Sumário e Objectivos. Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008. Mecânica dos Sólidos Aula 5 1

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Sumário e Objectivos. Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008. Mecânica dos Sólidos Aula 5 1"

Bárbara Álvares Palma
5 Há anos
Visualizações:

1 Sumário e Objectivos Sumário: Deformações sobre um plano. Valores Estacionários das Deformações. Compatibilidade das Deformações. Construção de Mohr para Deformações. Roseta de Extensómetros. Objectivos da Aula: Ser Capaz de utilizar as equações de compatibilidade. Ser capaz de proceder à construção de Mohr. Mecânica dos Sólidos Aula 5 1

2 Ponte Mecânica dos Sólidos Aula 5 2

3 Aeroplano Mecânica dos Sólidos Aula 5 3

4 Deformações num plano No plano π cuja normal é n={l,m,n}, a deformação ou extensão linear sobre o plano π é a deformação linear segundo a respectiva normal. Mecânica dos Sólidos Aula 5 4

5 Plano π Mecânica dos Sólidos Aula 5 5

6 Deformações num plano π γ xy xy γ γ γ xz xz ε ε xxl+ m+ n xx Dx l γ xy γ yz γ xy γ yz Dy = εyy m l yym n = + ε + D z n γ γ xz yz γ γ xz yz εzz l m εzzn + + l γ xy γ γ xz xy γ yz γ γ xz yz εxxl+ m+ n l+ εyym+ n l+ m+ ε zzn m = n = ε l + ε m + ε n + γ lm+ γ ln+ γ nm= επ 2 xx yy zz xy xz xy Mecânica dos Sólidos Aula 5 6

7 Deformações num plano π A deformação de corte ou distorção resultante no plano π é tal que: 1 2 ( γ ) = ( D + D + D ) ε π x y z 2 γ xy γ xz ε xxl+ m+ n D x γ xy γ yz Dy = l+ ε yym+ n D z γ γ xz yz l+ m+ ε zzn ε = ε l + ε m + ε n + γ lm+ γ ln+ γ nm π 2 xx yy zz xy xz xy π Mecânica dos Sólidos Aula 5 7

8 Deformações num plano π Os cossenos directores da direcção de γ são: Mecânica dos Sólidos Aula 5 8

9 Valores Estacionários das Deformações Correspondência entre tensões e deformações [ σ ] [ ε ] Mecânica dos Sólidos Aula 5 9

10 Valores Estacionários das Deformações O cálculo dos valores estacionários é feito de modo análogo ao efectuado para as tensões. Mecânica dos Sólidos Aula 5 10

11 Compatibilidade das Deformações As deformações têm de ser compatíveis para assegurar a continuidade do sólido na configuração deformada uma vez que não se contempla a hipótese do sólido se desintegrar quando sujeito às acções externas, admite-se portanto que durante o processo de deformação o sólido permanece contínuo como era à partida. Para se garantir esta situação e para se poder integrar as deformações e obter os deslocamentos, há necessidade de impor restrições às deformações uma vez que as deformações susceptíveis de serem possíveis não são independentes umas das outras. Mecânica dos Sólidos Aula 5 11

12 Deformações 1 1 ui u j εij = ( ui, j + uj,i) = + xj xi ε ε ε xx yy zz u = x v = y w = z 1 u v = + 2 y x εxy 1 u w = + 2 z x εxz 1 v w = + 2 z y εyz Mecânica dos Sólidos Aula 5 12

13 Equações de Compatibilidade ε xx = u x ε yy = v y 1 u v = + 2 y x εxy 2 3 xx = ε y 2 3 yy ε x u x y v = y x ε 1 u v xy 2 x y yx xy = + 2 εxx εyy εxy + = 2 y x xy Mecânica dos Sólidos Aula 5 13

14 Equações de Compatibilidade De igual modo se obtém as equações: εxy 1 u v = + z 2 y z x z = + y 2 y z x y εxz 1 u w εyz 1 v w = + x 2 x z x y 2 3 εxx u = yz xyz 2 εxx εzz εxz + = 2 z x xz 2 yy zz + = 2 ε ε εyz 2 2 z y yz 2 εxy εxz εyz εxx + = x z y x y z 2 εxy εxz εyz εyy + = y z y x x z 2 εxy ε xz εyz εzz + + = z z y x x y Mecânica dos Sólidos Aula 5 14

15 Circulo de Mohr Para deformações (ver com mais promenor no livro) Mecânica dos Sólidos Aula 5 15

16 Estado Plano de Deformação Mecânica dos Sólidos Aula 5 16

17 Estado Plano de Deformação A extensão linear segundo uma direcção paralela ao plano Oxy e inclinada de um ângulo θ em relação ao eixo dos xx é: A deformação de corte no plano perpendicular a essa direcção é: Mecânica dos Sólidos Aula 5 17

