Equações de Navier-Stokes

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1 Equações de Navier-Stokes Para um fluido em movimento, a pressão (componente normal da força de superfície) é diferente da pressão termodinâmica: p " # 1 3 tr T p é invariante a rotação dos eixos de coordenadas, e equivale a p para o fluido estático, i.e., é igual ao valor médio do componente normal de tensão no elemento de superfície na posição x). Para o fluido estático, p = p

2 Assim, para um fluido Newtoniano: $ p = p "&# + 2 % 3 µ ' )* u ( $ + = T+ & 1 % 3 trt ' ) I = 2µE " 2 ( 3 µ ( * u )I Para fluido Newtoniano incompressível: p = p " = " = 2µE

3 Equações de Navier-Stokes Para um fluido isotérmico (µ cte) e incompressível, a equação de momentum fica: % " # ( u ) ( ' + u $ ( u) * = "g + $p + µ$ 2 u & #t ) Definindo a pressão modificada ou pressão dinâmica "#P $ %g " #p (= 0 no fluido estático) % "' # u & #t ( ) + u $ u ( ) ( * = $P + µ$ 2 u )

4 Equação de energia para fluidos em que a Lei de Fourier é válida D# "C p Dt = $ # &%" ) ( + " '%# * p Dp Dt + p, u + To E +, k,# ( ) Em geral, nos fluidos Newtonianos a Lei de Fourier é satisfeita A equação de energia para o fluido Newtoniano incompressível é dada por: D# "C p Dt = $ # &%" ) ( + " '%# * p Dp Dt + 2µ E o E ( ) +, k,# ( )

5 Comportamento não Newtoniano Fluidos complexos Não satisfazem a equação constitutiva para o fluido Newtoniano Polímeros, suspensões, etc. Compostos por macromoléculas Propriedades elásticas: Wi " # $ Propriedades reológicas dependem do escoamento (ex.: viscosidade)

6 Fluidos não Newtonianos Fluidos puramente viscosos (Newtoniano Generalizado): viscosidade varia com a taxa de deformação. Fluidos viscoplásticos: também possuem tensão limite de escoamento Fluidos viscoelásticos: possuem características viscosas e elásticas Equações constitutivas: não existem equações que descrevam o comportamento geral de fluidos complexos em quaisquer tipos de escoamentos Duas técnicas distintas são usadas para a obtenção de equações constitutivas: mecânica do contínuo x modelagem molecular (descrição matemática do material na escala das macromoléculas) Modelagem híbrida: mecânica do contínuo+modelagem molecular para produzir modelos empíricos relativamente simples

7 Fluidos puramente viscosos Fluido Newtoniano Generalizado: " = #( $ ) $ τ Herschel-Bulkley Bingham Pseudoplástico Newtoniano Dilatante "

8 Fluidos viscoelásticos Modelo de Maxwell: Equação constitutiva para materiais viscoelásticos τ Amortecedor (elem. viscoso): " = µ # γ a γ b Mola (elem. elástico): " = G# " = " a + " b " = " a + " b = # µ + # G $ # + µ G # = µ "

9 Condições de contorno: paredes sólidas e interfaces Tipos: Fronteira livre Fronteira limitada: paredes ou interfaces Condição cinemática (conservação de massa em S, componente normal da velocidade contínuo) u n=û n em S Se a outra fase é sólida, û=u sólido (parede fixa impermeável, û=0) Mudança de fase na interface: ρ(u- u I ) n= ρ( û- û I ) n em S Velocidade da interface

10 Condição de contorno térmica Temperatura: em S (=θ s se for parede) Fluxo de calor (conservação de energia na interface): " = " ˆ j n = ˆ j n em S j = "k#$ + %( u " u I )C P $ "$ ref ( ) ˆ ˆ j = " k ˆ # $ ˆ + ˆ % u ˆ " u I C P ( ) ˆ $ "$ ref ( ) Sem mudança de fase u n = ˆ u n = u I n ( ) = " ˆ "k #$ n ( ) k # $ ˆ n = Q s (se for parede) Com mudança de fase (H=C P θ) ( ) + ˆ "k #$ n ( ) = %( H " H ˆ ) u " u I k # $ ˆ n ( ) n

11 Condição de contorno dinâmica Especifica a relação entre os componentes tangenciais da velocidade Assumindo que a velocidade é contínua na interface (não deslizamento): u " ( u n)n = u ˆ " ( u ˆ n)n (parede, u ˆ = U sólido ) A condição de não deslizamento ocorre na maioria dos fluidos Newtonianos (moléculas pequenas), e também em muitas situações dos fluidos complexos

12 Condição de contorno Navier-slip u " ( u n)n " # T n " (( T n) n)n [ ] = 0 β: coeficiente de deslizamento (empírico) A condição estabelece que ocorre um deslizamento, e que este é função da magnitude da tensão cisalhante na parede O deslizamento em geral ocorre para altos valores de tensão Ângulo de contato: ângulo entre a interface gás/líquido e uma superfície sólida

13 Materiais repelentes a água, θ c >150 0 Tensão interfacial (ou superficial, quando a interface envolve um líquido e um gás): fornece uma medida do trabalho requerido para aumentar a área da interface (i.e., para formar uma nova interface, trazendo moléculas do fluido longe dela) Balanço de forças na linha de contato (equação de Young): " LG cos# c = " SG $ " SL γ ij : tensão interfacial na interface ij

14 Obs: imagine a tensão interfacial como o trabalho requerido para criar uma unidade de área superficial alto γ ij indica forte atração entre i e j. Da eq. acima, vemos que θ c pequeno implica em γ SG > γ SL (líquido fortemente atraído ao sólido) e θ c alto, γ SL > γ SG A CC de deslizamento ou não deslizamento pode ser definida usando o conceito de atração entre líquido e sólido (ou θ c ): deslizamento ocorre em paredes hidrofóbicas (alto θ c ) Em geral, a CC de não deslizamento é satisfatória para fluidos Newtonianos Fluidos complexos: deslizamento pode ocorrer, especialmente a altas tensões

15 Outras observações sobre CC: Nas interfaces, além das CC de velocidade, são necessárias CC adicionais Interfaces mudam ao longo do escoamento. Generalização da condição cinemática: F " z # h( x,y,t) 1 $F %F %t + u n = 0 Condição de tensão: balanço de forças na interface (que tem volume nulo) - soma das forças na interface é zero Hipótese: interface é caracterizada por uma superfície ou tensão interfacial, que é função do estado termodinâmico local (T ou p)

16 Forças agindo na interface: pressão e tensão agindo nas faces (proporcionais à área da interface); força devida a tensão interfacial que age no plano da interface, nas bordas do elementode superfície. Tensão interfacial: medida de energia livre por unidade de área. Aumento de área requer aumento da energia livre (trabalho) do sistema. Na teoria macroscópica, este trabalho é produzido pela força por unidade de comprimento γ (tensão interfacial)

17 Balanço de forças em A: # # T" T ˆ A ( ) nda + # C $ tdi 123 ## A # A ( T" T ˆ ) n + grad s $ " $n (% n) = 0 = grad s $da" $n (% n)da = 0 T: tensão no primeiro fluido T ˆ : tensão no segundo fluido n: vetor normal a interface t: vetor tangente a interface

18 Componente normal ( n): T=-pI+τ ˆ p tot " p tot + {[(# " ˆ # ) n] n} " $ % n ( ) = 0 Equação de Young-Laplace (fluidos sem movimento): p ˆ tot " p tot = #( $ n) termo de curvatura $ n = 1 R R 2 Obs: se " n # cte a eq. de YL não pode ser satisfeita Escoamentos capilares: esc. Governados pela tensão superficial quando existem gradientes em (" n) ( "(# n) : pressão capilar)

19 Componente tangencial:( t 1 e t 2, perpendiculares a n) [( ) n] t i + ( grad s $ ) t i ( ) 0 = " # ˆ " grad s $ % & # n n & - Componentes tangenciais da tensão são descontínuos através da interface quando grad s γ não é zero. - Tensão interfacial depende do estado termodinâmico (p, T): efeitos termocapilares - Obs: surfactantes - reduzem a tensão superficial na interface