Sumário e Objectivos. 2007/2008 Lúcia MJS Dinis. Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 1

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1 Sumário e Objectivos Sumário: Deformações. Conceito de Extensão e Distorção. Componentes do Tensor das Deformações. Propriedades do Tensor das Deformações. Deformação Volumétrica. Casos Particulares do Estado de Deformação. Objectivos da Aula: Apreensão das Grandezas associadas à caracterização do Processo de Deformação de Sólidos no que respeita ao seu movimento após solicitação. Construção do Tensor das Deformações e estabelecimento das suas propriedades por analogia com o tensor das Tensões. Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 1

2 Conceito de Extensão-1 z P V V* P* O y x Componentes do Vector OP : {x,y,z} Componentes do Vector OP * : {x*,y*,z*} Componentes dos vectores * PP :{u,v,w} Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 2

3 Conceito de Extensão-2 As componentes do vector u = PP * podem ser calculadas a partir das Coordenadas dos pontos P e P*, do seguinte modo: u = x*-x; v = y*-y e w = z*-z x O z P V Q y V* P* Q* O vector PQ tem de grandeza ds e o vector tem de dimensão ds*, a extensão do segmento no processo de deformação é designada por ε, sendo por definição: ε = ds* ds ds P*Q* Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 3

4 Tensor das Deformações-1 z z Q* x P dy y x w u P* v P dy Q dy* y Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 4

5 Tensor das Deformações-2 Coordenadas do Ponto P ,0,0 Coordenadas do Ponto P* u,v,w Coordenadas do Ponto Q ,dy,0 Coordenadas do Ponto Q* u + u dy, dy + v + y v y dy, w w + dy y Comprimento do Vector PQ dy Comprimento dovector P * Q * u u v w << dy* = dy + dy + dy + dy y y y y w 1, y << 1 ε yy dy* dy v u v w = = ( ) + ( ) + ( ) dy y y y y -1 ε yy = v y Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 5

6 Tensor das Deformações 3 As extensões segundo o eixo dos xx e segundo o eixo dos zz são obtidas de modo análogo e são: ε xx u = ; εzz = x w z Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 6

7 Tensor das Deformações-4 dz z S P Q P* S* O R y R* Q* x Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 7

8 Tensor das Deformações-5 Ponto Posição Inicial Ponto Posição Final P x y z P* x+u y+v z+w R Q S x+dx y z x y+dy z x y z+dz R* x+u+dx+( u/ x)dx y+v+( v/ x)dx z+w+( w/ x)dx Q* x+u+( u/ y)dy y+v+dy+( v/ y)dy z+w+( w/ y)dy S* x+u+( u/ z)dz y+v+( v/ z)dz z+w+dz+( w/ z)dz Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 8

9 Tensor das Deformações 6 Ângulo Inicial Ângulo Final RPQ 90º R*P*Q* 90º-φ xy QPS 90º Q*P*S* 90º-φ yz RPS 90º R*P*S* 90º-φ xz Vector Componentes Vector Componentes PR dx P*R* dx+( u/ x)dx 0 ( v/ x)dx 0 ( w/ x)dx PQ 0 dy 0 PS 0 0 dz P*Q* P*S* ( u/ y)dy dy+( v/ y)dy ( w/ y)dy ( u/ z)dz ( v/ z)dz dz+( w/ z)dz Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 9

10 Tensor das Deformações Distorção -7 Os ângulos formados pelos vectores na configuração deformadas podem ser calculados considerando o produto escalar entre vectores e calculando esse produto escalar das duas maneiras possíveis, ou seja: P*Q* P*R* P*Q* P*R* xy u v u u v v w w = dxdy y x x y x y x y ( 1 εxx)( 1 εyy) dxdy cos( 2 xy) = + + π φ u v u u v v w w π y x y x x y x y senφ = cos( φ ) = ( + εxx)( + εyy) xy ε xx << 1 e ε yy << 1 φ = senφ xy xy γ xy u v = φxy = + y x Mecânica dos Sólidos 4ª Aula

11 Tensor das Deformações 8 As deformação de corte, ε xy, ε xy e ε xy correspondente, ou seja ε /2 xy =γ xy, ε =γ /2 xz xz e ε /2 yz =γ yz são iguais a metade da distorção u 1 u v 1 u w + + x 2 y x 2 z x εxx εxy εxz 1 u v v 1 v w yx yy yz ε ε ε = y x y 2 z y εzx εzy εzz 1 u w 1 v w w z x 2 z y z Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 11

12 Operações com Deformações -1 As operações e propriedades do Tensor das Deformações são em tudo análogas às operações efectuadas e às propriedades consideradas para o Tensor das Tensões. Assim a operação de mudança de sistema de eixos das componentes do Tensor das Deformações é análoga à operação efectuada com o tensor das Tensões, ou seja: T ε = Q εq Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 12

13 Operações com Deformações 2 Para o Estado de Deformação também se podem considerar extensões principais e direcções principais de extensão, sendo os seus valores calculados de forma análoga ao considerado para o Estado de Tensão num ponto. A Equação Característica toma neste caso a forma: 3 2 ε + I1ε I2ε+ I3= 0 (6.11) sendo I 1 = εxx + εyy + ε zz xx yy xx zz yy zz xy xz yz I = ε ε + ε ε + ε ε ε ε ε I = ε ε ε + 2ε ε ε ε ε ε ε ε ε xx yy zz xy xz yz xx yz yy xz zz xy Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 13

14 Deformação Volumétrica V = dxdydz * V = ( 1+ εxx)( 1+ εyy)( 1+ ε zz) dxdydz (6.12) dv=v*-v A deformação volumétrica, ε v, é de acordo com a definição ε v V* V = = V ( εxx)( εyy)( εzz) dxdydz dxdydz dxdydz εv= dv = ( 1 + εxx)( 1 + εyy)( 1 + εzz) 1 = V ε + ε + ε + ε ε + ε ε + ε ε + ε ε ε = xx yy zz xx yy xx zz yy zz xx yy zz Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 14

15 Extensão Média ou Hidrostática A Extensão média ou hidrostática é: 1 εxx + εyy + εzz εm= ε v= 3 3 O tensor das Deformações de Desvio é: εxx εm εxy εxz εd = εxy εyy εm εyz ε ε ε ε xz yz zz m Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 15

16 Casos Particulares do Estado de Deformação Estado Uniforme ε 0 0 ε= 0 0 ε 0 0 ε Estado Distorcional Simples Estado Uniaxial ou Simples Estado Plano de Deformação εxx 0 0 ε= ε ε xx xy ε= εxy εyy 0 εxy 0 ε= xy 0 0 ε Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 16

17 Problemas Propostos para Resolução 1. Considere um ponto de um estado de deformação plana, as componentes da deformação associadas com os eixos Ox e Oy são: ε xx = 250 ; εyy = 150 ; γ = 600 xy Determine as Extensões Principais e Direcções Principais de Deformação. 2. Considere o tensor das deformações num ponto do sólido. As componentes são: ε = ij a)determine as Extensões Principais. b)determine as Orientações das Extensões Principais. Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 17

18 Problemas Propostos para Resolução 3. Considere o tensor das deformações abaixo indicado ε ij = e determine a dilatação volumétrica. Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 18

19 Problemas Propostos para Resolução 4. Considere a placa de profundidade unitária representada na figura e admita que - o comprimento de AB após deformação passou a ser de 252mm - o ângulo BAC passou a ser de 89,783º - a diagonal AD passou a ter o comprimento de 474mm. y B D 250mm A 400mm C x a) Determine o Tensor das Deformações b) Determine a mudança de área do elemento rectangular representado. Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 19

20 Problemas Propostos para Resolução 5. O Campo de deslocamentos num sólido é definido do seguinte modo u= axy v = bxy w = 2c(x + y)z (2.0) a) Determine as constantes a, b e c tendo em conta que a deformação volumétrica é , a extensão segundo x é e a distorção no plano xy é rad no ponto de coordenadas (1,2,1.5). (1.0) b) Determine o tensor das Deformações. Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 20

21 Problemas Propostos para Resolução 6. Considere a placa quadrada representada na figura da página seguinte a qual está carregada de tal modo que corresponde a um estado plano de deformação. (1.0) a) Determine as expressões dos deslocamentos segundo x (u) e segundo y (v) e determine o tensor das deformações admitindo que o campo de deslocamentos é linear. (0.5) b) Determine o tensor das deformações no Sistema de Eixos Ox y. Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 21

22 Problemas Propostos para Resolução 3mm y 5mm Segmentos de Recta 2.5mm y D* D 1m C* C 3.5mm x O=O* θ=π/6 B* B 1mm x 2mm Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 22

23 Problemas Propostos para Resolução 7. Considere o cubo de dimensões unitárias representado na figura 1 no qual se pode considerar válidas as funções deslocamento seguintes: ( ) u =α 2x + 3y ; v = 2β y; w = 2γz onde αβ, e γsão constantes e determine: (1.0) a)o tensor das deformações admitindo que se trata de pequenas deformações. (0.5) b)a variação do ângulo formado por AO e OG. (1.0) c)a variação de comprimento do segmento OC durante o processo de deformação do sólido. Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 23

24 Problemas Propostos para Resolução z,z* E F D C O G A B y,y* x,x* Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 24

25 Resolução do Problema1) O Tensor das Deformações é: A equação Característica é: ε 600 = ε (250 ε)(150 ε) = 0 As Extensões ou Deformações Principais são: Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 25

26 Resolução do Problema1) As Direcções Principais são determinadas de forma análoga à considerada no caso do Estado Plano de Tensão. Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 26

27 Resolução do Problema 3) 3. Considere o tensor das deformações abaixo indicado ε ij = e determine a dilatação volumétrica. A dilatação Volumétrica ou Deformação Volumétrica é: ε v =ε xx +ε yy +ε zz = 90 Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 27

28 Resolução do Problema 4a) A deformação ε yy é: A distorção γ xy é: O versor da direcção AD é: dy* dy ε yy = = = dy 250 ( ) π γ xy = = A extensão segundo a direcção AD é: T , = * εxx εxy l ε x ε xxl+εxym ε * = = * = εxy εyy m ε ε y xyl+εyym ε xxl+εxym l =ε xxl + 2ε xylm+ε yym = 2 2 ε xyl+ε yym m T 2 2 Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 28

29 Resolução do Problema 4a) Consequentemente: ε ε ε ε = = l 2 n 2 xylm yym xx O Tensor das Deformações é: Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 29

30 A Área Final é: f xx yy Resolução do Problema 4b) A = (1 +ε )(1 +ε )dxdy = A Área Inicial = ( )( ) = = A i = = A-A f i = Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 30

31 Resolução do Problema 5ª) A Deformação ε xx é: du ε xx = = ay dx du dv A Distorção γ xy = + = ax + by dy dx A Deformação Vol. ε =ε +ε +ε = ay + bx + 2c(x + y) v xx yy zz No ponto de coordenadas x=1, y=2 e z=1.5 é: 2a = a = a + 2b = b = a b 6c = c = Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 31

32 Resolução do Problema 5b) O Tensor das Deformações é: 1 2 ( ) ( ) y x y z x y x z z z (x + y) Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 32