ASPECTOS MATEMÁTICOS DAS EQUAÇÕES

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1 ASPECTOS MATEMÁTICOS DAS EQUAÇÕES Classificações: Ordem: definida pela derivada de maior ordem Dimensão: em função de x, y e z (Ex. 1D, D ou 3D) Tipos de fenômenos 1. Transiente; e. Estacionário, ou permanente. Tipos básicos de EDP s: Elípticas; Parabólicas; e Hiperbólicas.

2 Problemas de equilíbrio: PROBLEMAS DE EQUILÍBRIO Propriedade de interesse não se altera no tempo Matematicamente, em geral, são representados por equações elípticas. T3 φ φ φ 0 x y Laplace D T T0 Problema de valor de contorno (PVC) 1. Exige condições de contorno ao longo da fronteira T1

3 EQUAÇÕES ELÍPTICAS x T 0 x T φ T C x x T T C T T x C C x x T C T0 L Como obter C 1 se não há informação da condição de contorno para x=l?

4 EQUAÇÕES ELÍPTICAS Equações elípticas: Perturbações são transmitidas em todas as direções no domínio; P x Sua influência (da perturbação) depende da distância Variações da variável no domínio são suaves A equação de Poisson também é uma equação elíptica φ φ φ f ( x, y) x y Poisson D

5 PROBLEMAS TRANSIENTES Também conhecidos por problemas de propagação, e problemas de marcha; A partir de valores iniciais em t 0 obtem-se valores sucessivos em passos de tempo Δt até atingir o tempo final t f Formulações pseudo-transientes: utilizadas para obter soluções estacionárias. Nesse caso o passo no tempo é numérico (não real); Esses fenômenos são representados por equações parabólicas e hiperbólicas; Se tem mecanismos dissipativos (ex. viscosidade) são descritos por equações parabólicas, caso contrário hiperbólicas.

6 EQUAÇÕES PARABÓLICAS Exemplo: equação transiente da difusão de calor T0 L T1 60 Estacionária 50 T T 0 T inicial C T φ t x 0 C Temperatura ( o C) Transientes x (cm)

7 EQUAÇÕES PARABÓLICAS Propriedade de interesse se altera no tempo Problemas de valor inicial (PVI): necessita das condições iniciais, em t=0, e condições de contorno, em t>0 Valor inicial de T + Variação espacial e temporal de T, dada pela equação diferencial + Condições de fronteira = Novo valor de T Solução aberta: pode-se avançar quanto se queira no tempo;

8 EQUAÇÕES PARABÓLICAS Qualquer perturbação só afeta t>tp (no sentido da marcha) P x Efeito da perturbação se dissipa conforme aumenta a distância do ponto da perturbação Os mecanismos dissipativos tornam a solução suave, mesmo que as condições inicais não o sejam Os mecanismos dissipativos são representados pelo termo difusivo φ x

9 EQUAÇÕES PARABÓLICAS Se as condições de fronteira são fixas para t>0, então o problema tende a atingir o regime permanente (se tiver solução estacionária) Exemplo: 0 y φ x φ Logo, 0 t T À medida que "t"avança : y φ x φ t T

10 EQUAÇÕES HIPERBÓLICAS Propriedade de interesse se altera no tempo Relacionados a problemas de vibração ou convecção Mecanismos dissipativos podem ser desprezados Problemas de valor inicial (PVI): necessita das condições iniciais, em t=0, e condições de contorno, em t>0 Solução aberta: pode-se avançar quanto se queira no tempo Exemplo: equação de convecção v t x

11 EQUAÇÕES HIPERBÓLICAS Esta equação representa o transporte de φ. Por não possuir termo dissipativo, o valor de φ é transportado sem alteração v O produto a seguir é denominado termo advectivo ou inercial x

12 EQUAÇÕES HIPERBÓLICAS A ausência de mecanismos dissipativos faz com que descontinuidades presentes na solução inicial se propaguem, possibilitando soluções descontínuas, sendo o método numérico capaz de tratá-las. Caso inclua um termo dissipativo na equação da convecção tem-se a equação da advecção-difusão (parabólica), conhecida como equação de transporte. v t x x v

