Mecânica e Ondas 1º Ano -2º Semestre 2º Teste/1º Exame 21/06/ :30h. Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

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1 Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Mecânica e Ondas 1º Ano -º Semestre º Teste/1º Exame 1/06/014 11:30h Duração do Teste (problemas 3, 4 e 5): 1:30h Duração do Exame: :30h Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova. Problema 1 (só Exame) Numa unidade industrial de produtos frutícolas pretende-se regular a inclinação de uma rampa em que frutos de diferentes dimensões rolam sem escorregar. Para regular convenientemente a rampa é necessário determinar o momento de inércia de determinadas espécies de frutos (por exemplo melões) e, posteriormente regular a inclinação da rampa para obter o tempo de queda desejado. Considere, como hipótese de trabalho, que os frutos têm simetria em torno de um eixo de rotação e têm momento de inércia dado pela expressão em é a massa do fruto, é o raio associado ao movimento de rotação (distância entre o eixo de rotação e a superfície da ramp e é uma constante adimensional que só depende da forma do fruto. Mostre que a aceleração linear do centro de massa associada ao movimento de queda de um fruto de determinada espécie, que rola sem escorregar ao longo de uma rampa de inclinação, é independente da massa e das dimensões do fruto, mas depende da respectiva forma, sendo dada por: Sugestão: i) Determine a energia cinética e a energia potencial do fruto em função da variável (distância entre a posição inicial do centro de massa, no topo da rampa, e a posição do mesmo num instante ) e da respectiva derivada. ii) Partindo das expressões da energia cinética e potencial escreva a equação diferencial do movimento, que lhe permitirá obter a expressão de. b) Para determinar o momento de inércia de um determinado tipo de fruto, mede-se o intervalo de tempo,, que este demora a rolar ao longo de uma rampa de comprimento e inclinação, partindo do repouso. Qual a expressão que lhe permite calcular a constante (usada na expressão do momento de inérci em função dos valores medidos de,, (e ). Problema (só Exame) Suponha que pretende efectuar exercício físico usando uma bicicleta em repouso (como num ginásio). Colocando a roda traseira num suporte, de forma que esta rode livremente, aplica com os pedais uma força constante de módulo igual a que se aplica através da corrente à cremalheira da roda, de raio. Considere, como aproximação, que a roda da bicicleta é uma aro ( ) com um raio de e uma massa.

2 Desprezando o atrito, determine a velocidade angular que a roda atinge, após ter pedalado durante 6 segundos. b) Considera agora que a bicicleta se encontra em movimento conduzida por um ciclista, tendo as rodas respectivas uma velocidade angular de. Se a massa total do conjunto bicicleta+ciclista for de e a massa da roda dianteira for igual à da roda traseira, qual será a energia cinética total da bicicleta. Problema 3 (Teste e Exame) Imagine que era escavado um túnel rectilíneo que atravessava a Terra, como indicado na figura. Sendo a força gravítica exercida sobre uma massa num ponto no interior da Terra dada por em que é um versor com a direcção radial, é a distância ao centro da Terra, é massa da Terra e é o raio da Terra. Considere uma massa que pode deslizar sem atrito, no interior do túnel. Mostre que a componente da força gravítica segundo (distância ao centro do túnel) é dada por: b) Escreva a equação diferencial do movimento de um corpo pontual de massa colocado no interior do túnel e mostre que o respectivo período de oscilação é dado por: em que é a aceleração da gravidade à superfície da Terra. Determine o valor de. Problema 4 (Teste e Exame) Determine a tensão com que deve ser afinada uma corda de violino com o comprimento de (entre extremidades fixas) e uma densidade linear de para produzir o som correspondente à nota Sol de referência (196 Hz) no modo fundamental. Qual o comprimento de onda (no ar) do som produzido por este violino? (velocidade do som no ar:. b) Um violinista executa uma peça de música numa carruagem ao ar livre enquanto esta se desloca a uma velocidade de. Qual o comprimento de onda e a frequência do som que uma pessoa em repouso numa estação ouve quando o violinista produz a nota referida na alínea anterior nas seguintes situações: i) quando o comboio se aproxima da estação; ii) quando o comboio se afasta da estação;

