Estruturas de Betão Armado II. 3 Lajes - Análise

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Ângelo Sacramento
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1 Estruturas de Betão Armado II 1

2 TEORIA DE COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE LAJES FINAS HIPÓTESES DO MODELO DE COMPORTAMENTO (1) 1) Laje de pequena espessura (deformação por corte deprezável - h<<l/10), homogénea e isotrópica, e material com comportamento elástico linear; ) Hipótese dos pequenos deslocamentos (w<h/10); 3) Hipótese de Kirchoff as deformações no plano médio da laje são nulas (i.e. a laje é rígida no seu plano e não tem esforços normais);

3 TEORIA DE COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE LAJES FINAS HIPÓTESES DO MODELO DE COMPORTAMENTO () 4) Hipótese de Bernouli as fibras perpendiculares ao plano médio da laje permanecem rectas e perpendiculares após a deformação (não há deformação por corte); 5) As tensões normais ao plano médio são desprezáveis. 3

4 u 1 deslocamentos na direcção x u deslocamentos na direcção y u 3 deslocamentos na direcção z Os deslocamentos u 1 e u variam linearmente na espessura: u 1 = z ω x u = z ω y u 3 = ω 4

5 DEFORMAÇÃO ε ij = 1 ( u + u i, j j, i ) ε xx = z ω x ε yy = z ω y ε xy = z ω xy ε xz = ε yz = ε zz = 0 5

6 TENSÕES E σ xx = ( ε xx + υ ε 1 υ yy E σ yy = ( ε yy + υ ε 1 υ xx ) ) σ xy = G ε xy com G = E (1 υ) Da hipótese 5 ) σ = zz 0 6

7 MOMENTOS (1) m x h = h σ xx z dz m y h = h σ yy z dz m xy h = h σ xy z dz 7

8 MOMENTOS () Se introduzirmos agora o conceito de rigidez de flexão da laje: D = 3 E h 1 (1 υ ) m x m y = = D D ω x ω y ω υ ) y ( + ω υ ) x ( + m xy = D (1 υ) ω xy 8

9 EQUAÇÃO DE LAGRANGE Por equilíbrio: m x x + m xy xy + m y y = q Equação de Lagrange (deduzida em 1811) ω ω ω = x x y y 4 4 ω = q D 9

10 10 fct UNL EQUAÇÃO DE LAGRANGE Ainda por equilíbrio: y m x m v xy x x + = x m y m v xy y y + = + = y x x D v x ω ω Ou : + = y x y D v y ω ω

11 FLEXÃO CILÍNDRICA As lajes com comprimento infinito numa direcção, ao longo da qual existem apoios lineares, têm uma deformação cilíndrica, em que w é constante ao longo dessa direcção. w = cte em x logo: ω = 0 x ω = x 0 11

12 FLEXÃO CILÍNDRICA Logo: mx m y ω = D υ y ω = D y m = υ x m y Efeito de Poisson É necessário que o m x = ν m y para contrariar a deformação devida ao efeito de Poisson. Para ν = 0.: m y Asy m x Asx = 0. Asy O efeito de Poisson surge sempre que w é constante ao longo de uma direcção. 1

13 EXEMPLOS DE EFEITO DE POISSON Lajes em que lx ly Consolas Apoio de continuidade 13

14 EFEITO DE POISSON A armadura correspondente ao efeito de Poisson (0% da armadura principal) designa-se por armadura de distribuição. Asd = 0. A s As lajes com flexão cilíndrica designam-se por lajes unidirecionais ou armadas numa só direcção, porque só existe armadura principal na direcção da flexão cilíndrica. 14

15 LAJE APOIADA EM DOIS BORDOS Deformada Flexão cilíndrica 15

16 LAJE APOIADA EM DOIS BORDOS m 16

17 LAJE APOIADA EM DOIS BORDOS m 11 17

18 LAJE APOIADA EM DOIS BORDOS m 1 18

19 LAJE APOIADA EM DOIS BORDOS 19

20 FLEXÃO BIDIRECCIONAL As lajes, de uma forma geral possuem deformação bidireccional. Vejamos o caso particular das lajes vigadas, rectangulares, com l x < l y : Nestes casos, além de m x e m y surgem também momentos torsores m xy. Estes têm especial relevância junto dos cantos onde convergem dois bordos simplesmente apoiados. Devido à deformação da laje estes cantos teriam a tendência a levantar, o que é impedido pelos apoios, resultando num esforço cuja direcção principal é a diagonal das linhas dos apoios. 0

21 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Laje rectangular apoiada no contorno L 1 /L =1.5 1

22 FLEXÃO BIDIRECCIONAL m 11 Laje rectangular apoiada no contorno L 1 /L =1.5 m 11

23 FLEXÃO BIDIRECCIONAL m Laje rectangular apoiada no contorno L 1 /L =1.5 m Os esforços no menor vão (m ) são superiores aos no maior vão (m 11 ). 3

24 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Laje rectangular apoiada no contorno L 1 /L =1.5 m 1 Os máximos e os mínimos verificam-se junto aos cantos e em módulo são da mesma ordem de grandeza. 4

25 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Laje rectangular apoiada no contorno L 1 /L =1.5 5

26 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Laje rectangular apoiada em dois bordos e encastrada nos outros dois L 1 /L =1.5 Deformada 6

27 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Comparação entre os dois casos analisados L 1 /L =1.5 A laje apoioada no contorno é mais deformável 7

28 FLEXÃO BIDIRECCIONAL m 11 Laje rectangular apoiada em dois bordos e encastrada nos outros dois L 1 /L =1.5 m Os esforços no menor vão (m ) são superiores aos do maior vão (m 11 ). 8

29 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Laje rectangular apoiada em dois bordos e encastrada nos outros dois L 1 /L =1.5 9

30 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Laje rectangular apoiada em dois bordos e encastrada nos outros dois L 1 /L =1.5 m 1 Os maiores valores para os momentos torsores surgem junto ao canto em que convergem os dois bordos apoiados 30

31 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Laje quadrada apoiada no contorno Deformada 31

32 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Laje quadrada apoiada no contorno m 11 m 3

33 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Laje quadrada apoiada no contorno Os maiores valores para os momentos torsores surgem junto aos cantos m 1 33

34 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Laje quadrada apoiada no contorno Reacções verticais nos cantos Reacções nos apoios 34

35 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Laje Quadrada apoiada no contorno excepto nos cantos Os cantos levantam! Deformada 35

36 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Laje Quadrada apoiada no contorno excepto nos cantos 36

37 FLEXÃO BIDIRECCIONAL Laje Quadrada apoiada no contorno excepto nos cantos Reacções nos apoios 37

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