18 Estado Plano de Deformação Deformações Principais no plano Mecânica dos Sólidos Aula 5 18

19 Circulo de Mohr para Estados planos de deformação Mecânica dos Sólidos Aula 5 19

20 Rosetas de Extensómetros c θ c y b θb a θa x y y 120º 45º x 60º x a b c Mecânica dos Sólidos Aula 5 20

21 Roseta de Extensómetros A medida das Extensões é relativamente simples de fazer recorrendo a extensómetros eléctricos ou outros e vários processos de quantificação da extensão num ponto em determinada direcção foram desenvolvidos. O uso de rosetas de extensómetros é de facto o mais comum. As rosetas de extensómetros desenvolvem-se segundo três direcções que passam no ponto em que se pretende quantificar a extensão, como se representou na figura anterior através das linhas a-a, b-b e c-c. Comparando a distância entre os dois pontos na configuração inicial e deformada do sólido pode obter-se a extensão. através das equações que relacionam as deformações no sistema de eixos Ox y com as deformações no sistema de eixos Oxy obtém-se relações entre as extensões nas direcções a-a, b-b e c-c e as deformações no sistema de eixos Oxy, de acordo com as ε = ε θ + ε θ +γ senθ cosθ θ a b c xxcos a yysen a xy a a ε = ε θ + ε θ +γ senθ cosθ θ xxcos b yysen b xy b b ε = ε θ + ε θ +γ senθ cosθ θ xxcos c yysen c xy c c Mecânica dos Sólidos Aula 5 21

22 Extensões e Direcções principais As extensões e direcções principais são obtidas considerando as expressões seguintes ε ε 1 1 ε ε 1 1 ε ε ε ε ε ε γ xy tan g2θp = εxx εyy ( ) ( ) 1= xx+ yy + xx yy +γ xy ( ) ( ) 2= xx+ yy xx yy +γ xy Mecânica dos Sólidos Aula 5 22

23 Construção de Mohr a partir de três extensões Mecânica dos Sólidos Aula 5 23

24 Problemas Propostos a) 1. Mostre que os campos de deformações seguintes são compatíveis: 2 2 ε xx = 3 + 4xy 4y b) x ε xx = 12 6y 4z ε yy = 3y + x + xy ε yy = 12y 6x + 4z ε zz = 0 ε zz = 12x + 4y z γ = γ xy = 4z 24xy 3 xy x 6xy 4y γ yz = 2x + y γ yz = y+ z 4 γ xz = z+ 3 γ zx = 4x + 4y 6 x Mecânica dos Sólidos Aula 5 24

25 Resolução Problema 1) As deformações têm de verificar as equações de compatibilidade que são: 2 εxx εyy εxy + = 2 y x xy 2 εxx εzz εxz + = 2 z x xz 2 yy zz + = 2 ε ε εyz 2 2 z y yz 2 εxy εxz εyz εxx + = x z y x y z 2 εxy εxz εyz εyy + = y z y x x z 2 εxy ε xz εyz εzz + + = z z y x x y Mecânica dos Sólidos Aula 5 25

26 Problema 2 Mecânica dos Sólidos Aula 5 26

27 Problema 3 Mecânica dos Sólidos Aula 5 27

28 Resolução Problema 3 Mecânica dos Sólidos Aula 5 28

29 Resolução Problema 3 Mecânica dos Sólidos Aula 5 29

30 Resolução Problema 3 Mecânica dos Sólidos Aula 5 30

31 Resolução Problema 3 Mecânica dos Sólidos Aula 5 31

32 Problema 5 Mecânica dos Sólidos Aula 5 32

33 Resolução Problema 4 Mecânica dos Sólidos Aula 5 33

34 Resolução Problema 4 Mecânica dos Sólidos Aula 5 34

35 Mecânica dos Sólidos Aula 5 35

36 Resolução Problema 4 Mecânica dos Sólidos Aula 5 36

37 Resolução Problema 4 Mecânica dos Sólidos Aula 5 37

38 Resolução Problema 4 Mecânica dos Sólidos Aula 5 38

39 Resolução Problema 4 Mecânica dos Sólidos Aula 5 39

40 Resolução Problema 4 Mecânica dos Sólidos Aula 5 40

41 Resolução Problema 4 Simplificando Mecânica dos Sólidos Aula 5 41

42 Problema 5 Mecânica dos Sólidos Aula 5 42

43 Resolução Problema 5 Mecânica dos Sólidos Aula 5 43

44 Resolução Problema 5 Mecânica dos Sólidos Aula 5 44

45 Resolução Problema 5 Mecânica dos Sólidos Aula 5 45

46 Resolução Problema 5 Mecânica dos Sólidos Aula 5 46

47 Resolução Problema 5 Mecânica dos Sólidos Aula 5 47

48 Resolução Problema 5 Mecânica dos Sólidos Aula 5 48

49 Resolução Problema 5 Mecânica dos Sólidos Aula 5 49

50 Mecânica dos Sólidos Aula 5 50

51 Problema 6 Mecânica dos Sólidos Aula 5 51

Documentos relacionados

Sumário e Objectivos. 2007/2008 Lúcia MJS Dinis. Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 1

Sumário e Objectivos. 2007/2008 Lúcia MJS Dinis. Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Deformações. Conceito de Extensão e Distorção. Componentes do Tensor das Deformações. Propriedades do Tensor das Deformações. Deformação Volumétrica. Casos Particulares do