3 Problema 5 (Teste e Exame) Numa colisão entre dois protões (um em movimento e outro em repouso no referencial do laboratório) é produzido um par protão ( ), anti-protão ( ) adicionais (o antiprotão tem a mesma massa em repouso do que o protão). No referencial do centro de massa (CM) os dois protões iniciais têm velocidades de igual módulo e sentido contrário (o momento linear total é zero no referencial do CM). (represente as velocidades em função de velocidade da luz c) Qual a velocidade mínima que os protões devem ter no referencial do CM para que a reacção indicada seja possível? b) Mostre que a energia mínima do protão em movimento no referencial do laboratório para produzir a reacção referida é dada por em que é a massa do protão. Sugestão: lembre-se que o protão em repouso no referencial do laboratório desloca-se com a velocidade determinada na alínea relativamente ao referencial do CM (portanto, o referencial do CM desloca-se com esta velocidade em módulo (e em sentido contrário) no referencial do laboratório); deste modo, repare que sabe: 1) a velocidade do referencial do CM relativa ao referencial do laboratório; ) a velocidade do protão em movimento relativa, ao referencial do CM...

4 . f T 1 dp F ma P mv T mv F dt W C F dr L d L L T U 0 qi dt q i L r i P i i I m R i i i F U N r i F i i Mm F G r e r dl dt TROT N L I 1 I

5 Soluções Problema 1 b) Integrando a equação diferencial do movimento obtida na alínea, obtemos Sendo a posição e velocidade iniciais dadas por e, temos Nas condições do problema, quando o objecto chega ao fim da rampa temos: Problema Sendo, o que é uma boa aproximação neste caso, temos Uma vez que o momento da força aplicada é constante: (uma vez que a velocidade angular inicial da roda é nul b)

6 Ou Problema 3 = b) Esta equação do movimento é uma equação do tipo Característica de um oscilador harmónico, sem atrito, cuja frequência própria (oscilações livres) é Por outro lado, a aceleração da gravidade à superfície da Terra pode ser obtida, a partir de: Substituindo na expressão de, obtemos: Problema 4 No modo fundamental Por sua vez: Logo

7 b) Comprimento de onda observado quando a fonte se encontra em movimento: quando a fonte se aproxima do observador (comboio aproxima-se da estação) quando a fonte se afasta do observador (comboio afasta-se da estação) No caso presente: ; ; : quando a fonte se aproxima do observador : quando a fonte se aproxima do observador Ou, utilizando o valor de determinado na alínea quando a fonte se aproxima do observador quando a fonte se afasta do observador Problema 5 Velocidade mínima dos protões produzidos no referencial do CM (após a colisão): Energia mínima de cada protão (ou antiprotão) produzidos no referencial do CM (após a colisão): Antes da colisão, uma vez que as partículas têm a mesma massa (e que a soma dos momentos lineares é nula no ref. do CM), as partículas terão velocidades com o mesmo módulo e sentido contrário. Logo:

8 b) Uma vez que a partícula em repouso no laboratório tem uma velocidade de módulo no referencial do CM, esta será a velocidade do CM (em módulo) no referencial do laboratório. Ou seja, designando por o referencial do CM, a velocidade de relativamente ao referencial do laboratório será: A velocidade do protão em movimento no referencial do laboratório,, será dada pela composição das velocidades entre a velocidade do referencial do CM (no ref. do Laboratório) e da velocidade do protão no referencial do CM,. Utilizando o teorema da adição das velocidades: Ou, considerando a situação limite após a colisão, as quatro partículas estão em repouso no referencial do CM e portanto têm cada uma, uma de velocidade no referencial do laboratório. Logo a energia total no referencial do laboratório (após o choque) será: Logo, pelo princípio da conservação da energia: A energia do protão em movimento no referencial do laboratório será dada pela diferença entre a energia total e a energia do protão em repouso: