Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785

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1 Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 rrpela@ita.br

2 5.5 Torque e Momento Angular Relação entre torque (momento) da força resultante e momento angular Relação entre Força e Momento Linear Relação esperada para o Torque e Momento Angular Vejamos se é assim mesmo. Partimos da derivada: Momento da força resultante

3 5.5 Torque e Momento Angular Conservação do momento angular Quando os impulsos angulares atuando em uma partícula são todos zero durante o tempo t1 a t2: o Momento angular se conserva Exemplo de situação em que o Momento Angular se conserva

4 5.5 Torque e Momento Angular Momento angular para um sistema de partículas Vamos provar que

5 5.5 Torque e Momento Angular Conclusão

6 5.5 Torque e Momento Angular Equação dos torques num ponto P e no CM

7 5.5 Torque e Momento Angular Questão: a equação qualquer referencial? vale para Resp.: Se o referencial for inercial, sim. Se o referencial for o CM, sim (sendo este ref. inercial ou não) Se o referencial for não inercial, as forças inerciais (fictícias) devem ser incluídas. Estas forças agem sobre cada partícula do sistema

8 5.5 Torque e Momento Angular Exemplo: uma estrela esférica gira por um período de 30 dias por um eixo que passa pelo seu centro. Depois que a estrela sofre uma explosão supernova, o núcleo estelar, 4 que tinha um raio de 1,0x10 km, sofre colapso em uma estrela de 3,0 km de raio. Determine o período de rotação da estrela de nêutron.

9 5.5 Torque e Momento Angular Resp.: 0,23 s De fato, são observadas estrelas de nêutrons que giram aproximadamente 4 vezes por segundo.

10 5.5 Torque e Momento Angular Exemplo: um cometa está na órbita extremamente excêntrica mostrada na Figura. Sua velocidade no ponto mais distante A (a 6000x106 km do Sol), que está no limite externo do sistema solar, é de 740 m/s. Determine sua velocidade no ponto B (a 75,0x106 km do Sol) de maior aproximação do Sol.

11 5.5 Torque e Momento Angular Resp.: 59,2 km/s

12 5.5 Torque e Momento Angular Exemplo: o conjunto da haste leve e duas massas nas extremidades está em repouso quando é atingido pela queda de um punhado de massa de vidraceiro se deslocando com velocidade v1. A massa de vidraceiro se adere e se desloca com a massa na extremidade direita. Determine a velocidade angular do conjunto após o impacto.

13 5.5 Torque e Momento Angular Resp.: v1/(19l)

14 5.5 Torque e Momento Angular Exemplo: A bola B de 0,400 kg está presa a uma corda que passa através de um furo em A sobre uma mesa lisa. Quando a bola está a 0,500 m do furo, ela gira em círculo a uma velocidade escalar de 1,20 m/s. Aplicando-se a Força F (que não necessariamente é constante no tempo), a corda é puxada para baixo através do furo a uma velocidade escalar constante de 2,00 m/s. Determine (a) a velocidade escalar da bola no instante em que estiver a 0,200 m do furo; (b) o trabalho realizado pela força F ao encurtar a distância radial de 0,500 m para 0,200 m.

15 5.5 Torque e Momento Angular Resp.: (a) 3,61 m/s (b) 2,31 J

16 5.5 Torque e Momento Angular Exemplo: Cada uma das três esferas possui uma massa m e está soldada à estrutura rígida com ângulos iguais de massa desprezível. O conjunto está em repouso sobre uma superfície horizontal lisa. Se uma força F é aplicada repentinamente a uma barra conforme indicado, determine a aceleração do ponto O e a aceleração angular da estrutura.

17 5.5 Torque e Momento Angular Resp.:

18 5.5 Torque e Momento Angular Exemplo: Considere as mesmas condições do Exemplo anterior, exceto que os raios são livremente articulados em O e, portanto, não constituem um sistema rígido. Explique a diferença dos dois problemas.

