Exame de 1ª Época de Mecânica Aplicada II

Transcrição

1 Exame de 1ª Época de Mecânica Aplicada II Este exame é constituído por 4 problemas e tem a duração de três horas. Justifique convenientemente todas as respostas apresentando cálculos intermédios. Responda a cada grupo em folhas separadas Problema 1 (5 val.) A barra OA é mantida a um ângulo constante enquanto roda em torno do eixo vertical z com velocidade angular constante. Simultaneamente, o cursor P oscila ao longo da barra com a distância variável medida a partir do ponto fixo O dada pela expressão, na qual a frequência de oscilação ao longo da barra é constante. Assumindo que, para a posição representada na figura, a barra está no plano y-z: a) Esboce o referencial inercial e o referencial Oxyz com rotação e identifique a velocidade angular deste referencial. [0,5 val.] b) Determine o vector posição do cursor P. [1 val.] c) Determine o vector velocidade do cursor P. [1,5 val.] d) Determine o vector aceleração do cursor P. [2 val.] Problema 2 (5 val.) Na posição ilustrada, o sistema da figura encontra-se em repouso. As massas das barras (esbeltas) ABC e BD são, respectivamente, kg e kg, sendo que a massa da corrediça em C é kg. A constante da mola (de compressão) é k = 200 N/m. Considere que uma força (constante) com magnitude N é aplicada em A, para baixo, na direcção vertical, resultando, num dado instante, numa rotação de 20º da barra BD relativamente à posição de repouso ilustrada. a) Determine as deformações da mola e, respectivamente no instante inicial (i.e., na posição de repouso) e no instante em que se verifica a rotação acima referida. [1,5 val.] b) Mostre que, em qualquer instante, a velocidade (linear) da corrediça em C, devido à aplicação da força, é dada pela seguinte expressão:, sendo o ângulo que a barra BD faz com a direcção horizontal e a respectiva velocidade angular. Justifique a resposta. [1,5 val.] c) Calcule a velocidade angular da barra ABC no instante em que se verifica a mencionada rotação de 20º. Sugestão: aplique o princípio do trabalho e energia. [2 val.] Problema 3 (5 val.) A cápsula espacial axissimétrica de kg de massa e raios de giração m e m roda em torno do respectivo eixo de simetria com velocidade angular rad/s. O impacto de um meteorito provoca um impulso linear N. s no ponto A. Determine: a) Os momentos angulares antes do impacto (inicial) e após o impacto (final). [2 val.] b) O ângulo entre o eixo de simetria e o eixo de precessão do movimento resultante. [1 val.] c) As velocidades angulares de precessão e rotação própria do movimento resultante. [2 val.]

2 Problema 4 (5 val.) Considere a transformação de coordenadas em 2 dada por. Determine: a) As matrizes de transformação directa e inversa. [1 val.] b) As matrizes das métricas contravariante e covariante de. [1 val.] c) O símbolo de Christoffel i j k. Prove que existem apenas duas componentes não nulas. [1,5 val.] d) As componentes contravariantes no novo referencial da força total aplicada numa partícula de massa kg, sabendo que a sua velocidade é dada no ponto ( = 1, = 2) por v 2 t e. [1,5 val.] x Formulário Barra esbelta: Relações fundamentais da dinâmica: Movimento giroscópico: Lei de transformação tensorial: Símbolos de Christoffel em coordenadas ortogonais:

3 Resolução: Problema 1

4

5 Problema 2

6

7 Problema 3

8 Problema 4 a) Matrizes de transformação: - inversa: - directa: b) Matrizes da métrica contravariante e covariante de : - covariante: - contravariante: c) Como a métrica é dada por uma matriz diagonal e as únicas derivadas não nulas são: ;, As únicas componentes não nulas do símbolo de Christoffel são:. d) O vector aceleração em coordenadas curvilíneas é dado por, Da expressão acima, as componentes do vector aceleração em ( = 1 m, = 2 m) resultam simplesmente: Deste modo..

9