Tensores Cartesianos

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1 Tensores Cartesianos Mecânica II Notas de apoio à disciplina de Mecânica II Vitor Leitão Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura Instituto Superior Técnico Lisboa, 2011 [email protected] - 1 -

2 TENSORES CARTESIANOS. Notação indicial e notação matricial. Índices livres e índices mudos. Vectores em referenciais ortonormados directos. Vectores de base. Símbolo de Kronecker e símbolo de permutação. Produtos interno, externo e misto de vectores. Convenção de soma. Transformações lineares (TL): definição, as suas componentes numa base tri-ortonormada directa, transposta de uma TL, decomposição de uma TL em parcela simétrica e parcela anti-simétrica. Mudanças de base: transformação dos vectores de base, matriz dos cossenos directores, relações de ortogonalidade. Transformação das componentes de vectores e de transformações lineares. Tensores simétricos de segunda ordem: valores e vectores próprios, forma canónica, invariantes. Propriedades da solução do problema de valores e vectores próprios. Parcela isotrópica e tangencial (ou deviatórica) de um tensor simétrico. Tensores são, de certa forma, generalizações de vectores. Cálculo Tensorial pode, da mesma forma, ser visto como uma generalização do Cálculo Vectorial/Matricial. Trabalhar com tensores requer o uso da chamada notação indicial. Esta notação também é uma forma conveniente de representar componentes de vectores. Faz sentido rever os conceitos básicos do Cálculo Vectorial/Matricial. Vectores são entidades geométricas caracterizadas por direcção, sentido e intensidade ou módulo

3 Os vectores são normalmente definidos através das suas componentes cartesianas, isto é, são definidos em sistemas de coordenadas em que cada eixo é independente dos restantes. Neste estudo vamos considerar essencialmente sistemas tridimensionais ortonormados directos. O que é relevante é que conhecidas as componentes de um vector num sistema de eixos cartesiano então é imediato obter as componentes do mesmo vector num qualquer outro sistema de eixos cartesianos. O vector é único (é invariável), as suas componentes é que não. Vectores da base (versores dos eixos) No caso de vectores, uma vez escolhido o sistema de representação e o respectivo conjunto de vectores da base, o conhecimento das componentes do vector completa a informação sobre o vector. No caso de tensores as grandezas são mais ricas, têm mais dimensões, por exemplo: - 3 -

4 Índices livres e índices mudos Por uma questão de conveniência utiliza-se, quase sempre, a convenção de Einstein a repetição de um índice num mesmo monómio denota soma de parcelas (até à dimensão do espaço, bidimensional, 2; tridimensional, 3): A expressão significa Os índices repetidos (só uma vez, a convenção só se aplica quando o mesmo índice aparece 2 vezes num mesmo monómio) são os índices mudos. Os que não se repetem (num mesmo monómio) são os índices livres. Livres no sentido em que cada instância do índice representa uma diferente expressão: - 4 -

5 Exemplo: k é um índice livre, i e j são mudos. Reparar que a ordem das variáveis no último termo é irrelevante, poderia ter ficado Em notação vectorial é: Nota: nem todas as expressões em notação indicial podem ser escritas em notação vectorial.,, - 5 -

6 Álgebra de tensores Adição: Multiplicação: A multiplicação de 2 tensores de 2ª ordem dá um de 4ª ordem. Contracção dois índices (livres) quaisquer podem ser contraídos Multiplicação seguida de contracção: - 6 -

7 Problema D1 a) b). c) -7-

8 d) e) f) - 8 -

9 Sistemas simétricos e anti-simétricos Um sistema (tensor) diz-se simétrico se a troca de índices não afectar o valor das componentes: Para um tensor de 3ª ordem: Um sistema diz-se anti-simétrico em relação a 2 índices se a troca apenas alterar o sinal: No espaço tridimensional: Um sistema de ordem genérica é completamente anti-simétrico sse a anti-simetria ocorrer em relação a todos os pares de índices

10 Símbolo de Kronecker É um tensor de 2ª ordem com características particulares. No espaço 3D toma a forma: Ou seja, é a matriz identidade

11 Operações com vectores Produto interno entre um vector genérico e um vector de base: O símbolo de Kronecker pode obter-se a partir dos produtos internos dos vectores de bases ortonormadas: Produto interno entre dois vectores genéricos:

12 Produto externo de vectores de base de um referencial tridimensional ortonormado: Em que é o símbolo de permutação

13 O símbolo de permutação pode ser usado para definir o determinante de uma matriz: Existe uma relação entre os símbolos de Kronecker e de permutação, a identidade de permutação: Produto externo de vectores genéricos:

14 Produto misto:

15 1. Mostre que se for uma matriz simétrica e se for uma matriz anti-simétrica então 0 2. Seja a expressão tensorial num espaço tridimensional (em que σ representa o tensor das tensões, ϵ o tensor das deformações e c o chamado tensor de elasticidade): Caracterize os termos da expressão e respectivos índices. Diga quantos termos tem cada um dos tensores. 3. Seja a expressão tensorial num espaço tridimensional (em que σ representa o tensor das tensões e s o tensor das componentes deviatóricas das tensões): 3 Caracterize os termos da expressão e respectivos índices. Represente a expressão na forma matricial