Resistência dos Materiais I

Transcrição

1 Resistência dos Materiais I Luciano Pessanha Moreira, D.Sc. Professor Associado Departamento de Engenharia Mecânica Escola de Engenharia Metalúrgica Industrial de Volta Redonda Universidade Federal Fluminense Análise de Tensões: Círculo de Mohr Março de 4

2 Roteiro. Tensões em Vigas. Equações de Transformação de Tensões 3. Círculo de Mohr 4. Análise de Tensões

3 Bibliografia Beer, F. P. E Johnston, E.R., DeWolf, J. T., Mazurek, D.F., Mecânica dos Materiais, 5 a Edição, McGrawHill,. Popov, E. P., Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall, 99. 3

4 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensões em uma viga prismática xx M I y VQ xy It máx xx xx xy xx mín xx xy 4

5 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Tensões Principais Tensões principais em uma viga prismática 5

6 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Estado Plano de Tensões X nn n nt t tt O = X 3 X 6

7 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Estado Plano de Tensões Equações de transformação de tensões nn tt nt cos sen α α senα cos sen cos α α senα cos senα cos senα cos (cos α sen α) cos α sen α senα cos sen cos α α senα cos (cos senα cos senα cos α sen α) nn tt nt 7

8 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Estado Plano de Tensões Tensões Principais: tensões máximas normais ( ) ( ) nn cos α senα d d nn tan α P ( ) ( ), 8

9 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Estado Plano de Tensões Tensões máximas de cisalhamento ( ) nt senα cos α d d nt tan α C ( ) τ Máx 9

10 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr - Máx O - C P nn R + ( + )/ C + Máx C nt

11 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr: carregamento axial centrado xx P A, yy xy xx yy xy P A

12 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensões em Eixos Círculo de Mohr: carregamento de torção Tc Tc xx yy xy xx yy xy J J

13 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Exemplo: Estado Plano de Tensões média C xx yy 5 MPa CF 5 3 MPa FX 4 MPa R CX MPa 3

14 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Exemplo: Estado Plano de Tensões Orientações principais max OA Tensões principais OC CA 5 7 MPa tan p p FX 4 CF min OB OC BC 5 3 MPa 6. 6 p 4

15 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensão máxima de cisalhamento Exemplo: Estado Plano de Tensões 45 7, 6 s p max R 5 MPa 5

16 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Caso geral de tensões 3D Os pontos A, B, and C representam as tensões principais: A; B ; 3 C Os raios dos três círculos definem as tensões máximas de cisalhamento: max 3 max 3 max 3 6

17 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Caso geral de tensões 3D Tensões máximas de cisalhamento τ Máx, () () τ Máx, Máx,3 3 3 τ (3) 7

18 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Caso geral de tensões 3D e tem mesmo sinal e 3 = e tem sinais opostos e 3 = = 3 = max max ( ) 8

19 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Exemplo: Vaso de pressão de paredes finas Tensões principais = tensão circunferencial = tensão longitudinal Tensão circunferencial F z pr t (t x) p (r x) F Tensão longitudinal x pr t (rt) p ( r ) 9

20 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Exemplo: Vaso de pressão de paredes finas Tensões principais pr t pr t Tensões máximas de cisalhamento 3 max pr t,3 max pr 4t

21 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Exemplo: Vaso de pressão de paredes finas Tampo esférico pr t Tensões máximas de cisalhamento, max pr 4t 3 max

22 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensor de Tensões Componentes do Tensor de Tensão Tensor simétrico

23 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensor de Tensões Componentes do Tensor de Tensão rr r zr r z rz z zz Coordenadas cilíndricas 3

24 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensor de Tensões Estados de tensões Uniaxial : compressão ou tração Estado Plano ij ij Hidrostático ij 4

25 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Equações de equilíbrio Estado plano de tensões X dx X dx X dx X C B B dx X O X 5

26 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Equações de equilíbrio Estado plano de tensões: Equilíbrio estático F F X X X X X X b b Caso 3D : Equilíbrio estático X ji j b i Caso geral 3D div ou div ( ) b dv ( ) b dt 6

27 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Equações de Contorno Pontos no Volume do Corpo n T e Pontos no Contorno do Corpo i T ji n j 7

28 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensões Principais Problema de Auto-Valores e Auto-Vetores ij i 3 Neste caso, o vetor de tensão fica reduzido a n T n E a partir das equações de contorno tem-se ij j n n ) j ( ij ij n j 8

29 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensões Principais Sistema de equações lineares e homogêneas cuja solução fornece as tensões principais (auto-valores) e as orientações dos planos principais (auto-vetores): ( ) n ij ij j ij ij Solução não-trivial ( 3 ) ( 3 ) ( ) 9

30 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensões Principais Equação característica 3 I I I 3 I, I e I 3 são os invariantes do tensor de tensões I Tr ( ) 33 ii I I ( ) ( 3 3 ) I (Tr ) Tr() ii ij ij I 3 det () 3 Tr( 3 ) 3 ij jk ki 3

31 Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensões Principais Cada tensão principal i (i,, 3) e 3 está associada a uma direção principal (i) n n (i) i n (i) ou ( 3 i ) ( 3 i ) ( i ) n n n (i) (i) (i) 3 onde n (i) n (j) para para i i j j 3