2º Teste (Repescagem) de Mecânica Aplicada II

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1 2º Teste (Repescagem) de Mecânica Aplicada II Este teste é constituído por 3 problemas e tem a duração de uma hora e meia. Justifique convenientemente todas as respostas apresentando cálculos intermédios. Responda a cada grupo em folhas separadas Problema 1 O motor eléctrico ilustrado na figura tem uma massa total e centro de massa G, sendo suportado pelos dois apoios A e B ligados ao disco que gira em torno de um eixo vertical com uma velocidade angular constante de 48 rpm, no sentido indicado. O rotor do motor tem uma massa e um raio de giração em torno de G. Sabendo que o rotor se encontra em rotação, no sentido representado na figura, com uma velocidade angular constante de 1725 rpm, calcule as componentes verticais (perpendiculares ao disco) das forças aplicadas nos apoios A e B. (dimensões em milímetros) (7 val.) Problema 2 (6 Val.) O corpo sólido ilustrado na figura encontra-se em rotação no espaço, sendo formado por dois cones sólidos geometricamente idênticos, com a massa de 0,5 kg cada. a) Para, esboce os cones do corpo e do espaço, sabendo que e que o momento angular expresso no referencial do corpo é dado por. Indique se a precessão será directa ou retrógrada. [2 Val.] b) Nas condições da alínea anterior, calcule os valores da velocidade de rotação própria,, e da velocidade de precessão,. [2 Val.] c) Determine a razão para a qual a precessão do eixo de simetria do corpo sólido é impossível. [2 Val.] Problema 3 (7 val.) Considere a transformação de coordenadas:,, definida num subconjunto admissível de. Determine: a) Os vectores da base natural e dual de em no ponto. [2 Val.] b) A matriz da métrica contravariante em função de e. [2 Val.] c) Se a transformação de coordenadas é ou não ortogonal em qualquer ponto do espaço onde esta se encontra definida. Justifique. [1 Val.] d) As componentes contravariantes do vector em, sabendo que as componentes covariantes são dadas, no referencial transformado, por e. [2 Val.]

2 Formulário Cone homogéneo: Relações fundamentais da dinâmica: Movimento giroscópico: Lei de transformação tensorial:

3 RESOLUÇÃO: Problema 1 Eixos: y perpendicular ao disco; z paralelo ao eixo de rotação do motor eléctrico passando por G; x perpendicular ao outros dois. Velocidades angulares: = 48 x 2π /60 =1,6 π rad/s, =1725 2π /60 =57,5 π rad/s A velocidade angular do rotor do rotor eléctrico é rotação do referencial móvel é.. Podemos também dizer que a velocidade de Dado o motor eléctrico ter uma forma cilíndrica, os eixos indicados são principais de inércia e o momento angular do motor é dado por: O momento aplicado é igual a taxa de variação do momento angular: Os módulos das velocidades angulares sendo constantes e a velocidade angular do motor eléctrico não variando em relação ao referencial móvel 0xyz,então o primeiro termo é zero e o produto externo é: É dado o raio de giração assim como a massa do rotor, logo: Assim: Nm A única força que faz momento em é a componente das reacções dinâmicas (com braço segundo em A e B. E dado o motor não ter aceleração segundo, estas reacções dinâmicas têm o mesmo módulo e sentidos opostos. Logo podemos escrever : As componentes estáticas das forças é são dadas pelo equilíbrio segundo a direcção onde actuam o peso total do motor eléctrico e as componentes estáticas das reacções em A e B segundo. Dado a simetria do problema podemos dizer que as reacções estáticas são iguais e contrárias ao peso : A componente vertical da força será igual à soma das componentes estática e dinâmica, logo: N N

4 Problema 2 a) Momentos de inércia: O momento angular é: Por outro lado: Assim: Uma vez que, temos precessão direta, o que é confirmado pela relação. b) Sabendo que, então: c) Quando o corpo tem simetria esférica, sendo qualquer eixo que passe pelo centro de massa um eixo de simetria e tornando assim a precessão impossível. Logo:

5 Problema 3 Sendo: ; a) Matriz de transformação directa: Matriz de transformação inversa: =, definida para Vectores da base natural em : ; Vectores da base dual em : ; b) Matriz da métrica contravariante em função de e : = c) A transformação é ortogonal em qualquer ponto do espaço onde se encontra definida porque: d) Dadas as componentes covariantes do vector em, pedem-se as componentes contravariantes do vector em São válidas as seguintes relações: e

6 Alternativamente poder-se-iam usar estas relações: e, sendo porque são coordenadas cartesianas.

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