Mecânica e Ondas fascículo 4

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1 Mecânica e Ondas fascículo 4 March 6, 2008 Contents 5 Vectores Deslocamento Adição de vectores Negativo de um vector Subtracção de vectores Multiplicação de um escalar por um vector Componentes de um vector Vectores unita rios Representação de um vector arbitrário A Multiplicação de vectores Produto externo (ou vectorial) Mario J. Pinheiro Departamento de Física e Instituto De Plasmas e Fusão Nuclear Instituto Superior Técnico mpinheiro@ist.utl.pt 49

2 What use is knowledge if there is no understanding? - Joannes Stobaeus, natural de Stobi no Norte da Macedónia. 5 Vectores Os vectores surgiram nas primeiras duas décadas do Séc. XIX com a representação geométrica dos números complexos. Caspar Wessel ( ), Jean Robert Argand ( ), Carl Friedrich Gauss ( ), estão entre os que mais contribuiram ao conceberem os números complexos como pontos num plano a 2 dimensões, isto é, como vectores bidimensionais. Em 1827, August Ferdinand Möbius publicou um livro intitulado The Barycentric Calculus no qual introduziu segmentos rectos orientados que designou por letras do alfabeto, que eram em todos os aspectos os actuais vectores usados na matemática, ciência e engenharia. Vectores são entidades matemáticas úteis para representar grandezas físicas que têm magnitude (módulo), direcção e sentido. Estudaremos neste capítulo as operações fundamentais de adição, subtracção e multiplicação vectorial. Em particular, estudaremos dois tipos de multiplicação de natureza diferente. Faremos dois tipos de aproximações: geométrica e algébrica. A vantagem dos vectores é que podemos descrever o movimento de uma partícula ideal em qualquer sistema de coordenadas de modo completamente geral. As leis da natureza devem ser invariantes relativamente a qualquer sistema de referência inercial (não inercial). 5.1 Deslocamento Quando o movimento se processa no espaço a 3-dim, o deslocamento tem uma direcção, sentido e módulo. A grandeza (ou objecto matemático) que tem direcção, sentido e módulo e qye dá a distância rectilínea entre dois pontos do espaço é um segmento de recta ao qual se chama vector deslocamento. É representado graficamente por uma seta orientada que vai da origem do movimento ao seu final, e cujo comprimento é proporcional ao seu módulo. Usualmente representa-se os vectores por letras com uma seta em cima, A. Mas é uma questão de convenção, por exemplo, Feynman sugere A. Considere dois deslocamentos sucessivos, tal como o mostra a Fig. abaixa desenhada. 50

3 QuadroNegro 1 - Adição de vectores. Começámos primeiro em A e dirigimo-nos para B. O segmento recto orientado que vai de A para B é designado por vector deslocamento, como já referimos. A seta indica o sentido do movimento 1 A linha não representa a trajectória real efectivamente seguida pelo móvel, mas o resultado final. Em seguida, desloques-se de B para C. AC representa o resultado de ambos os dois deslocamentos. Esta é a regra básic da adição de vectores. Designa-se por vector qualquer grandeza que tenha módulo (magnitude), direcção e sentido e comporta-se como um vector deslocamento. Exemplos: deslocamento; velocidade; aceleração; força; momento linear; momento da força 2. Designa-se por escalar qualquer quantidade que tem módulo (magnitude) mas não tem direcção e sentido. Exemplo: comprimentos; tempo; massa; area; volume; densidade; energia; temperatura. Tem-se A = B, (5.1) 1 Atenção: na literatura anglo-saxónica fala-se só de direcção, que significa a direcção e sentido. 2 Na literatura anglo-saxónica denomina-se torque (como se fosse work ) 51

4 somente se A = B têm o mesmo módulo, mesma direcção e sentido; a localização e o ponto de aplicação não são relevantes (vectores equipolentes). As unidades físicas têm que ser necessariamente as mesmas. 5.2 Adição de vectores QuadroNegro 2 - Adição de vectores obedece à lei comutativa. Repare que a ordem da adição é irrelevante; a adição só faz sentido para alguns tipos de vectores. QuadroNegro 3 - Regra do paralelograma. 52

5 QuadroNegro 4 - soma de 3 ou mais vectores. 5.3 Negativo de um vector Um vector A multiplicado por um escalar 1 resulta num vector antiparalelo, com o mesmo módulo mas sentido contrário, A : A + ( A ) = 0 (5.2) 5.4 Subtracção de vectores A subtracção de dois vectores A e B é definido como a soma de A com B : C = A B = A + ( B ). (5.3) QuadroNegro 5 - Subtracção de vectores. 53

