Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial

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1 1/1 Resistência dos Materiais 3/4 Curso de Gestão e Engenharia Industrial 4ª Aula Duração - Horas Data - de Outubro de 3 Sumário: Mudança de Eixos de Referência. Tensões Principais e Direcções Principais. Invariantes das Tensões. Tensor Hidrostático ou Isotrópico. Tensor das Tensões de Desvio. Casos Particulares. Objectivos da Aula: Apreensão das Operações com o Tensor das Tensões mais relevantes para efeitos de Utilização do Tensor das Tensões em Problemas de Mecânica dos Sólidos. Definição de alguns Tensores relevantes na análise do comportamento de Sólidos e Estruturas. Resumo do Conteúdo da Aula 1- Mudança de Eixos de Referência A mudança de eixos de referência implica mudanças nas componentes do tensor das tensões. Considere-se conhecido o tensor das tensões no sistema de eixos Oxyz e determine-se o tensor das tensões no sistema de eixos Ox y z, sendo os cosenos directores das direcções Ox, Oy e Oz, {l,m,n}, definidos de acordo com a tabela seguinte: x y z l1 l l3 x l1 m1 n1 ou [ Q] = 1 3 y l m n m m m (4.1) n1 n n3 z l3 m3 n3 onde [Q] representa a matriz de transformação de Oxyz em Ox y z. Uma vez que a transformação de coordenadas é ortogonal, os cosenos directores estão relacionados pelas equações seguintes: l1+ l+ l3 = 1 m1+ m+ m3 = 1 n1+ n+ n3= 1 l1+ m1+ n1 = 1 l+ m+ n= 1 l3+ m3+ n3= 1 ll 1 + mm 1 + nn 1 = ll 1 3+ mm 1 3+ nn 1 3= ll 3+ mm 3+ nn 3= lm 1 1+ lm + lm 3 3= ln 1 1+ ln + ln 3 3= mn 1 1+ mn + mn 3 3= (4.)

2 /1 z z z y y y x x x Figura 4. 1: Mudança de Eixos O tensor das Tensões no Sistema de Eixos Oxyz é: σ τ τ σ τ σ τ τ τ σ xx xy xz xy yy yz xz yz zz (4.3) A mudança de sistema de eixos pode fazer-se começando por calcular as componentes das tensões nas facetas perpendiculares aos eixos Ox, Oy e Oz, no sistema de eixos Oxyz que são: Tx x Ty x Tz x σxx τyx τzx l1 l l3 T= Tx y Ty y Tz y = τxy τzy m1 m m3 = σq (4.4) Tx z Ty z Tz z τxz τyz σzz n1 n n3 As componentes do Tensor das Tensões no sistema de Eixos Oxý z podem ser calculadas projectando as Tensões T, no sistema de eixos Ox y z, ou seja calculando o produto matricial seguinte: σ σx x τy x τz x l1 m1 n1 Tx x Ty x Tz x τ σ τ = l m n T T T x y y y z y x y y y z y τx z τy z σz z l3 m3 n3 Tx z Ty z Tz z Q T T (4.5) ou seja:

3 3/1 T [ ] = [ Q] [ ][ Q] σ σ (4.6) onde [ Q ] representa a matriz de transformação do sistema de eixos Oxyz no sistema de eixos Ox y z. Caso Particular do Estado Plano de Tensão As tensões no sistema de eixos Oxy são, σxx, e τ xy, como se representa na figura 4.. Pretendem-se as tensões no sistema de eixos Ox y definido de tal modo que os ângulos formados por Ox e Ox e Oy e Oy tenham a grandeza θ, como se representa na referida figura. O referido ângulo é medido a partir do eixo dos xx (sentido positivo) e no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Considerando o elemento triangular ABC e considerando o equilíbrio de forças na direcção do eixo dos x x, F x =, obtém-se: σx x da = σxxdacosθcosθ+ dasenθsenθ+ τxydacosθsenθ+ τ xydacosθsenθ (4.7) ou seja: = θ+ θ+ cosθsenθ σx x σxxcos sen τ xy (4.8) tendo em conta que: 1 cos 1 cos cos θ= + θ, sen θ= θ e senθcosθ= senθ a equação 4.8 pode escrever-se com a forma 1+ cosθ 1 cosθ sen σx x = σxx + + τ xy θ (4.9) simplificando obtém-se: σ + σ σ σ xx yy xx yy σx x = + cosθ+ τ xysenθ (4.1) Considerando o equilíbrio de forças segundo o eixo dos y y no elemento ABC de espessura unitária, obtém-se a tensão tangencial ou de corte na faceta BC, como sendo: σ σ yy xx τx y = senθ+ τ xycosθ (4.11)

