DINÂMICA APLICADA. Livro Texto adotado: Dinâmica: Mecânica para Engenheiros R.C. Hibbeler.

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1 DINÂMICA APLICADA Livro Texto adotado: Dinâmica: Mecânica para Engenheiros R.C. Hibbeler. Samuel Sander de Carvalho Juiz de Fora - MG

2 Introdução: A mecânica Aplicada à Engenharia é dividida em duas áreas (Estática e Dinâmica) Estática: Estuda equilíbrio de um corpo que está em repouso ou movimento com velocidade constante ; Dinâmica: Estuda movimento acelerado de um corpo; Cinemática: Trata-se somente dos aspectos geométricos do movimento Cinética: Análise das forças que causam o movimento

3 Introdução: ATENÇÃO: A dinâmica é mais abrangente que a estática. Ambas as forças aplicadas a um corpo e seu movimento têm de ser levadas em consideração. Além disso muitas aplicações exigem o uso de cálculos e não somente álgebra e trigonometria. De toda forma, a melhor maneira de aprender dinâmica é: através de resolução de problemas.

4 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Os estudos começarão através da cinemática de uma partícula que se move sob uma trajetória retilínea ou uma linha reta. Partícula: Objeto que contém massa, porém, considera-se suas dimensões e formas desprezíveis. Em outras palavras, será usado corpos com tamanhos finitos.

5 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Cinemática retilínea: a cinemática de uma partícula é caracterizada ao se especificar em qualquer instante a velocidade, posição e aceleração. Ex: Em determinado instante obtém-se:

6 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Posição: Utiliza um único eixo de coordenadas. Único eixo de coordenadas. A origem O é o ponto fixo na trajetória, e a partir desse ponto, estabelece a posição da partícula, pela coordenada da posição (s) em qualquer instante de tempo. Obs.: a posição é uma quantidade vetorial, pois ela tem intensidade, direção e sentido. (no entanto ela está sendo representada pelo escalar algébrico s, pois a direção não muda.

7 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Deslocamento: É a variação da posição. Obs.: o deslocamento também é uma quantidade vetorial. ATENÇÃO: Deslocamento não deve ser confundido com a distância percorrida pela partícula. Deslocamento. Comos é menor quesdeslocamento(+)

8 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade: Há vários tipos de velocidade. Ex.: Velocidade média, velocidade instantânea, etc. Se uma partícula percorre um deslocamento s durante o intervalo de tempo t, a velocidade MÉDIA da partícula durante esse intervalo de tempo é: Se tomarmos valores cada vez menor para t, a distância de s fica cada vez menor, dessa forma, obtém-se a velocidade INSTANTÂNEA por:

9 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade: Dessa forma, pelo limite calculado anteriormente, pode-se resumir a equação em: Obs.: t ou dt é sempre positivo, o sinal utilizado para definir o sentido da velocidade é o mesmo de s ou ds.

10 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade: Ocasionalmente, o termo velocidade escalar média (v sp ) méd é usado, ela SEMPRE será POSITIVA e é definida como a distância total (s T ) percorrida por uma partícula divida pelo tempo decorrido ( t). Obs.: o sinal de negativo (-) na velocidade média, é exclusivo para o exemplo mostrado ao lado.

11 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: Supondo que se conheça a velocidade de uma partícula qualquer em dois pontos, assim é possível saber a aceleração dessa partícula.

12 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: Da mesma forma que para a velocidade, a aceleração instantânea é dada por:

13 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: Pegando a equação Eq a substituindo na Eq substituindo Obs.: Baseado nessa informação, concluise que com a derivada segunda da função posição encontra-se a aceleração.

14 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: Quando uma partícula está se movendo mais devagar que um dado instante anterior, diz-se que ela está desacelerando. Se seu referencial for positivo para a direita, então a aceleração para a direita é positiva e a desaceleração será negativa (-), porém, se a movimentação for para a esquerda, a aceleração será negativa e a desaceleração positiva (+).

15 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: Quando uma partícula está se movendo mais devagar que um dado instante anterior, diz-se que ela está desacelerando. com v(-) a(-) desaceleração v(+) a(+) desaceleração

16 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: se a velocidade for constante, ou seja v = v, a aceleração é nula (ZERO). Eq Eq Isolando dt em ambos Igualando ambas as equações

17 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: reorganizando Essa Eq. é dependente da Eq e 12.2 se a velocidade for constante, ou seja v = v, a aceleração é nula (ZERO).

18 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleraçãoconstante, a=a c : Quando a aceleração é constante, cada uma das três equações cinemáticas vistas até agora (12.1, 12.2 e 12.3) podem ser integradas para se obter fórmulas que as relacionem Posição (s); Velocidade (v); Aceleração constante (a c ); Tempo (t).

19 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade como função do tempo: Supondo que no instante Podemos pegar a Eq e integrá-la. integrando

20 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade como função do tempo: Supondo que no instante Podemos pegar a Eq e integrá-la. 0 resolvendo Aceleração constante

21 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Posição como função do tempo: Equação completa: Supondo que no instante Pela Eq. 12.1tem-se pela Eq tem-se, substituindo v da Eq em 12.1 e integrando, obtém-se a Eq. Completa. integrando

22 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Posição como função do tempo: Equação completa: Supondo que no instante Pela Eq. 12.1tem-se pela Eq tem-se, substituindo v da Eq em 12.1 e integrando, obtém-se a Eq. Completa. 0 0 resolvendo

23 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Posição como função do tempo: Equação completa: Supondo que no instante Pela Eq. 12.1tem-se pela Eq tem-se, substituindo v da Eq em 12.1 e integrando, obtém-se a Eq. Completa.

24 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade como função da posição: Supondo que no instante em que Pela Eq tem-se e integrando, obtém-se: resolvendo

25 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade como função da posição: Supondo que no instante em que Pela Eq tem-se e integrando, obtém-se: reorganizando

26 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Exemplo1: o carro da figura abaixo move-se em uma linha reta de tal maneira que por um curto período sua velocidade é definida por 0,9 0,6 /, onde t está em segundos. Determine sua posição e aceleração quando t = 3s. Quando t = 0, s = 0.

27 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Exemplo 2: um pequeno projétil é disparado verticalmente para baixo em um meio fluido com velocidade inicial de 60 m/s. Devido à resistência do arrasto do fluido, o projétil experimenta uma desaceleração de 0,4 /, onde v é dado em m/s Determine a velocidade e posição do projétil 4s após o disparo.

28 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Exemplo 3: um foguete está subindo verticalmente a 75 m/s quando, a 40 m do solo, ocorre uma avaria no motor. Determine a altura máxima s B alcançada pelo foguete e sua velocidade ao atingir o solo. Após a supressão da propulsão do motor, a aceleração do foguete devido a ação da gravidade, passa a ser de 9,81 m/s 2 para baixo. Despreze a resistência do ar. S B = 326,697 m V C = -80,061 m/s

29 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Exemplo 4: Um ponto material metálico está submetido à influência de um campo magnético conforme ele se move para baixo num fluido que se estende da placa A à placa B. O ponto material inicialmente em repouso foi abandonado no ponto médio C, s = 100mm, e sua aceleração é a = (4S) m/s 2, ondesédado em metros. Determine a velocidade com que ele atinge a placa B, s = 200mm, assim como o tempoque levapara ir decab.

30 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Resolução: Nesse caso, posso analisar o tempo gasto decparabpela Eq lembrando, onde t = 0 s, s = 0,1 m. substituindo integral integrando Integração Trigonométrica

31 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Resolução:

32 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Exemplo 5*: Um ponto material move-se ao longo de uma trajetória horizontal com velocidade v = (3t 2-6t) m/s. Supondo que no instante inicial o ponto se localiza na origem O, determine a distância percorrida em 3,5 s. Determine também a velocidade média e a velocidade escalar de percurso durante o intervalo de tempo de 3,5 s em (km/h). s = 6,125 m s = 10,125 m