13 QUADRO RESUMO Problema Tipo de Equação Condições Região Admite solução equação Modelo descontínua? Equilíbrio Elíptica Laplace Fronteira Fechada Não Transientes com dissipação Parabólica Difusão de calor transiente Fronteira e iniciais Aberta Não Transientes sem dissipação Hiperbólica Convecção Fronteira e iniciais Aberta Sim

14 IDENTIFICAÇÃO x x y y x y A B C D E F G Para o caso D Se A, B, C, D, E, F e G são constantes ou funções de x ou y apenas, a EDP é dita linear. Caso contrário é não linear A equação de Burgers é de advecção-difusão, não linear, do tipo parabólica u t u u x não linearidade u x Burgers é do tipo que se convencionou chamar quase-linear, pois o termo de maior ordem aparece linearmente.

15 IDENTIFICAÇÃO x x y y x y A B C D E F G Elíptica: B -4AC<0 Parabólica: B -4AC=0 Hiperbólica: B -4AC>0

16 Referência: Técnicas computacionais para dinâmica dos fluidos: conceitos básicos e aplicações Armando de Oliveira Fortuna

17 Equações que representam os fenômenos em CFD Princípios físicos que baseiam a dinâmica dos fluidos: Conservação da massa; ª Lei de Newton; e Conservação da energia Modelagem matemática 1. Escolha o princípio físico apropriado;. Aplique o princípio a um modelo adequado de escoamento; e 3. Obtenha as equações matemática

18 Abordagem de volume de controle finito Euleriana Lagrangeana Modelagem matemática O volume de controle (VC) é uma região finita do escoamento; Resultado: equações na forma integral Forma diferencial -> obtida indiretamente VC fixo no espaço -> equações na forma conservativa (conservation form) VC movendo com o escoamento -> equações na forma não conservativa (nonconservation form)

19 Abordagem de elemento de fluido infinitesimal Euleriana Lagrangeana Modelagem matemática O elemento de fluido (EF) é uma região infinitesimal do escoamento; Resultado: equações na forma diferencial EF fixo no espaço -> equações na forma conservativa (conservation form) EF movendo com o escoamento -> equações na forma não conservativa (nonconservation form)

20 Resumo Forma conservativa Forma não conservativa Forma diferencial Forma integral

21 Derivada substantiva (ou total) V = uı + vȷ + wk ρ = ρ t, x, y, z ρ = ρ t, x, y, z x + y y + z z + ρ = ρ + x t t + +O x, y, z, t Dividindo por (t-t1): = Aplicando o limite de t->t1 = u+ v + w +

22 Derivada substantiva (ou total) = u +v + w + V = uı + vȷ + wk = ı +ȷ + k D Dt = + V. t Da diferenciação total do cálculo para uma propriedade genérica φ : φ = φ t, x, y, z = dφ = dx+ dy + dz + dt = = u +v + w + A derivada substantiva é a derivada total com respeito ao tempo.

23 Divergente da velocidade Premissa: Volume de controle (VC) finito VC se desloca com o fluido Massa no VC é fixa e invariante no tempo O volume e a superfície do VC variam = V t. n ds = V t. ds = V t ds Dividindo pelo tempo, tem-se a taxa de variação do volume com o tempo, que é DV/Dt: D Dt = 1 t V t ds = VdS

24 Divergente da velocidade Aplicando o teorema da divergência de Gauss D Dt =. V d Reduzindo o volume de controle ao tamanho de um elemento infinitesimal. E supondo que o elemento é tão pequeno que o divergente da velocidade é constante dentro do elemento. D(δ ) Dt =. V δ. V = 1 D(δ ) δ Dt E o divergente da velocidade é fisicamente a taxa de variação do volume, por unidade de volume, do elemento de fluido se deslocando no escoamento.