6 5.5 Multiplicação de um escalar por um vector QuadroNegro 6 - Multiplicação de um escalar por um vector. Um vector A multiplicado por um escalar λ é o vector λ A que temo módulo λ A e é paralelo a A se λ é positivo e é antiparalelo a A se λ é negativo. Por exemplo: F = m a, F e a têm a mesma direcção e sentido, apesar de m ter unidade própria (kg, no SI). 5.6 Componentes de um vector Um vector fica completamente definido pelas suas componentes. Embora o vector não dependa do sistema de coordenadas, as suas componentes dependem dessa escolha. As componentes de um vector são muito úteis na álgebra 3 vectorial. QuadroNegro 7 - Componentes de um vector. 3 a palavra álgebra é á a variante latina da palavra Árabe al-jabr. Esta palavra foi usada pelo grande matemático árabe Mohammed ibn-musa al-khowarizmi cerca de 825 no seu livro escrito em Bagdad e intitulado Hidab al-jabr wal-muqubala. 54

7 Portanto o procedimento consiste em: escolher um sistema de coordenadas; escolher uma origem no pé do vector; P (x, y, z) é um ponto arbitrário com coordenadas (x, y, z); r é o vector posição orientado da origem para o ponto de coordenadas (x, y, z). 5.7 Vectores unita rios i, j, e k são três vectores de módulo igual a 1 unidade (sem dimensão) apontando ao longo dos eixos das coordenadas. Podem-se construir outros vectores a partir destes mais elementares. Exemplo 1: Componentes do vector posição a 2 dimensões. QuadroNegro 8 - Componentes a 2-dim de r. Qual é o significado da expressão: x i + y j + z k =? (5.4) Significa que se deslocar de x unidades ao longo do eixo Ox, de y unidade ao longo de Oy, e de z unidades ao longo de Oz, acabamos por traçar o vector r : r = x i + y j + z k. (5.5) 55

8 QuadroNegro 9 - As componentes x,y,e z do vector posição. 5.8 Representação de um vector arbitrário A Escolha um sistema de coordenadas no pé do vector A. Projecte perpendiculares da ponta final do vector nos eixos das coordenadas. Ficam determinados assim as componentes do vector, digamos A x, A y e A z. Podemos então escrever: A = Ax i + Ay j + Az k. (5.6) QuadroNegro 10 cartesianas. - Representação de um vector arbitrário em coordenadas 56

9 Exemplo 2: 2-dim Sejam as componentes de um vector: A x = A y = O módulo de A é dado por A cos θ A sin θ (5.7) A = Ax i + Ay j (5.8) A = A cos θ i + A sin θ j. (5.9) Exemplo 3: Considere dois vectores A (dirigido no sentido positivo do eixo Ox) e B (fazendo um ângulo de 60 0 com o eixo Ox). Calcule a sua soma A + B. Comece por escolher o sistema de coordenadas mais conveniente, por exemplo, escolha um dos eixos orientado ao longo de um dos vectores. QuadroNegro 11 - Soma de dois dados vectores A + B. Exemplo 4: Vectores a 3-dim QuadroNegro 12 57

10 A x = A cos α A y = A sin β (5.10) A z = A cos γ α, β e γ são os ângulos dos cosenos directores da recta OA. Verifica-se cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. (5.11) Os ângulos α, β e γ não são todos independentes. QuadroNegro 13 Sejam A = Ax i + Ay j + Az k (5.12) B = Bx i + By j + Bz k A adição é dada pela operação: A + B = (Ax + B x ) i + (A y + B y ) j + (A z + B z ) k (5.13) e a operação da subtracção é feita da seguinte forma: A B = (Ax B x ) i + (A y B y ) j + (A z B z ) k (5.14) 58

11 Pode-se generalizar estas operações a um número arbitrário de vectores efectuandoas par a par Plano inclinado Considere a figura abaixo desenhada de um plano inclinado. QuadroNegro 14 Decomponha o vector B : B : paralelo a x; B : perpendicular a x e dirigido ao longo de -Oy. Isto é: B = B i + B j, (5.15) sendo onde θ = B = B cos θ B = - B sin θ. (5.16) 5.9 Multiplicação de vectores Produto interno (ou escalar) Considere os vectores A e B. O produto interno é dado por A B = AB cos φ, (5.17) 59