19 5.5 Torque e Momento Angular Exemplo: O centro de massa somente coincide com o ponto O no instante inicial (quando os raios se movimentam, o ponto O deixa de ser o centro de massa) Os movimentos angulares dos braços são todos diferentes e não são facilmente determinados Este problema poderia ser resolvido desmembrando o sistema e escrevendo as equações de movimento para cada parte. Ou então, o método de Lagrange poderia ser utilizado (este seria o método mais simples)

20 5.5 Torque e Momento Angular Exemplo: Uma pequena partícula recebe uma velocidade inicial v0 tangente à borda horizontal de uma cavidade hemisférica lisa (de raio r0), como indicado no ponto A. Quando a partícula desliza passando pelo ponto B, a uma distância h abaixo de A, sua velocidade v faz um ângulo θ com a tangente horizontal à cavidade através de B. Determine θ.

21 5.5 Torque e Momento Angular Resp.:

22 Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo Princípio do impulso e quantidade de movimento Uma partícula Sistema de partículas Conservação da quantidade de movimento Impacto Torque e momento angular Uma partícula Sistema de partículas Propulsão com massa variável

23 5.6 Propulsão com massa variável Escoamento estacionário de fluidos Até agora estudamos sistemas de partículas num volume fechado (que não troca partículas com as vizinhanças) Vamos aplicar agora o princípio do impulso e quantidade de movimento para estudar escoamento estacionário de massa de fluido entrando e saindo de um volume de controle

24 5.6 Propulsão com massa variável Escoamento estacionário de fluidos Volume de controle: região do espaço onde as partículas podem escoar para dentro ou para fora Escoamento estacionário: escoamento do fluido entrando no volume de controle é igual ao escoamento de fluido saindo do volume de controle Considere o seguinte volume de controle

25 5.6 Propulsão com massa variável Escoamento estacionário de fluidos Princípio do impulso e quantidade de movimento

26 5.6 Propulsão com massa variável Escoamento estacionário de fluidos Princípio do impulso angular e quantidade de movimento angular

27 5.6 Propulsão com massa variável Escoamento estacionário de fluidos Q: vazão, descarga ou fluxo volumétrico

28 5.6 Propulsão com massa variável Exemplo: Determine as componentes da reação que a junta fixa do cano em A exerce sobre o cotovelo, se a água que flui pelo cano está submetida a uma pressão estática de 100 kpa em A. A descarga em B é 0,200 m3/s. A densidade da água é 1000 kg/m3 e o cotovelo cheio de água tem uma massa de 20,0 kg e centro de massa em G.

29 5.6 Propulsão com massa variável Exemplo:

30 5.6 Propulsão com massa variável Um volume de controle que perde massa

31 5.6 Propulsão com massa variável Dedução alternativa Volume de controle que perde massa Tempo t Tempo t + dt F m dme v m-dme F v+dv Velocidade de descarga relativa à massa m: vd/e (sentido + para trás) Princípio do impulso e quantidade de movimento

32 5.6 Propulsão com massa variável Um volume de controle que ganha massa

33 5.6 Propulsão com massa variável Um volume de controle que ganha massa Princípio do impulso e quantidade de movimento

34 5.6 Propulsão com massa variável Um volume de controle que perde massa

35 5.6 Propulsão com massa variável Exemplo: a massa inicial de um foguete e seu combustível é m0. Uma massa mf total de combustível é consumida a uma taxa constante c e expelida a uma velocidade constante u em relação ao foguete. Determine a velocidade máxima do foguete. Despreze a variação do peso do foguete com a altitude e a resistência ao arrasto do ar. O foguete é lançado verticalmente, partindo do repouso.

36 5.6 Propulsão com massa variável Resp.:

37 5.6 Propulsão com massa variável Exemplo: Uma corrente de comprimento l tem massa m. Determine a intensidade da força F necessária para elevar a corrente a uma velocidade constante v, partindo do repouso. Exercício para casa: Qual seria a força necessária para abaixar a corrente a uma velocidade constante v, partindo do repouso quando y = l?

38 5.6 Propulsão com massa variável Resp.: Tarefa para casa