Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal

Transcrição

1 Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 rrpela@ita.br

2 Journal Club Science 341, 725 (2013)

3 Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo Cinemática retilínea: movimento contínuo Cinemática retilínea: movimento irregular Movimento curvilíneo geral Movimento curvilíneo: componentes retangulares Movimento de um projétil Movimento curvilíneo: Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas Análise do movimento absoluto dependente de duas partículas Movimento relativo de duas partículas usando eixos de translação Movimento relativo de duas partículas usando eixos de rotação

4 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Quando a trajetória ao longo da qual uma partícula se move é conhecida, costuma ser conveniente descrever o movimento utilizando-se eixos de coordenadas n e t os quais atuam normal e tangente à trajetória, respectivamente, e no instante considerado tem sua origem localizada na partícula.

5 Movimento plano Considere a partícula mostrada na Figura acima, que se move em um plano ao longo de uma curva fixa tal que em dado instante ela está na posição s, medida a partir do ponto O.

6 Movimento plano A única escolha para o eixo normal pode ser feita observando-se que geometricamente a curva é construída a partir de uma série de segmentos do arco diferenciais ds, O plano que contém os eixos n e t é referido como o plano osculador, e nesse caso ele é fixo no plano do movimento.

7 Velocidade A velocidade da partícula v tem uma direção que é sempre tangente à trajetória, Desse modo, onde:

8 Aceleração A aceleração da partícula é a taxa de variação temporal da velocidade. Assim,

9 Aceleração Como mostrado na Figura abaixo, precisamos u t = ut + dut.

10 Aceleração a pode ser escrita como a soma de suas duas componentes, onde: ou e

11 Aceleração Essas duas componentes mutuamente perpendiculares são mostradas na Figura abaixo. Portanto, a intensidade da aceleração é o valor positivo de:

12 Movimento tridimensional Conhecendo ut e un, podemos determinar o versor ub: ub = ut un.

13 Exercício Se a trajetória é expressa como y = f (x), o raio da curvatura ρ em qualquer ponto sobre a trajetória é determinado pela equação:

14 Por um lado: Por outro lado: O que implica: Reescrevendo: Mas:

15 Exemplo: Quando o esquiador alcança o ponto A ao longo de sua trajetória parabólica, ele tem uma velocidade escalar de 6,00 m/s que está aumentando em 2,00 m/s2. Determine a direção de sua velocidade e a direção e a intensidade da sua aceleração neste instante. Despreze o tamanho do esquiador no cálculo. 5,00 m 10,0 m

16 Para (ângulo que a velocidade faz a direção positiva de x) Para (ângulo que a aceleração faz a direção positiva de x)

17 Exemplo: As caixas deslocam-se ao longo do transportador industrial. Se uma caixa parte do repouso em A e aumenta sua velocidade escalar de tal maneira que onde t é dado em s, determine a intensidade da sua aceleração quando ela chega ao ponto B 3,00 m 2,00 m

18 Para chegar a B, percorre uma distância de O que leva um tempo de Para

19 Exemplo: Em um teste de direção, um carro é conduzido através do percurso sinuoso mostrado. Supõe-se que a trajetória do carro é senoidal e que a máxima aceleração lateral é 0,700 g. Se os examinadores desejam projetar um percurso por meio do qual a velocidade máxima seja de 80,0 km/h, qual o espaçamento L entre os cones.

20 Exemplo: Sendo: Precisamos encontrar o ponto em que é mínimo (para maximizar aceleração normal). Vamos fazer isto com o auxílio de um programa computacional

21 Exemplo: A resposta obtida é Script do Maxima y(x):=a*sin(%pi*x/l); diff(y(x),x); yl(x):=''(diff(y(x),x)); yll(x):=''(diff(yl(x),x)); rho(x):=(1+(yl(x))^2)^(3/2)/yll(x); drho(x):=''(diff(rho(x),x)); solve(drho(x)=0,x); /* Substituir x=l/2 na função*/ rho(0.5*l); /* Calculando L */ v:80/3.6; a:0.7*9.81; A:3; solve(abs(rho(0.5*l))=v^2/a,l); %,numer; /* Vamos fazer um gráfico, para deixar mais divertido */ L:1; plot2d ( abs(rho(x)), [x,0.2,0.8]);

22 Exemplo: No instante de tempo t=0, a partícula P de 0,900 kg recebe uma velocidade inicial de 0,300 m/s na posição e posteriormente desliza ao longo da trajetória circular de raio r = 0,500 m. Devido ao fluido viscoso e o efeito da aceleração gravitacional, a aceleração tangencial é de onde a constante k = 3,00 N.s/m é um parâmetro de arrasto. Determine e represente graficamente e ambos como funções do tempo durante o intervalo de 0 a 5 s. Determine os valores máximos de e e os correspondentes valores de t. Determine também o primeiro instante de tempo em que = 90,0.

23 Exemplo: Pela figura fica claro que Esta é uma EDO não linear sem solução analítica. Vamos resolver (numericamente) usando o Maxima. Condições iniciais:

24 Exemplo: Para resolver a EDO anterior no Maxima, precisamos convertê-la num sistema de primeira ordem. Definimos as variáveis auxiliares Com isso, temos o seguinte sistema: Condições iniciais: Script do Maxima sol: rk([w,19.62*cos(u) *w],[u,w],[0,0.6],[t,0,5,0.02])$ plot2d ([discrete,makelist([p[1],p[2]],p,sol)], [xlabel,"t"],[ylabel,"\theta"])$ plot2d ([discrete,makelist([p[1],p[3]],p,sol)], [xlabel,"t"],[ylabel,"\dot{\theta}"])$

25 Exemplo: Gráficos

26 Exemplo: Gráficos

27 Exemplo: Condições de máximo: Além disso: