos do atrito, determine a vazão de descarga inicial centros da saída e da entrada é de 3 cm. O peso do da água do tanque. cotovelo e da água que há neles são considerados Considere: ρ = 1kg/cm 3 ; g = 9,81 m/s desprezíveis. Determine: (a) A pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo; (b) A força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar. Considere: ρ = 1kg/m 3 ; g = 9,81 m/s Aplicando a Equação de Bernoulli: p v 1 g z 1 = p v g z g z 1 z = v v [ = p = v [ ,81 3] v =1,4 m/s g z 1 z ] Lembre-se que quando trabalhamos com diâmetros (a) Aplicando a Equação de Bernoulli: v 1 g z 1 = p v g z p = [ v v1 ] g z 1 z p=1 [ 1,4 9, ] p=, kpa muito diferentes, consideramos o discutido em As velocidades utilizadas na equação acima foi reservatórios, onde assumimos a velocidade de encontrada da seguinte forma: superfície (1) igual a zero. ṁ=q m = v A Agora vamos utilizar a equação da vazão: Q=v A Q=1,4 1 1 v Q=,168 m 3 1 = Q v / s A 1 = v 1 =1,4m/ s 4 v = Q v A = v =,4 m/ s (b) Vamos calcular a força de ancoragem: Observando a figura, podemos notar que o ponto 1 é um ponto de entrada (e assim assumirá o valor Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 5

6 negativo na equação posterior), enquanto o ponto é um ponto de saída (assumindo valor positivo na equação posterior). Note ainda que o ponto está 3⁰ inclinado em relação a horizontal. Quando estudarmos as forças horizontais e verticais, não podemos nos esquecer de decompor tais forças para o ponto. Assim, considerando o escoamento permanente e incompressível: F Bcampo F Ssuperficie = v d v v d A VC F S = v v d A Considerando a componente x (horizontal), teremos: F Rx p A 1 = v 1 ṁ v ṁ F Rx = v 1 ṁv cos ṁ p A 1 F Rx =ṁ v cos v 1 p A 1 F Rx = cos3⁰ 1,4, 1³ F Rx = 6 N Considerando a componente z (vertical), teremos: F Rz W = v ṁ F Rz W =v sen ṁ F Rz = sen3⁰ F Rz = N Lembre-se que segundo o enunciado, o peso (W) será desconsiderado. Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 6