33 Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Exercício1: Uma motocicleta parte do repouso em t = 0 s e move-se ao longo de uma estrada retilínea com uma aceleração constante de 1,8 m/s² até alcançar uma velocidade de 15 m/s. Depois disso, ela irá manter essa velocidade. No mesmo instante em que a motocicleta inicia seu movimento, um carro se encontra a 1800 m de sua localização. O automóvel está indo de encontro com a motocicleta a uma velocidade escalar constante de 9 m/s. Determine o tempo e a distância percorrida pela motocicleta quando um passa pelo outro. t = 77,604 s t = 69,271 s s= 1101,55 m

34 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Se uma partícula tem movimento irregular ou variável, então, sua posição, velocidade e/ou aceleração NÃO podem ser descrita por uma única função, dessa forma, será necessário várias delas para diferentes intervalos de tempo. Nesses casos, a melhor forma é fazer uma análise através de representações gráficas. Um gráfico de movimento que relaciona quaisquer duas dessas variáveis (,,,, pode ser usado para gerar gráficos subsequentes devido as relações diferenciais.

35 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Entendendo os gráficos s-t, v-t e a-t. Para transpassar de um gráfico! Consequentemente, para transpassar

36 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Entendendo os gráficos s-t, v-t e a-t. Para transpassar de um gráfico! Consequentemente, para transpassar

37 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Entendendo os gráficos s-t, v-t e a-t. Para transpassar de um gráfico #$ #$! Consequentemente, para transpassar #$

38 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Entendendo os gráficos s-t, v-t e a-t. Para transpassar de um gráfico #$ #$! Consequentemente, para transpassar #$

39 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Entendendo os gráficos s-t, v-t e a-t. Para transpassar de um gráfico #$% &#

40 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Exemplo 6: O gráfico da Figura mostra a posição de uma bicicleta que se desloca num trecho retilíneo de uma estrada. Construa os gráficos v-t e a-t para 0 < t < 30 s. (m) 150 6t 30 (m/s) a (m/s²) 30 s = 0,3t² 0,6t 6 6 0,6

41 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Exemplo7: O carro parte do repouso e se desloca ao longo da pista retilínea, acelerando a uma taxa constante durante 10 s e então desacelerando a uma taxa constante. Construa os gráficos v-t e s-t e determine o tempo t gasto da partida até a parada e a distância percorrida pelo carro.

42 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Exemplo 8: O gráfico v-s descreve o movimento de uma motocicleta. Construa o gráfico a-s para o movimento e determine o tempo necessário para a motocicleta atingir a posição s = 120 m. (m/s) 3 (m/s²) 0, , ,05 (m) (m)

43 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Resolução: Tempo : Pode ser obtido pelo gráfico v-s com auxílio da Eq. 12.1, v = ds / dt

44 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Exercício: Um motociclista que inicialmente se encontra no ponto A, está viajando a 18 m/s. Nesse instante ele decide ultrapassar o caminhão à sua frente que também está viajando a 18 m/s. Para conseguir a ultrapassagem, o motociclista acelera sua moto a 1,8 m/s² até atingir uma velocidade escalar máxima de 25,5 m/s. Determine o tempo necessário para ele alcançar uma distância de 30 m do caminhão, mantendo a mesma velocidade escalar máxima.trace o gráfico v-t e s-t para a motocicleta. * *+,../,/, t = 9,884 s s= 236,420 m 0,123ã5 *+, *., *6,/, 78,

45 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Exercício: Um avião viajando a 70 m/s pousa em uma pista reta e tem uma desaceleração descrita pelo gráfico a baixo. Determine o tempo 9 e a distância percorrida por ele para alcançar uma velocidade escalar de 5 m/s. Construa os gráficos es para o intervalor0;; 9.

