a) (2 valores) Mostre que o módulo da velocidade de um satélite numa órbita circular em torno da Terra é dado por:

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1 Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Licenciatura em Engenharia Geológica e de Minas Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação Mecânica e Ondas 1º Ano -2º Semestre 2º Exame 30/06/2016 8:00h Duração do exame: 2:30h Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova. Problema 1 Um objeto de massa m encontra-se inicialmente em repouso, à altura acima do solo, pendurado na extremidade livre de um fio. Esse fio está enrolado em torno de um disco, de massa M e raio R, que pode rodar sem atrito em torno do eixo que passa pelo seu centro (ver figura). a) (2 valores) Admita que se larga a massa m num dado instante ( para ). Desprezando o efeito do atrito e a massa do fio, determine as expressões da energia cinética total e da energia potencial do sistema em função da coordenada indicada na figura (que define a posição do corpo de massa m) e dos parâmetros dados. (Sugestão: repare que quando o disco roda de um ângulo, o corpo de massa desloca-se de uma distância ). Momento de inércia do disco para rotação em torno do eixo de simetria cilíndrica: b) (1,5 valores) Escreva a função de Lagrange que descreve o movimento do sistema em função da coordenada e dos parâmetros referidos anteriormente. Determine a equação diferencial do movimento do sistema, em função desses parâmetros, para a variável. c) (1,5 valores) Considere que o cilindro tem uma massa, e um raio e o objeto em queda tem uma massa. Qual a velocidade do corpo de massa ao atingir o solo, caindo de uma altura? Problema 2 a) (2 valores) Mostre que o módulo da velocidade de um satélite numa órbita circular em torno da Terra é dado por: em que é a constante de gravitação universal, é a massa da Terra e é a distância do satélite ao centro do Terra. b) (1,5 valores) Um satélite encontra-se numa órbita geoestacionária quando a sua posição se mantém constante relativamente a um ponto fixo à superfície da Terra. Determine a que altitude ( ) se deverá colocar um satélite para que este se encontre numa órbita geoestacionária. (Raio médio da Terra ). c) (1,5 valores) Utilizando os resultados das alíneas anteriores determine o valor da energia mecânica total de um satélite com uma massa numa órbita geoestacionária.

2 Problema 3 Uma expedição espacial pousa num planeta desconhecido cujo raio médio, previamente determinado durante a manobra de aproximação., tinha sido a) (2 valores) Ao saírem da nave para a superfície do planeta verificam que um pêndulo gravítico com um comprimento tem um período de oscilação, para pequenas oscilações. O que é que os astronautas podem concluir sobre o valor da massa do planeta (despreze o efeito do atrito no movimento do pêndulo)? b) (1,5 valores) Numa outra experiência, os astronautas produzem oscilações numa corda vibrante no modo fundamental e verificam que o comprimento de onda do som obtido na atmosfera local é cerca de 1,5 vezes o observado na Terra para a mesma corda vibrante sujeita às mesmas condições. Sabendo que a velocidade do som no ar em condições normais de pressão e temperatura (na Terra) é, o que é que os astronautas podem concluir sobre a velocidade do som na atmosfera do planeta recém-descoberto? c) (1,5 valores) Se a corda tiver um comprimento e uma massa por unidade de comprimento, qual deverá ser o valor da massa a suspender na corda para que esta vibre com uma frequência de no modo fundamental à superfície do planeta (Nota: se não resolveu a alínea a) considere que a massa do planeta é. Problema 4 Uma patinadora com uma massa desloca-se em linha reta com uma velocidade de módulo. Num dado momento colide com uma bola de massa que se encontrava em repouso sobre a superfície do ringue. a) (2 valores) Considerando que o choque entre a patinadora e a bola é um choque elástico frontal (ambas se movem segundo a direção inicial do movimento da patinadora) determine as respetivas velocidades após o choque (considere que a bola desliza sem rodar). b) (1,5 valores) Num dado momento, após o choque, a patinadora segura uma fita (de massa desprezável) presa a uma barra vertical fixa iniciando um movimento de rotação em torno da barra. i) Considerando que, no momento em que segura na fita, a patinadora se encontra a 1 m da barra, na direção perpendicular à da sua velocidade nesse instante, determine a velocidade angular com que a patinadora passa a rodar em torno da barra (considere que o movimento da patinadora pode ser descrito, como aproximação, como o movimento da sua massa total situada no centro de massa); ii) Determine os valores da energia cinética antes e depois da bailarina iniciar o movimento de rotação e justifique o resultado obtido, tendo em conta o efeito das forças em presença (despreze o efeito do atrito). c) (1,5 valores) Num dado instante, enquanto roda, a patinadora desliza passando a rodar junto ao chão perpendicularmente à barra. Nestas condições o momento de inércia da bailarina passa a ser. Determine o novo valor da velocidade angular da patinadora (despreze o efeito das forças de atrito e, se não resolveu a alínea a) considere que a patinadora se deslocava inicialmente com uma velocidade de módulo ).

3 2 2. f T 1 2 dp F ma P mv T mv F 2 dt W C F dr L d L L T U 0 qi dt q i L r i P i i I m R 2 i i i F U N r i F i i Mm F G 2 r e r dl dt TROT N L I 1 I 2 2

4 Soluções Problema 1 a) b) c) Utilizando a lei da conservação da energia (ponto inicial: ; ponto final (solo): ) e as expressões deduzidas na alínea a) Ou utilizando a expressão da aceleração deduzida na alínea b) (com e )

5 Sustituindo a aceleração pela expressão encontrada na alínea b) obtemos, para : Ou, calculando o valor da aceleração Problema 2 a) b) A velocidade orbital de um satélite numa órbita circular de raio e período de rotação é dada por: Utilizando o resultado da alínea anterior obtemos, para esta órbita :

6 Obtivemos assim a expressão correspondente à terceira lei de Kepler para o caso de um satélite com uma órbita circular em torno da Terra. No caso de uma órbita geoestacionária o período é exatamente igual a um dia. c) Substituindo a velocidade orbital pela expressão dada na alínea a) obtemos: Ou: Calculando o valor da velocidade orbital a partir da expressão da alínea a) e do valor do raio da rbita calculado na alínea b) Problema 3 a)

7 Igualando esta expressão à obtida em função do período de oscilação do pêndulo,, obtemos Ou: b) Pelas mesmas condições entende-se que a tensão a que a corda está sujeita, massa por unidade de comprimento,, são as mesmas:, tal como a respetiva Então, a velocidade de propagação das vibrações da corda:

8 Será também idêntica à que se observa na Terra. A frequência associada às vibrações no modo fundamental também será idêntica Logo a frequência das vibrações da corda observada no planeta é a mesma observada na Terra. ( é comprimento das ondas de som na atmosfera do planeta e é o comprimento de onda das ondas de som na Terra) c) A aceleração da gravidade à superfície do planeta da massa do planeta dado nesta alínea obtemos: foi calculada na alínea anterior. Se utilizarmos o valor

9 Problema 4 a) Num choque elástico conservam-se a energia cinética e o momento linear Dividindo a primeira pela segunda equação:

10 Verificação: b) Momento angular antes e depois da patinadora agarrar a fita são iguais (conservação do momento angular) i) ii) (antes de agarrar a fita) A energia cinética conserva-se porque, quando a patinadora executa o movimento de rotação, a força aplicada é perpendicular à trajetória e portanto o trabalho da mesma é nulo porque c) Pela conservação do momento angular: