Aula 4 Otimização e Discretização

Transcrição

1 Universidade Federal do ABC Aula 4 Otimização e Discretização EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

2 Forma adimensional das equações Motivação: às vezes, as equações são normalizadas para: facilitar as mudanças de escala dos resultados obtidos para condições de fluxo reais evitar arredondamento devido a manipulações com números grandes / pequenos avaliar a importância relativa de termos nas equações do modelo Variáveis e os números adimensionais:

3 Simplificações do modelo Objetivo: obter soluções analíticas / reduzir o custo computacional Eqs. Navier-Stokes p/ escoamento compressível Eqs. Navier-Stokes p/ escoamento incompressível Eqs. Euler p/ escoamento compressível Outras simplificações: Stokes flow, camada limite, eqs. Inviscidas, potenciais, etc... Derivação de um modelo simplificado: 1. determinar o tipo de fluxo a ser simulado 2. separar efeitos importantes e sem importância 3. deixar características irrelevantes fora de consideração 4. omitir termos redundantes nas equações do modelo 5. prescrever condições iniciais / limite adequadas

4 Escoamentos incompressíveis viscosos Seja

5 Problemas de convecção natural

6 Escoamentos incompressíveis viscosos

7 Escoamentos incompressíveis invíscidos

8 Equações de Euler compressíveis

9 Classificação das equações diferenciais parciais EDPs podem ser classificadas como hiperbólicas, parabólicas e elípticas Cada classe de PDEs modela um tipo diferente de processos físicos O número de condições iniciais e/ou limite depende do tipo de EDP Métodos de solução diferentes são necessários para EDPs de tipo diferente Hiperbólicas As informações se propagam em certas direções em velocidades finitas A solução é uma superposição de várias ondas simples Parabólicas As informações viaja a jusante / frente no tempo A solução pode ser construída usando um método de passos / tempo Elipticas As informações se propagam em todas as direções a uma velocidade infinita Descreve fenômenos de equilíbrio (problemas elipticos nunca são instáveis)

10 Classificação das equações diferenciais parciais

11 Classificação das EDPs de segunda ordem

12 Classificação de sistemas de EDPs de primeira ordem Forma quase-linear Solução de onda plana Onde n= s é a normal à superfície característica s(x,t)=const Sistemas Hiperbólicos: Existem D normais reais n (k), k = 1,..., D e as soluções dos sistemas associados são linearmente independentes Sistemas Parabólicos: Existem menos de D soluções reais n (k) e Sistemas Elipticos: Não existem normais reais n (k) não existem soluções com características de ondas.

13 EDP de segunda ordem como um sistema de EDPs de primeira ordem

14 EDP de segunda ordem como um sistema de EDPs de primeira ordem

15 Interpretação geométrica de uma EDP de segunda ordem

16 Técnicas de Discretização do Espaço Objetivo: para aproximar a EDP por um conjunto de equações algébricas EDP estacionária (elíptica) Condição de contorno de Dirichlet condição limite de Neumann condições de fronteira de Robin Problema dos valores limite: BVP = EDP + condições de contorno Introdução: problemas simplificados 1D e 2D 1. Du = f equação de Poisson 2. (uv) = (d u) convecção-difusão

17 Malhas computacionais Os graus de liberdade para a solução aproximada são definidos em uma malha computacional que representa a uma subdivisão do domínio em células e/ou elementos. estruturada estruturada em blocos não estruturada

18 Malhas Estruturadas (regulares) As famílias de linhas de grade não se cruzam. Topologicamente equivalente a grade cartesiana de modo que cada ponto de grade (ou VC) é exclusivamente definida por dois índices em 2D índices ou três em 3D. Pode ser do tipo H (não periódica), O (periódica) ou C (periódica com cúspide). Limitada aos domínios simples. Refinamento da malha local afeta outras regiões.

19 Malhas bloco-estruturadas Subdivisão de vários níveis do domínio com redes estruturadas dentro de blocos. Podem ter nãocorrespondência. Tratamento especial é necessária nas interfaces dos blocos. Maior flexibilidade. Refinamento local pode ser realizada blockwise.

20 Malhas não-estruturadas Adequadas para domínios arbitrários e passíveis de refinamento de malha adaptativa. Consistem em triângulos ou quadriláteros em 2D, tetraedros ou hexahedra em 3D. As estruturas complexas de dados, padrão de dispersão irregular, difícil de executar.

21 Técnicas de discretização Diferenças finitas / forma diferencial Derivadas de aproximação nodal simples e eficazes, fáceis de gerar limitada a malhas estruturadas Volumes finitos / forma integral aproximação de integrais conservativa por construção adequado para malhas arbitrárias Elementos finitos / forma fraca formulação ponderada residual notavelmente flexível e geral adequado para malhas arbitrárias