ii) Determine a função de Lagrange do sistema (massa pontual ) em função da variável.

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1 Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Mecânica e Ondas 1º Ano -º Semestre º Exame 03/07/014 15:00h Duração do Exame: :30h Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova. Problema 1 Um corpo pontual de massa desliza sem atrito, sujeito ao seu próprio peso (força na direcção ), ao longo de um plano inclinado com um ângulo de inclinação. a) Mostre que a componente da aceleração do corpo segundo a direcção vertical ( ) é dada por:. b) Considere agora que o mesmo corpo desliza sem atrito, sujeito ao seu próprio peso, ao longo de uma rampa em forma de hélice (ver figura). Esta curva pode ser descrita, em função do parâmetro (coordenada na direcção vertical) pelas seguintes equações paramétricas: é o raio da hélice e é o respectivo passo (distância de repetição na direcção vertical). i) Mostre que o módulo da velocidade do corpo no seu movimento ao longo da hélice pode ser dado, em função da coordenada, por: ii) Determine a função de Lagrange do sistema (massa pontual ) em função da variável. c) Determine a equação diferencial do movimento na variável. d) Utilizando os resultados da alínea a) e da alínea c) mostre que o movimento ao longo de um troço desta curva correspondente a um passo da hélice ( ) é análogo ao movimento ao longo de um plano inclinado com um comprimento correspondente ao comprimento medido ao longo da hélice e altura (sugestão: imagine a hélice desenhada num cilindro cuja superficie lateral pode ser desenrolada ). Problema Um navio de investigação oceanográfica lança, numa zona de águas profundas, um transmissor de sonar de forma esférica em queda livre, munido de um profundímetro, que emite um impulso por cada vinte metros de profundidade percorridos. O transmissor é esférico (raio ) e tem uma massa de. O coeficiente de atrito de um corpo esférico em movimento no seio de um fluido a baixa velocidade (força de atrito proporcional à velocidade) é dado por em que é a viscosidade do fluido. A viscosidade da água a é (unidades S.I.). Massa específica da água:. a) No período inicial da queda do aparelho, o barco recebe impulsos com uma periodicidade cada vez menor (ou frequência cada vez maior, pois o tempo entre impulsos vai diminuindo progressivamente) até que estabiliza. Explique sucintamente a razão desta estabilização, utilizando as expressões que achar relevantes (nota: admita que a velocidade das ondas emitidas pelo sonar é muito maior que a

2 velocidade de queda do objecto e independente da profundidade a que o transmissor se encontra, ou que eventuais diferenças são compensadas pelo receptor de forma a que distâncias iguais percorridas à mesma velocidade correspondam a intervalos de tempo iguais). b) Com base na informação de que dispõe, determine a diferença de tempo entre dois impulsos seguidos, na fase em que o intervalo de tempo entre impulsos se torna constante. c) No decorrer de uma outra experiência, um emissor idêntico é suspenso por uma mola de constante elástica, ficando totalmente submerso. Com o navio parado, afasta-se o corpo da posição de equilíbrio, sendo libertado em seguida. Determine a frequência e o coeficiente de atenuação associado ao movimento resultante. Nestas condições, determine ao fim de quanto tempo a amplitude de oscilação do sistema se reduz a um quarto do seu valor inicial. d) Qual deveria ser a massa do dispositivo para que o movimento característico correspondesse ao regime aperiódico limite, mantendo-se a constante elástica da mola e as propriedades do fluido (água). Acha que seria possível, na prática, evitar o movimento oscilatório do aparelho através da redução da respectiva massa? Justifique. Problema 3 O período de rotação de Marte é aproximadamente igual ao dia terrestre. Massa de Marte: ; raio (médio) de Marte:. a) Determine a que altitude deve ser colocado um satélite, em Marte, de forma que este se encontre numa posição estacionária. Isto é, pretende-se que o período de rotação do satélite seja igual ao período de rotação do planeta. b) Calcule o valor da aceleração da gravidade à superfície de Marte. Qual o peso de um objecto em Marte, em função do respectivo peso na Terra. c) Um relógio de pêndulo com um período de oscilação de 1 segundo (na Terra) é transportado para Marte. Determine se o relógio se atrasa ou adianta quando se encontra nesse planeta e calcule o atraso (ou adiantamento) sofrido relativo durante o intervalo de tempo de uma hora (terrestre). d) Calcule o valor da velocidade mínima que uma nave deve ter para abandonar a superfície de Marte (velocidade de escape). Problema 4 Verifica-se que uma onda no mar tem uma forma aproximadamente sinusoidal com uma diferença de quatro metros entre um ponto de máximo e um ponto de mínimo (segundo a direcção vertical, z) e uma distância de 0 m entre dois máximos (ou dois mínimos) segundo a direcção de propagação (x). Por outro lado, observando-se uma boia a flutuar, num ponto fixo da superfície (x, y), verifica-se que esta se desloca num movimento oscilatório segundo a direcção vertical z, com um período de 10 segundos. a) Indique os valores da amplitude, do número de onda e da frequência angular associados à onda. b) Determine a velocidade de propagação desta onda e apresente uma expressão matemática para a onda utilizando os valores determinados na alínea a). c) Suponha que a onda atrás descrita atinge frontalmente a entrada de um porto que tem uma largura de 50 metros (a abertura correspondente à entrada do porto tem a direcção do eixo dos yy, perpendicular à direcção de propagação da onda). Quais os valores dos ângulos, raltivamente ao eixo dos xx, que um barco deve seguir após entrar no porto de forma a sofrer a mínima oscilação possível (isto é, quais são os ângulos que correspondem à amplitude mínima de ondulação no interior do porto). d) Tendo em conta a distância de 100 metros (segundo x) entre a entrada dos barcos e uma muralha no extremo oposto do porto, determine as posições mais convenientes para atracar um barco de forma a evitar, o mais possível, as oscilações do mesmo (nas condições definidas nas alíneas anteriores).

