Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785

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1 Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 rrpela@ita.br

2 Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo A equação do movimento Equação do movimento para um sistema de partículas Centro de massa Equações do movimento coordenadas retangulares coordenadas normais e tangenciais coordenadas cilíndricas Movimento sob a ação de força central Referenciais não inerciais e forças de inércia Força centrífuga Força de Coriolis Efeitos inerciais da rotação da Terra Força de atrito Atrito seco Atrito em parafusos Atrito em correias e mancais Resistência ao rolamento

3 3.6 A Equação do Movimento: Coordenadas Cilíndricas Segunda lei de Newton Equação vetorial = 3 equações escalares

4 3.6 A Equação do Movimento: Coordenadas Cilíndricas Coordenadas cilíndricas com forças atuando na direção normal e tangencial Podem aparecer casos em que a trajetória é conhecida r = f(θ) e sabe-se a direção de atuação de algumas forças Atrito: direção tangencial Normal: direção normal Nestes casos, é preciso relacionar as coordenadas cilíndricas com a direção normal e tangencial

5 3.6 A Equação do Movimento: Coordenadas Cilíndricas Ilustrando o problema

6 3.6 A Equação do Movimento: Coordenadas Cilíndricas Geometricamente No limite em que

7 3.6 A Equação do Movimento: Coordenadas Cilíndricas OBS.: Quando o ângulo ψ é negativo ψ = -75

8 3.6 A Equação do Movimento: Coordenadas Cilíndricas Exemplo: O anel duplo liso de 0,500 kg mostrado na Figura pode deslizar livremente no braço AB e na barra-guia circular. Se o braço gira com uma velocidade angular constante de 3,00 rad/s, determine a força que o braço exerce sobre o anel no instante em que θ = 45,0. O movimento é no plano horizontal r = (0,800 cos θ) m 0,400 m

9 3.6 A Equação do Movimento: Coordenadas Cilíndricas Exemplo: Para θ = 45 Com isso:

10 3.6 A Equação do Movimento: Coordenadas Cilíndricas Exemplo: O cilindro C de 2,00 kg mostrado na figura tem um pino P do seu centro que passa pela fenda do braço OA. Se o braço é forçado a girar no plano vertical a uma taxa constante de 0,500 rad/s, determine a força que o braço exerce sobre o pino no instante em que θ = 60,0. 0,400 m

11 3.6 A Equação do Movimento: Coordenadas Cilíndricas Exemplo: Como: Para θ = 60 Com isso:

12 3.6 A Equação do Movimento: Coordenadas Cilíndricas Exemplo: Uma lata C, tendo massa de 0,500 kg, desloca-se ao longo de uma ranhura entalhada na horizontal, como mostrado na figura. A ranhura está na forma de uma espiral que é definida pela equação r = (0,100 θ) m, onde θ é dado em radianos. Se o braço OA gira com uma taxa constante de 4,00 rad/s no plano horizontal, determine a força que ele exerce quando θ = π rad. Despreze o atrito e a dimensão da lata.

13 3.6 A Equação do Movimento: Coordenadas Cilíndricas Exemplo: Para θ = 180 Para θ = 180 Com isso:

14 Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo A equação do movimento Equação do movimento para um sistema de partículas Centro de massa Equações do movimento coordenadas retangulares coordenadas normais e tangenciais coordenadas cilíndricas Movimento sob a ação de força central Referenciais não inerciais e forças de inércia Força centrífuga Força de Coriolis Efeitos inerciais da rotação da Terra Força de atrito Atrito seco Atrito em parafusos Atrito em correias e mancais Resistência ao rolamento

15 3.7 Movimento sob a ação de força central Exemplo de motivação: O ônibus espacial de 80,0 t está numa órbita circular com 320 km de altitude, sobre a linha do Equador. Quando o ônibus espacial passa sobre o campus da Un. Federal do Amapá (UNIFAP) em Macapá (longitude: -51,085 ), no sentido oeste-leste, seus dois motores do sistema de manobra orbital (cada um com empuxo de 27,0 kn) são acionados, ocasionando uma frenagem (força para trás no ônibus) por 150 s. Determine o local em que o ônibus estaciona na Terra. Dados: R = 6371 km (raio da Terra) e g0 = 9,825 m/s2 (gravidade na superfície)

16 3.7 Movimento sob a ação de força central Quando uma partícula está se movendo sob a influência de uma força tendo uma linha de ação que é sempre direcionada para um ponto fixo, o movimento é chamado de movimento de força central Exemplos típicos: força gravitacional e força eletrostática

17 3.7 Movimento sob a ação de força central Tomando a equação h = constante de integração A velocidade areolar(=da/dt) é constante

18 3.7 Movimento sob a ação de força central Desejamos agora obter a equação da trajetória r = f(θ) Para tanto, a variável t precisa ser eliminada Lembre que: Definindo:

19 3.7 Movimento sob a ação de força central Voltando a Particularizando para o caso da força gravitacional Resolvendo a EDO: Equação da trajetória de voo livre do satélite

20 3.7 Movimento sob a ação de força central Uma interpretação geométrica da solução exige o conhecimento da equação de uma seção cônica Uma seção cônica é definida como o LG de um ponto P que se move de tal maneira que é constante a razão da sua distância até um foco (ou ponto fixo) F com sua distância até uma linha fixa DD (chamada de diretriz). Esta razão é chamada de excentricidade

21 3.7 Movimento sob a ação de força central Alguns resultados Podemos adotar θ = 0 no ponto de máxima aproximação. Isto implica φ = 0 Para θ = 0, a velocidade não tem componente radial: Com isso, segue que:

22 3.7 Movimento sob a ação de força central Conclusão