Método de Hardy-Cross Capitulo 10- Problema dos três reservatórios engenheiro Plínio Tomaz 2 dezembro de 2007

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1 1 Capitulo 10-Problema dos três reservatórios 10.1 Introdução Um dos problemas clássicos de todos os livros de hidráulica é o problema dos três reservatórios conforme Figura (10.1). Dados a posição de três reservatórios, os diâmetros e comprimentos achar as vazões nos três tramos. Geralmente em se tratando de adutoras se usa a formula de Darcy-Weisbach. Figura Problema dos três reservatórios Fonte: Streeter et al, Calculo do f usando o diagrama de Moody Todos se lembram do diagrama de Moody na Figura (10.2) que é usado para achar o valor do coeficiente de atrito f da formula de Darcy-Weisbach entrando com a relação K/D e o numero de Reynolds. Uma das aplicações do diagrama de Moody é estimar o valor de f quando não se tem o numero de Reynolds. Então entra-se no gráfico com o valor a direita com o valor K/D, por exemplo, K/D= 0,002 e achamos no lado esquerdo o valor de f=0,

2 2 Figura Diagrama de Moody 10.3 Estimativa analítica do f Como geralmente o numero de Reynolds Re > 4000 para tubos comerciais podemos usar a equação de Colebrook-White. 1/ f 0,5 = 1,14 2x log 10 (K/D + 9,35/ Re x f 0,5 ) Sendo: f= coeficiente de atrito (adimensional) K= rugosidade da tubulação (mm ou m) D= diâmetro da tubulação (mm ou m) Re= numero de Reynolds (adimensional) Considerando que na prática o numero de Re é um valor muito alto, donde podemos fazer uma aproximação: 9,35/ Re x f 0,5 = 0 Então a equação de Colebrook-White fica: 1/ f 0,5 = 1,14 2x log 10 (K/D ) Donde se vê que o valor de f dependerá somente da relação K/D. O valor de f explicito será: f= 1/ [ 1,14 2 x log 10 (K/D)] 2 Exemplo 10.1 Estimar o valor do coeficiente de atrito f para K/D=0,0002, K/D=0,002 e K/D=0,01. Para K/D=0,0002 f= 1/ [ 1,14 2 x log 10 (0,0002)] 2 = 0,014 K/D=0,002 f= 1/ [ 1,14 2 x log 10 (0,002)] 2 = 0,023 K/D=0,010 f= 1/ [ 1,14 2 x log 10 (0,001)] 2 = 0,

3 Problema dos três reservatórios O exemplo é de Streeter, 1982 que consideramos o melhor modelo para resolver o problema. Dados Reservatório 1 Reservatório 2 Reservatório 3 Comprimento L1=3000m Comprimento L2=600m Comprimento L3=1000m Diâmetro D1=1,00m Diâmetro D2=0,45m Diâmetro D3=0,60m K1/D1= 0,0002 K2/D2= 0,002 K3/D3= 0,001 Cota Z1= 30m Cota Z2= 18m Cota Z3= 9,0m f1=0,014 f2=0,024 f3=0,020 Cota da junção J =Z=12m (suposto por nós) Lencastre, 1983 usa o seguinte método: a) Fixa-se a cota piezométrica no ponto J b) Calculas-e Q1, Q2 e Q3 a partir deste valor c) Se a equação da continuidade for satisfeita, o problema está resolvido. Se não for, fixa-se novo valor para a cota piezométrica em J, corrigindo o valor anterior a partir da observação da equação da continuidade, até se obter um valor que a satisfaça. O problema é resolvido por tentativas, o que é usual em hidráulica. A idéia geral do problema é supor no ponto J uma certa pressão, por exemplo, de 11m e então teremos a cota piezométrica: Cota piezométrica no ponto J= cota de J + pressão estimada = 12,0m + 11,0 = 23,0m Como a velocidade é baixa, desprezamos o termo V 2 /2g e teremos somente a linha piezométrica. A equação básica é hf= f x L/D x V 2 /2g de Darcy-Weisbach Entre o reservatório 1 e o ponto J: 30,0 23,0= 7,0 = f1 x 3000/ 1,00 x V1 2 / 2 x 9,81 V1=1,75m/s Q1=1,380m3/s Entre o reservatório 2 e o ponto J 23-18=5= f2 x 3000 / 0,45 x V2 2 /2 x 9,81 V2=1,75m/s Q2=0,278m3/s Entre o reservatório 3 e o ponto J 23,0 9,0= 14= f3 x 1000/ 0,60 x V3 2 / 2 x 9,81 V3=2,87m/s Q3=0,811m3/s No ponto J entra a vazão Q1=1,380m3/s e saem Q2=0,278m3/s e Q3=0,811m3/s A diferença 1,380m3/s- (0,278+0,811)=0,291m3/s Portanto não houve equilíbrio então admitimos que a pressão piezométrica no ponto J seja de 24,6m e achamos novamente as vazões Q,Q2 e Q3 10-3

4 4 Entre o reservatório 1 e o ponto J: 30,0 24,6= 5,4 = f1 x 3000/ 1,00 x V1 2 / 2 x 9,81 V1=1,534m/s Q1=1,205m3/s Entre o reservatório 2 e o ponto J 24,6-18=6,6= f2 x 3000 / 0,45 x V2 2 /2 x 9,81 V2=2,011m/s Q2=0,320m3/s Entre o reservatório 3 e o ponto J 24,6 9,0= 15,6= f3 x 1000/ 0,60 x V3 2 / 2 x 9,81 V3=3,029m/s Q3=0,856m3/s No ponto J entra a vazão Q1=1,205m3/s e saem Q2=0,320m3/s e Q3=0,856m3/s A diferença 1,205m3/s- (0,320+0,856)=0,029m3/s Portanto não houve equilíbrio então admitimos que a pressão piezométrica no ponto J serja de 24,8m e achamos novamente as vazões Q1,Q2 e Q Fórmula de Swammee e Jain O problema pode ser resolvido em microcomputador usando planilha Excel, onde poderemos facilmente estimar o valor de f usando a vazão obtida em cada tentativa usando, por exemplo, a equação de Swammee e Jain. 1,325 f = (3) [ln( k/3,7. D + 5,74/ Re 0,9 )] 2 Sendo: f= coeficiente de atrito (número adimensional); K= rugosidade uniforme equivalente em metros; D= diâmetro em metros; Re= número de Reynolds (adimensional) e ln= logaritmo neperiano. 10-4

5 Bibliografia -STREETER, VICTOR L.E WYLIE, E. BENJAMIN. Mecânica dos fluidos. 7a edição, McGraw-Hill, 1982, 585 páginas -LENCASTRE, ARMANDO. Hidráulica Geral. Edição Luso-Brasileira, 1983, 654páginas. 10-5