25 Conservação da massa Modelagem matemática 1. Escolha o princípio físico apropriado: conservação da massa. Aplique o princípio a um modelo adequado de escoamento: elemento infinitesimal se movendo com o escoamento 3. Obtenha as equações matemática δm = ρδ D(δm) Dt = 0 D(ρδ ) Dt = ρ D(δ ) Dt + δ Dρ Dt = 0 Dρ Dt + ρ 1 D(δ ) δ Dt = 0 Dρ Dt + ρ. V = 0 Conservação da massa na forma não conservativa, diferencial Relembrando 1. Elemento infinitesimal -> forma diferencial. Movendo com o escoamento -> forma não conservativa

26 Conservação da massa Modelagem matemática 1. Escolha o princípio físico apropriado: conservação da massa. Aplique o princípio a um modelo adequado de escoamento: volume de controle fixo no espaço 3. Obtenha as equações matemática taxa líquida de massa saindo do VC por S = taxa de descréscimo de massa dentro do VC ρv. ds = t ρd ρd + ρv. ds t = 0 Conservação da massa na forma conservativa Relembrando 1. Volume de controle -> forma integral. Fixo -> forma conservativa

27 Transformação ρd + ρv. ds t = 0 Conservação da massa na forma conservativa na formulação integral t ρd + ρv. ds = 0 Aplicando o teorema da divergência de Gauss ao termo de fluxo: ρv. ds =. ρv d Voltando na equação inicial: t ρd +. ρv d = 0 ρ t +. ρv d = 0 ρ t +. ρv = 0 Conservação da massa na forma conservativa na formulação diferencial

28 Transformação ρ t +. ρv = 0 Conservação da massa na forma conservativa na formulação diferencial ρ t + V. ρ + ρ. V = 0 Dρ Dt + ρ. V = 0 Conservação da massa na forma não conservativa na formulação diferencial

29 Conservação da QML Modelagem matemática 1. Escolha o princípio físico apropriado: ª Lei de Newton. Aplique o princípio a um modelo adequado de escoamento: elemento infinitesimal se movendo com o escoamento 3. Obtenha as equações matemática

30 Conservação da QML ρ Du Dt = p x + τ x + τ y + τ z + ρf ρ Dv Dt = p y + τ x + τ y + τ z + ρf Equações (escalares) de Navier-Stokes na formulação diferencial, não conservativa ρ Dw Dt = p z + τ x + τ y + τ z + ρf Fazendo: ρ Du Dt = ρ u t + V. u u = ρ + ρv. u t (ρu) t = ρ u t + u ρ t ρ u t = (ρu) u ρ t t. ρuv = u. ρv + ρv. u ρv. u =. ρuv u. ρv

31 Conservação da QML Fazendo: ρ Du Dt = (ρu) u ρ u. ρv +. ρuv t t ρ Du Dt = (ρu) u ρ +. ρv t t. +. ρuv ρ Du Dt = (ρu) +. ρuv t (ρu) t (ρv) t (ρw) t +. ρuv = p x + τ x + τ y + τ z + ρf +. ρvv = p y + τ x + τ y + τ z + ρf +. ρwv = p z + τ x + τ y + τ z + ρf Equações (escalares) de Navier-Stokes na formulação diferencial, conservativa

32 Conservação da QML Isaac Newton (Sec. XVII): tensão de cisalhamento em fluidos é proporcional a sua taxa de deformação (fluidos Newtonianos). σ () = pδ σ = σ () + C e δ = 1 se i = j 0 se i j τ = C e p yx zx xx p xy zx yy xz yz p zz Para fluido isotrópico σ = pδ + μ u x + u x + λ u x δ Considerando que a pressão média é dada por: p = 1 3 σ = 1 3 σ 1 3 σ 1 3 σ p = 1 3 3p + μ u x + v y + w z u + 3λ x + v y + w z = p μ + λ. V 3

33 Conservação da QML p = p μ + λ. V 3 Da hipótese de Stokes (1845): p = p 3 μ + λ=0 λ= 3 μ τ = μ u x + u x + λ u x δ τ = μ u +λ. V x τ = μ v +λ. V y τ = μ w z +λ. V τ = τ = μ τ = τ = μ τ = τ = μ v x + u y w y + v z w x + u z

34 Referência: Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications John D. Anderson, Jr.