FIS 26. Mecânica II *****

Transcrição

1 * ** FIS 26 Mecânica II *** * ** *** **** ***** **** *****

2 Apresentação do curso - Ementa Dinâmica do corpo rígido (Pedro Pompeia) Movimento oscilatório (Ronaldo Pelá) Movimento ondulatório (Rene Spada) Gravitação (Bogos Sismanoglu) Introdução à Mecânica Analítica (Bogos Sismanoglu) Bibliografia: Hibbeler, R. C., Mecânica para Engenheiros, Vol 2, 12ª ed., Pearson Education do Brasil, São Paulo, 2005; Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, Vols 1 e 2, 2ª ed., Edgard Blücher, São Paulo, 1993; Arya, A. P., Introduction to Classical Mechanics, 2ª ed., Prentice Hall, New York, 1997.

3 FIS 26 Mecânica II Aula 1: Revisão de Mecânica I. - movimento plano.

4 Revisão de Mecânica I Sistema de (várias) partículas Considere um sistema composto por n partículas distribuídas no espaço. Massa total Vetor posição do Centro de Massa CM z O x y

5 Revisão de Mecânica I Sistema de (várias) partículas Para sistemas com distribuição contínua de massa: Distribuição linear Distribuição superficial Distribuição volumétrica

6 Revisão de Mecânica I Sistema de (várias) partículas O momento linear total do sistema, dado como a soma dos momentos de cada partícula, pode ser expresso como o momento de um única partícula contendo toda a massa do sistema, com posição dada pelo CM. A segunda lei de Newton mostra que o movimento do CM comporta-se como se toda a massa do sistema estivesse concentrada neste ponto e como se todas as forças dos sistema estivessem atuando nele. Momento linear total Segunda lei de Newton Teorema do impulso e momento

7 Revisão de Mecânica I Sistema de (várias) partículas A energia cinética total do sistema é dada pela soma da energia cinética do centro de massa com as energias cinéticas relativas a este. O teorema do trabalho e energia (para forças independentes do tempo) mostra que a variação da energia cinética do sistema entre os instantes t2 e t1 é igual à soma dos trabalhos da forças internas e externas. Energia cinética Teorema do trabalho e energia Para forças conservativas (internas e externas) a energia potencial total é dada pela soma das energias cinéticas das forças internas e externas. Energia potencial total Conservação da energia total

8 Revisão de Mecânica I Sistema de (várias) partículas O momento angular total do sistema em relação a um ponto O é dada pela soma dos momentos angulares de todas as partículas e mostra-se que ele é igual à soma dos momentos angulares da partículas em relação ao centro de massa com o momento angular do centro de massa em relação a O. O torque resultante/total do sistema em relação a um ponto O é igual à variação temporal do momento angular total, sendo válido o teorema do impulso e momento angulares, onde o impulso angular de um torque é definido pela sua integral temporal em um dado intervalo. Momento angular Torque resultante Impulso angular Teorema do impulso e momento angulares

9 Revisão de Mecânica I Referenciais não inerciais É possível relacionar as quantidades cinemáticas em diferentes referenciais. O movimento relativo entre referenciais estabelece relações entre quantidades cinemáticas absolutas e relativas: Posição Velocidade Aceleração

10 Revisão de Mecânica I Referenciais não inerciais O movimento mais geral que se pode considerar é entre referenciais não inerciais em rotação e translação: considere que há uma rotação em torno de um ponto A e que A translada com relação a um referencial parado. Para descrever corretamente o movimento do ponto de vista do referencial não inercial é preciso considerar as forças de inércia ( fictícias ). Forças inerciais Forças de interação Força inercial de translação Força de Euler Força centrífuga Força de Coriolis

11 - Roteiro O que é um corpo rígido? Movimentos do corpo rígido Translação Rotação em torno de um eixo Movimento geral planar Movimento geral tridimensional

12 O que é um corpo rígido? Definições: Um corpo rígido é definido como um sistema constituído por um grande número de massas puntuais, chamadas partículas, tal que as distâncias entre os pares de massas puntuais permanece constante, mesmo quando o corpo está em movimento ou sob a ação de forças exernas. ¹ Um corpo é rígido quando a distância entre duas partículas quaisquer do corpo é invariável. ² Definimos um corpo rígido como uma coleção de partículas cujas distâncias relativas são vinculadas a permanecer absolutamente fixas. ³ 1 Arya, A.P., Introduction to Classical Mechanics, 1ª ed. Allyn and Bacon, 1ª.ed., Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, Vol. 1, 2ª.ed., Edgard Blücher, Marion, J. B., Thornton, S.T., Classical Dynamics of Particles and Systems, 4ª.ed., Saunders College Pub.,1995.

13 O que é um corpo rígido? Observações: nenhum corpo de qualquer tamanho físico é estritamente rígido; ele se deforma sob a ação de forças aplicadas. ¹ Nenhum corpo é perfeitamente rígido: uma barra de aço se deforma sob a ação de forças suficientemente intensas (...) ² - ( ) as partículas compondo todo corpo (os átomos) estão sempre sujeitas a algum movimento relativo ( ), uma pancada (em uma barra) seria sentida instantaneamente na extremidade oposta. Isso corresponde a uma transmissão de sinal com velocidade infinita uma situação que, pela teoria relativista, sabemos ser impossível ³ 1 Arya, A.P., Introduction to Classical Mechanics, 1ª ed. Allyn and Bacon, 1ª.ed., Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, Vol. 1, 2ª.ed., Edgard Blücher, Marion, J. B., Thornton, S.T., Classical Dynamics of Particles and Systems, 4ª.ed., Saunders College Pub.,1995.

14 O que é um corpo rígido? Validade: Todavia, o conceito de um corpo rígido idealizado é útil na descrição do movimento, e os desvios resultantes não são tão significativos. ¹ as deformações são em geral suficientemente pequenas para que possam ser desprezadas em primeira aproximação. ² podemos seguramente desprezar as mudanças em tamanho e forma causadas por tais deformações e obter equações de movimento válidas com um alto grau de exatidão ³. 1 Arya, A.P., Introduction to Classical Mechanics, 1ª ed. Allyn and Bacon, 1ª.ed., Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, Vol. 1, 2ª.ed., Edgard Blücher, Marion, J. B., Thornton, S.T., Classical Dynamics of Particles and Systems, 4ª.ed., Saunders College Pub.,1995.

15 Movimentos do corpo rígido

16 Movimentos do corpo rígido Translação: trajetória de translação retilínea¹ trajetória de translação curvilínea¹.

17 Movimentos do corpo rígido Translação: Rotação: trajetória de translação retilínea¹ rotação em torno de um eixo¹ trajetória de translação curvilínea¹.

18 Movimentos do corpo rígido Translação: Rotação: trajetória de translação retilínea¹ rotação em torno de um eixo¹ trajetória de translação curvilínea¹. rotação em torno de um ponto fixo² 2 Beer et al- Vector Mechanics Engineers Statics Dynamics 9ª Ed. McGraw Hill

19 Movimentos do corpo rígido Movimento geral planar: Movimento geral: translação + rotação: translação + rotações (em torno de 3 eixos):

20 Movimento em que todas as partículas de um corpo rígido movem-se ao longo de trajetórias que são equidistantes de um plano fixo ¹. Translação: Rotação: trajetória de translação retilínea¹ rotação em torno de um eixo¹ Movimento geral: trajetória de translação curvilínea¹. translação + rotação:

21 translação retilínea translação curvilínea rotação em torno de um eixo translação + rotação: Identifique os tipos de movimentos dos objetos abaixo: Barra 2 Barra 3 Pistão Disco Barra 1

22 translação retilínea translação curvilínea rotação em torno de um eixo translação + rotação: Identifique os tipos de movimentos dos objetos abaixo:

23 Translação: para descrever o movimento do corpo rígido é interessante, em muitos casos, utilizar dois sistemas referenciais. Um deles é um sistema fixo, com coordenadas x, y, z, e outro apenas translada com relação ao sistema fixo possui coordenadas x, y, z : x//x, y//y, z//z, para todo t.

24 Translação: para descrever o movimento do corpo rígido é interessante, em muitos casos, utilizar dois sistemas referenciais. Um deles é um sistema fixo, com coordenadas x, y, z, e outro apenas translada com relação ao sistema fixo possui coordenadas x, y, z : x//x, y//y, z//z, para todo t. Vetor de posição Posição de A Posição de B Posição de B em relação a A

25 Translação: para descrever o movimento do corpo rígido é interessante, em muitos casos, utilizar dois sistemas referenciais. Um deles é um sistema fixo, com coordenadas x, y, z, e outro apenas translada com relação ao sistema fixo possui coordenadas x, y, z : x//x, y//y, z//z, para todo t. Vetor de posição Para ser corpo rígido, para todos t e t0 :

26 Translação: Vetor de posição Para ser translação : Para ser corpo rígido, para todos t e t0 :

27 Translação: Vetor de posição Velocidade Aceleração

28 Translação: Vetor de posição Velocidade Aceleração Na translação todos os pontos possuem a mesma velocidade e a mesma aceleração.

29 Rotação em torno de um eixo: Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹

30 Rotação em torno de um eixo: Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹ Deslocamento do ponto P

31 Rotação em torno de um eixo: Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹

32 Rotação em torno de um eixo: Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹ Módulos de vetores

33 Rotação em torno de um eixo: Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹ Define-se o vetor Perpendicular ao plano de rotação

34 Rotação em torno de um eixo: Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹ Define-se o vetor Perpendicular ao plano de rotação

35 Rotação em torno de um eixo: Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹ Rotações infinitesimais são comutativas, diferentemente das rotações finitas.

36 Rotação em torno de um eixo: Define-se a velocidade angular de rotação como sendo um vetor. A partir de sua definição, pode-se obter a velocidade (linear). Velocidade angular Velocidade

37 Rotação em torno de um eixo: Por se tratar de um movimento planar ao redor de um eixo, o eixo não pode mudar de direção. Aceleração angular

38 Rotação em torno de um eixo: Exercício: Partindo das expressões abaixo, mostre como a aceleração é expressa em termos de Aceleração angular Velocidade

39 Rotação em torno de um eixo: Exercício: Partindo das expressões abaixo, mostre como a aceleração é expressa em termos de Aceleração angular Velocidade Aceleração

40 Rotação em torno de um eixo: Exercício: A rotação do braço robótico ocorre devido ao movimento linear dos cilindros hidráulicos A e B. Se este movimento induz a engrenagem D a rotacionar no sentido horário a 5 rad/s, determine a magnitude da velocidade e aceleração da parte C, segura pela pinça.

41 Rotação em torno de um eixo: Exercício: A rotação do braço robótico ocorre devido ao movimento linear dos cilindros hidráulicos A e B. Se este movimento induz a engrenagem D a rotacionar no sentido horário a 5 rad/s, determine a magnitude da velocidade e aceleração da parte C, segura pela pinça.

42 Rotação em torno de um eixo: Exercício: A rotação do braço robótico ocorre devido ao movimento linear dos cilindros hidráulicos A e B. Se este movimento induz a engrenagem D a rotacionar no sentido horário a 5 rad/s, determine a magnitude da velocidade e aceleração da parte C, segura pela pinça.

43 Rotação em torno de um eixo: Exercício: A rotação do braço robótico ocorre devido ao movimento linear dos cilindros hidráulicos A e B. Se este movimento induz a engrenagem D a rotacionar no sentido horário a 5 rad/s, determine a magnitude da velocidade e aceleração da parte C, segura pela pinça.

44 Movimento geral planar: O movimento geral planar pode ser entendido como a superposição de um movimento de translação com um movimento de rotação ao redor de um eixo.

45 Movimento geral planar: O movimento geral planar pode ser entendido como a superposição de um movimento de translação com um movimento de rotação ao redor de um eixo. É conveniente usar dois sistemas de coordenadas.

46 Movimento geral planar: O ponto A pode ser um ponto qualquer e é chamado ponto de base. É conveniente escolher A de forma que sua trajetória seja conhecida. A distância de B a A é fixa.

47 Movimento geral planar: O ponto A pode ser um ponto qualquer e é chamado ponto de base. É conveniente escolher A de forma que sua trajetória seja conhecida. A distância de B a A é fixa. Posição de B em relação a (x,y) Posição de A ( ponto de base ) em relação a (x,y) Posição de B em relação a A (x,y )

48 Movimento geral planar: O deslocamento de B pode ser entendido como uma translação de dra, seguida de uma rotação de drb/a em torno da posição final de A.

49 Movimento geral planar: O deslocamento de B pode ser entendido como uma translação de dra, seguida de uma rotação de drb/a em torno da posição final de A.

50 Movimento geral planar: Os vetores de posição, velocidade e aceleração de um ponto B do corpo rígido são: e são paralelos.

51 Movimentos tridimensional do corpo rígido Movimento geral: Os vetores de posição, velocidade e aceleração de um ponto B do corpo rígido são: e NÃO são paralelos.