4 4/1 y y θ D C A B F E τxy x σ xx σxx y τxy y τ x y 9º x σ x x θ x (a) θ x (b) Figura 4.: Mudança de Eixos. De forma análoga, considerando o elemento DEF se obtém as tensões σ y y. A fórmula que permite a obtenção de σ y y, pode ser obtida de 4.1 substituindo θ por θ+9º, ou seja: σ + σ σ σ cos sen xx yy xx yy σy y = θ τ xy θ (4.1) Adicionando as equações 4.1 e 4.1 obtém-se: σxx + = σx x + σ y y (4.13) donde se conclui que a soma dos elementos da diagonal de cada um dos tensores σ e σ é idêntica qualquer que seja o ângulo θ considerado ou seja o tr(σ) é um invariante do tensor das tensões. Resultados análogos aos anteriores podem ser obtidos considerando o produto matricial representado pela equação 4.6, tendo em conta que no estado plano de tensão não existem tensões na faceta perpendicular ao eixo dos zz. As tensões σx x e τx y representam as tensões normais e de corte na faceta BC cuja normal faz um ângulo θ com o eixo dos xx.

5 5/1 - Tensões Principais e Direcções Principais Existem três facetas ortogonais entre si em que o vector Tensão tem a direcção da normal sendo nulas as Tensões Tangenciais. Ao plano no qual são nulas as Tensões Tangenciais chama-se Plano Principal, às Tensões Normais no Plano Principal chamamse Tensões Principais e à direcção da normal ao plano principal chama-se Direcção Principal. Relembrando o estudo feito em Álgebra Linear, as matrizes simétricas são diagonalizáveis sendo os valores da diagonal designados por Valores Próprios e as direcções a que estão associados por Vectores Próprios. As componentes do Tensor das Tensões foram representadas por uma matriz simétrica sendo portanto legítimo pensar que os valores próprios da Matriz das Tensões são as Tensões Principais e que os Vectores Próprios que lhe estão associados são as Direcções Principais. O cálculo das Tensões Principais é feito considerando o sistema de equações seguinte: σxx τxy τxz l l τyx τyz m =σ m τzx τ zy σzz n n ou σxx τxy τxz l l τyx τyz m σ m = τzx τ zy σzz n n (4.14) onde {l,m,n} representam os cosenos directores da direcção normal ao plano em que a tensão tangencial é nula e em que a tensão normal tem grandeza σ. O sistema de equações linear e homogéneo, 4.14, pode ser escrito com a seguinte forma: σxx σ τxy τxz l τyx σ τyz m = τzx τ zy σzz σ n (4.15) A existência de uma solução não trivial (solução trivial l=m=n=) para este sistema de equações Algébricas e Lineares obriga a que se considere que o determinante da matriz dos coeficientes seja igual a zero, sendo a equação resultante designada por Equação Característica, ou seja: σxx σ τxy τxz 3 τyx σ τyz = σ + I1σ Iσ+ I3= τzx τzy σzz σ (4.16) onde I 1 = σxx + + σ zz xx yy xx zz yy zz xy xz yz I = σ σ + σ σ + σ σ τ τ τ I = σ σ σ + τ τ τ σ τ σ τ σ τ 3 xx yy zz xy xz yz xx yz yy xz zz xy

6 6/1 As raízes da equação característica podem ser representadas por σ 1, σ, σ 3 e são designadas por Tensões Principais. As quantidades, ( I 1, I, I 3 ), são designadas por Invariantes do Tensor das Tensões por não dependerem do sistema de eixos em que as componentes do Tensor das Tensões estão a ser consideradas. A equação característica é independente do referencial em que se consideram as componentes do Tensor das Tensões, tendo três raízes que foram representadas por σ1, σ, σ 3. Os invariantes do tensor das tensões podem ser escritos em termos das tensões principais, σ1, σ, σ 3, do seguinte modo: I 1 = σ1+ σ+ σ 3 I = σσ + σσ + σσ I 3 = σσσ As Tensões Principais são valores extremos das Tensões Normais e uma vez conhecidos os seus valores σ 1, σ, σ 3, os cosenos directores das Direcções Principais {l,m,n} podem ser calculados, considerando o sistema de equações 4.15 e a condição l + m + n = 1. Para efeitos de cálculo de l,m,n, pode considerar-se o sistema de equações constituído por das equações 4.15, com σ substituído por um dos valores σ1, σ, σ 3, conjuntamente com a condição l + m + n = 1, ou podem arbitrar, o valor de l=1 no sistema de equações 4.15 (com σ substituído por um dos valores σ 1, σ, σ 3 ) e determinar m,n e normalizar de seguida o vector l,m,n obtido. Note-se que algum cuidado deve existir quando as tensões σ1, σ, σ 3 não são distintas. Caso Particular do Estado Plano de Tensão A tensão normal σx x tem um valor máximo para um certo ângulo,θ. A determinação dos valores extremos de σ x x pode ser feita derivando em ordem a θ a expressão 4.1 e igualando a zero, ou seja dσ σ σ dθ x x xx yy = sen θ+ xy cosθ donde: tan gθ p = τ xy ( σxx ) / τ (4.17) (4.18) O ângulo θ p representa o ângulo formado pela direcção principal máxima ou mínima com a direcção do eixo dos xx como se representa na figura 4.3. Existem dois valores possíveis para θp desfasados de 9º, como se mostra na referida figura. Note-se que as facetas com as orientações definidas pelos ângulos θp e θ p são facetas em que a tensão tangencial ou de corte é nula, como se constata substituindo os valores de θp e θ p na expressão 4.1. Os planos definidos pelos referidos ângulos são planos principais e

7 7/1 as tensões actuantes nestes planos são tensões principais. As grandezas das tensões principais obtêm-se substituindo os valores dos senos e cosenos dos ângulos θ p e θ p definidos pela equação 4.18, na expressão 4.1, obtendo-se os valores máximos e mínimos das tensões σ x x : τ xy B τ θ p σxx σ yy σxx σ yy O θ p A τ xy σxx OA = OB = + τ xy τxy sen θp = sen θ P = σ σxx + τ ( σxx ) / cosθp = cosθ P = σxx + τ xy xy Figura 4.3: Ângulos θ p para as Tensões Principais. ( σx x ) σxx + σxx max = ± + τxy min (4.19) Estas tensões são usualmente designadas por σ 1 e σ correspondendo σ 1 ao valor da tensão principal máxima e σ ao valor da tensão principal mínima. Estes valores também podem ser calculados a partir do tensor das tensões calculando os valores próprios do referido tensor. 3- Valores Extremos das Tensões Tangenciais As tensões actuantes num plano com orientação arbitrária são representadas por Tx, T y e T z, l,m,n os cosenos directores do vector normal n, as componentes da tensão T, segundo os eixos Ox, Oy e Oz, obtêm-se recorrendo às equações de Cauchy, como se viu na aula anterior:

8 8/1 T T T = lσ + mτ + nτ x xx yx zx = lτ + mσ + nτ y xy yy zy = lτ + mτ + nσ z xz yz zz (4.) A componente normal, T, da tensão é calculada, projectando o vector T segundo a n direcção normal à faceta, ou seja : Tn = ltx+ mty+ ntz= = l σ m n x+ σy+ σz+ lmτxy+ ln τxz+ mnτyz (4.1) A grandeza da tensão tangencial pode ser calculada por aplicação do teorema de Pitágoras como sendo = (4.) T t T T n No caso de se considerar o sistema de eixos constituído pelas direcções principais, o cálculo das tensões, numa faceta com uma orientação arbitrária em relação ao sistema de eixos principais, pode ser feito a partir das tensões principais, σ1, σ, σ 3, obtendo-se para a tensão tangencial a expressão seguinte: ( l ) ( m ) ( n ) ( σ σ σ ) T t = σ1 + σ + σ 3 l 1+ m + n 3 (4. 3) Para determinar os máximos e mínimos de T t, pode usar-se o método dos multiplicadores de Lagrange. De acordo com o referido método, considere-se a função f = Tt + λ l + m + n (4.4) ( ) onde λ é o multiplicador de Lagrange. Os valores extremos de f são tais que: f f f = = = l m n (4.5) Estas condições tendo em conta as equações 4.3 e 4.4 conduzem a ( l m n )( ) ( l m n )( ) ( l m n )( ) lσ1 σ1+ σ+ σ3 lσ1 + λ l= mσ σ1+ σ+ σ3 mσ + λ m= n n n σ3 σ1+ σ+ σ3 σ3 + λ = (4.6)

9 9/1 Estas equações correspondem a condições necessárias e suficientes para que f tenha um valor extremo. Para obter o extremo de T t é necessário considerar a condição l + m + n = 1. As soluções óbvias são l=m=, n= ± 1 a que corresponde λ = σ 3 e T t = n=m=, l= ± 1 a que corresponde λ = σ 1 e T t = l=n=, m= ± 1 a que corresponde λ = σ e T t = À solução l,m,n corresponde σ1= σ= σ 3 e T t = As soluções remanescentes correspondem a considerar só um dos cosenos directores igual a zero sendo os outros dois diferentes de zero, por exemplo, l=, m,n, nestas condições a 1ª das equações 4.6 é sempre satisfeita e as duas restantes conduzem à equação seguinte depois de simplificação adequada ( n m )( σ σ ) = 3 Sendo σ σ 3, a equação anterior implica n = m, e sendo m + n = 1, obtém-se 1 1 l=, m =±,n =± e T t =± 1 ( σ σ 3) De modo análogo se obtém 1 1 m=, l =±,n =± e T t =± 1 ( σ1 σ 3) n=, 1 1 l,m 1 =± =± e T t =± ( 1 ) σ σ (4.7) Donde se infere que os planos que correspondem a tensões de corte máximas fazem ângulos de 45º com os planos principais e os valores das tensões de corte podem ser obtidos a partir das tensões principais considerando as expressões anteriores. 4- Tensor Isotrópico ou Hidrostático e Tensor das Tensões de Desvio O Tensor Isotrópico ou Hidrostático é σm σ m = m σ σm com (4.8)

10 1/1 σ + σ + σ = = I 3 3 O Tensor das Tensões de Desvio, tensor hidrostático e é xx yy zz 1 σ m a representar a Pressão Hidrostática σ σ τ τ σ d obtêm-se a partir do tensor das tensões, σ e do xx m xy xz σ d τyx σm τyz (4.9) τ τ σ σ zx zy zz m 5- Problemas Propostos Para Resolução na Aula 1. Determine as tensões principais, a tensão de corte máxima e a orientação dos eixos principais para os estados planos de tensão abaixo indicados. Ilustre os resultados com uma figura que mostre a orientação e as componentes da tensão a actuarem em cada caso. a) σ xx = 5MPa; = ; σxy = 6MPa, b) σ xx = 1MPa; = ; σxy = 5MPa, c) σ xx = 11MPa; = 4MPa; σxy = 6MPa. Resolva o problema analiticamente.. O tensor das tensões no sistema de eixos Oxyz, num ponto de um sólido tridimensional, é o seguinte: 9 1 σij = 45 MPa 1 3 a) Identifique as tensões e desenhe um volume elementar com as tensões actuando sobre ele, b) Determine as tensões principais no referido ponto, c) Os cossenos directores das direcções principais em relação ao sistema de eixos Oxyz. Mostre que as direcções principais são ortogonais, d) Determine o tensor das tensões de desvio, e) Determine os invariantes do tensor das tensões de desvio, f) Determine a tensão de corte máxima e a respectiva tensão normal, g) Calcule a tensão resultante, a tensão normal e a tensão de corte num plano igualmente inclinado em relação aos eixos coordenados, h) Determine o Tensor das Tensões num sistema de Eixos obtido do sistema de eixos inicial rodando 3º em torno do eixo dos zz. 3. O estado de tensão, num ponto de um sólido, é definido pelas tensões principais σ 1 = MPa, σ = 1MPa, σ3 = 1MPa, nas direcções Ox, Oy e Oz respectivamente. Determine as tensões normais, resultante e de corte num plano