3 . f T 1 dp F ma P mv T mv F dt W C F dr L d L L T U 0 qi dt q i L r i P i i I m R i i i F U N r i F i i Mm F G r e r dl dt TROT N L I 1 I

4 Soluções Problema 1 a) Coordenadas tangencial (sentido descendente) e normal ao plano inclinado (para cima): Peso: Reacção do plano: Força resultante: Sendo a coordenada ao logo do plano ( no topo) e a coordenada na vertical ( no topo) : Ou (em coordenadas, com horizontal) note-se que ; ; logo como seria de esperar Ou ainda:

5 b) i) ii) c) d) A componente vertical da aceleração para um corpo pontual que cai livremente, sujeito ao seu próprio peso, ao longo da hélice é dada por: Note-se que, se desenrolarmos um passo da hélice, isto é, se observarmos a planificação de um troço de cilindro correspondente a um passo da hélice, termos no plano um triângulo rectângulo cujos catetos vertical e horizontal terão, respectivamente, comprimentos e (o cateto horizontal corresponde ao perímetro da circunferência resultante de um corte horizontal do cilindro e o cateto vertical corresponde ao passo da hélice). O comprimento da hipotenusa corresponde ao comprimento da hélice. Se designarmos por o ângulo que a hipotenusa faz com o plano horizontal teremos: Logo Que é, precisamente, a expressão que tínhamos encontrado para o movimento ao longo do plano inclinado, na alínea a). Problema a) Admitindo que o peso do corpo tem um valor superior à impulsão, este vai acelerar até ao momento em que a soma do peso com a impulsão (que têm sinais contrários) seja igual em módulo à força de atrito (que tem sentido contrário à velocidade). Nessa altura a resultante das forças aplicadas ao corpo será nula e, portanto, a velocidade respectiva manter-se-á constante. Se a velocidade for constante e o objecto emitir um sinal por cada vinte metros percorridos, os sinais chegarão aproximadamente separados por intervalos

6 de tempo constantes (descontando as diferenças resultantes da diferença de percurso na propagação do som até à superfície de dois impulsos contíguos). Condição correspondente à velocidade limite (considerando a força de atrito proporcional à velocidade com coeficiente de atrito ): No caso em que a força de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade (velocidades elevadas) obtémse: b) No caso presente temos: Considerando, como hipótese, a força de atrito proporcional à velocidade teríamos: Intervalo de tempo entre impulsos: No entanto, a velocidade tão elevada é irrealista sendo mais razoável a hipótese da força de atrito ser proporcional ao quadrado da velocidade, pelo que teríamos (considerando, como aproximação o coeficiente de atrito anteriormente calculado):

7 c) (porque, neste caso ) Definindo temos d) Massa demasiado reduzida para um aparelho real (condição não realizável). Problema 3 a) b)

8 c) O período de oscilação do pêndulo em Marte é 1,61 vezes mais longo do que na Terra, logo o relógio atrasa-se. Uma hora na Terra corresponde a 3600 oscilações (3600 segundos de acordo com o enunciado), o mesmo pêndulo em Marte demora 3600x1,61 segundos a fazer as mesmas oscilações ou seja: Atraso: d) Admitindo que o foguetão abandona a superfície ( ) a uma velocidade (velocidade de escape) No infinito (muito longe do planeta) temos, se admitirmos que o foguetão chega ao infinito com velocidade zero teremos, pelo princípio da conservação da energia:

9 Problema 4 a) Amplitude: Frequência angular: Número de onda: b) c) Mínimos de difracção por uma fenda de largura (com ) No nosso caso ; Soluções possíveis ( ) para e ) Obviamente, para não há soluções possíveis. Resultado: quatro valores possíveis de. d)