12 onde o ângulo φ O resultado é um escalar, um número. - Propriedade comutativa A B = B A. (5.18) Os vectores são paralelos. A A = AA cos 0 0 = A 2 (5.19) Os vectores são antiparalelos. A ( A) = A 2. (5.20) QuadroNegro 15 - Componentes da A ao longo de B; e vice-versa. 0 φ < 90 0 ( A B ) > < φ < ( A B ) < 0 φ = 90 0 ( A B ) = 0 (5.21) No último caso A e B são perpendiculares um ao outro. Constitui um excelente teste de verificação da perpendicularidade de vectores. Quando os vectores unitários são paralelos, verifica-se: i i = 1 j j = 1 k k = 1 (5.22) 60

13 Quando pelo contrário, os vectores unitários são perpendiculares, verifica-se: i j = j i = 0 i k = k i = 0 (5.23) j k = k j = 0. - Propriedade distributiva ( C + D) E = C E + D E. (5.24) Exemplo 5: Calcule o produto interno (ou escalar) A B. Temos A B = (Ax i + Ay j + Az k ) (Bx i + By j + Bz k ) (5.25) Continuando a operação... QuadroNegro 16 Obtemos finalmente A B = Ax B x + A y B y + A z B z. (5.26) - Qual é o significado do produto interno j A? j A = j [Ax i + Ay j + Az k ] = Ay (5.27) Portanto, o produto interno j A representa a componente do vector A no eixo Oy. O produto interno será muito utilizado no cálculo do trabalho efectuado por uma força F sobre um corpo deslocado da distância d : W = F d. (5.28) 61

14 Exemplo 6: Sejam os dois vectores A = 3 i + 7 j e B = i + 2 j + k. - Calcule o produto interno A B e o ângulo θ que fazem os dois vectores. QuadroNegro Produto externo (ou vectorial) C = [ A B ]. (5.29) C = AB sin φ (5.30) QuadroNegro 18 - (a) A sin φ é a componente de A perpendicular a B ; (b) AB sin φ é a área do paralelograma. 62

15 Figure 1: Regra da mão direita. Como mostra a Fig. 1 o vector C está orientado perpendicularmente ao plano formado por A e B. C é perpendicular a A e B. A B = B A. (5.31) No caso dos vectores serem paralelos, então A A = AA sin 0 0 n = 0, (5.32) sendo n o vector unitário perpendicular ao plano de A e B. Concluímos que o produto externo constitui um teste útil para verificar se dois vectores são paralelos. Os vectores unitários verificam as seguintes relações: i i = 0 j j = 0 k k = 0. (5.33) i j = j i = k k i = i k = j j k = k j = i (5.34) A B = (Ax i + Ay j + Az k ) (Bx i + By j + Bz k ) (5.35) A B = (Ay B z A z B y ) i + (A z B x A x B z ) j + (A x B y A y B x ) k. (5.36) 63

16 Podemos representar o produto externo em notação matricial: i j k A B = A x A y A z (5.37) B x B y B z Exemplo 7: Calcule os determinantes: a) Ordem 2 [ ] a1 a 2 = a b 1 b 1 b 2 a 2 b 1 (5.38) 2 [ ] = 3(5) 4( 2) = 23 (5.39) b) Ordem 3 A B = Exemplo 8: a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 [ ] [ ] [ ] b2 b = a 3 b1 b 1 a 3 b1 b c 2 c 2 + a 2 3 c 1 c 3 3 c 1 c 2 (5.40) A B = = 3 [ ] [ ] [ ( 1) 2 7 ] = (5.41) 3[3(1) 7(3)] 2[4(1) ( 2)(3)] + ( 1)[4(7) ( 2)(3)] = = 108 (5.42) Exemplos: Outros exemplos de aplicação serão dados mais tarde, entre os quais se incluem o momento angular L = [ r p ], o momento da força τ = [ r F ]. Exemplo 9: Sejam A = 3 i + 7 j k (5.43) e B = i j. (5.44) Calcule C = [ A B ]. 64

17 C = [ A B ] = i j k = (5.45) C = i [7(0) ( 1)( 1)] j [3(0) (1)( 1)]+ k [3( 1) (1)(7)] = i j 10 k (5.46) C A = ( i j 10 k ) (3 i + 7 j k ) = = 0, (5.47) C B = ( i j 10 k ) ( i j ) = = 0. (5.48) C é perpendicular a A e B. Em módulo: ou seja C = AB sin θ (5.49) sin θ = C AB = ( 1)2 + ( 1) 2 + ( 10) ( 1) ( 1) = = (5.50) donde θ = arcsin = (5.51) Exemplo 10: Lei dos cosenos Trace um triângulo com os vectores. Tem-se C = A B (5.52) donde C C = ( A B ) ( A B ) = A A 2 A B + B B, (5.53) ou seja C 2 = A 2 2AB cos θ + B 2. (5.54) 65