11 11/1 cuja normal tem cossenos directores,.71 e.456 em relação aos eixos Ox e Oy respectivamente. Resolva o problema analiticamente. 4. O estado de tensão num ponto P é definido pelas seguintes componentes cartesianas σxx = 6MPa = 3MPa σzz = 3MPa τyz = 1MPa τ xy=τxz a) Pode afirmar-se sem efectuar cálculos que yz é um plano principal de tensão? Justifique. b) Determine as tensões principais no ponto considerado assim como as direcções principais correspondentes. c) Determine a Pressão Hidrostática e mostre que é um invariante. d) Determine o Tensor das Tensões de Desvio. 6- Problemas Propostos Para Resolução nas Horas de Estudo 1. Determine as tensões principais, a tensão de corte máxima e a orientação dos eixos principais para os estados planos de tensão abaixo indicados. Ilustre os resultados com uma figura que mostre a orientação e as componentes da tensão a actuarem em cada caso. d) σ xx = 6MPa; = 6; σxy = 6MPa, e) σ xx = 8MPa; = 4; σxy = 6MPa, f) σ xx = 13MPa; = 6MPa; σxy = 7MPa. Resolva o problema analítica e graficamente.. O tensor das tensões no sistema de eixos Oxyz, num ponto de um sólido tridimensional, é o seguinte: σ ij 1 = a) Identifique as tensões e desenhe um volume elementar com as tensões actuando sobre ele. b) Determine as tensões principais no referido ponto. c) Determine os cossenos directores das direcções principais em relação ao sistema de eixos Oxyz. Mostre que as direcções principais são ortogonais.

12 1/1 d) Determine a tensão de corte máxima e a respectiva tensão normal. Calcule a tensão resultante, a tensão normal e a tensão de corte num plano cujos cossenos directores são l=.73 e m=.51 com os eixos dos xx e dos yy respectivamente. e) Determine o tensor das tensões desvio. f) Determine os Invariantes do tensor das tensões desvio. 3. O campo de Tensões num sólido elástico, na ausência de forças de volume é definido, em cada ponto, pelas componentes seguintes: σxx = ax = cy σzz = τxy = ax + by + c τyz = (by ) τzx = ax 5z a) Determine a, b, c, de modo que o campo de tensões acima referido seja compatível com a Teoria da Elasticidade. b) Determine as tensões principais na origem das coordenadas e as respectivas direcções. c) No referido ponto (origem) determine o valor da tensão de corte máxima, bem como o plano e a direcção segundo a qual actua. 7- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo - V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995, Páginas 16-3, Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, Páginas 4-8, 1-1, Incompleto - J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia. No final da Aula deve saber responder às seguintes questões - Diga o que entende por Matriz de Transformação - Diga, justificando, como procede ao cálculo das Componentes do Tensor das Tensões no sistema de Eixos Ox y z conhecendo o Tensor das Tensões no Sistema de Eixos Oxyz. - Defina Plano principal, Tensão e Direcção Principal - Diga o que são os Invariantes do Tensor das Tensor - Diga o que entende por Tensor das Tensões de Desvio - etc.