46 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Exercício: Uma determinada partícula viajando a 70 m/s irá desacelerar conforme o gráfico que se apresentará a seguir. Determine o tempo 9 e a distância percorrida por ele para alcançar uma velocidade escalar de 5 m/s. Construa os gráficos es para o intervalor0;; 9. É O MESMO EXERCÍCIO DO SLIDE ANTERIOR

47 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Exercício: Um avião pousa a 250 ft/s em uma pista reta e tem uma desaceleração descrita pelo gráfico a seguir. Determine a distância 9 percorrida antes que sua velocidade escalar seja reduzida a 25 ft/s. Esboce o gráficos.

48 Movimento curvilíneo geral: O movimento curvilíneo ocorre quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva, a qual é geralmente descrita em 3D, a análise vetorial será usada para formular a posição, a velocidade e a aceleração da partícula. Posição: A posição da partícula medida a partir de um ponto fixo O, será designada pelo vetor posição r = r(t). Referência Posição Trajetória

49 Movimento curvilíneo geral: Deslocamento: Essa definição é similar ao movimento contínuo, no entanto, se da por utilização de vetores em uma trajetória curva. Assim, pode-se definir deslocamento ( r) como variação na posição da partícula: Novaposição é definida por:< 9 < < Referência

50 Movimento curvilíneo geral: Velocidade: Definição também similar ao movimento contínuo. Velocidade A velocidade é sempre tangente à trajetória.

51 Movimento curvilíneo geral: Aceleração: também trata-se de uma definição similar ao movimento contínuo. A curva formada por dois ou mais vetores velocidade é denominada hodógrafo, equivalente a trajetória para dois vetores posição. A aceleração é tangente ao hodógrafo. v v a hodógrafo s A aceleração é sempre tangente à curva hodógrafo.

52 Movimento curvilíneo: Movimentos retangulares A trajetória de uma partícula pode ser melhor descrita, expressa em termos de suas coordenadas x, y, z. Posição: Quando a partícula se move, as componentes,x, y, z ersãofunções do tempo. Em qualquer instante, a intensidade de r, é definido por:

53 Movimento curvilíneo: Movimentos retangulares A trajetória de uma partícula pode ser melhor descrita, expressa em termos de suas coordenadas x, y, z. Posição: A direção de r, é definida pelo vetorunitário: Vetor posição Intensidade

54 Movimento curvilíneo: Movimentos retangulares Velocidade: A primeira derivada de r em relação ao tempo produz a velocidade da partícula, logo: Após as simplificações, a velocidade é dada por: Onde:

55 Movimento curvilíneo: Movimentos retangulares Velocidade: A notação com pontos (>?,@??), representa as derivadas primeiras de>>!,@@! e!. A intensidade da velocidade é dada por: A direção, é definida pelo vetor unitário: Vetor velocidade Intensidade

56 Movimento curvilíneo: Movimentos retangulares Aceleração: A primeira derivada da Eq , ou a derivada segundadaeq.12.10emrelaçãoaotempo. Onde: A, B, C representam respectivamente a derivada primeira de D D!, E E! e F F! ou a derivada segunda de > >!,@@! e!.

57 Movimento curvilíneo: Movimentos retangulares Aceleração: A intensidade da aceleração é dada por: A direção, é definida pelo vetor unitário: Vetor aceleração Intensidade

58 Movimento curvilíneo: Movimentos retangulares Exemplo 9: A posição horizontal do balão mostrado é definida por >9 m, onde t é dado em segundos. Se a equaçãoda trajetóriaéy DH J I, determine (a) distancia dobalão à estação no pontoaem t = 2 s; (b)omóduloe o sentidoda velocidadeem t = 2 s; e (c) o módulo,adireçãoe o sentidoda aceleraçãoem t = 2 s

59 Movimento curvilíneo: Movimentos retangulares Exemplo10: Para o movimento de uma caixa B transportada por uma esteira helicoidal é definido pelo vetor de posição K0,5# 2 0,5LM 2 N!0,2OP. Determine a posição da caixa quando t = 0,75 s em relação à origem. Calcule também os módulos da velocidade e da aceleração da caixa nesse instante.(q rad = 180 ).

60 Movimento de um projétil: Projéteis em voo livres e/ou queda livre são geralmente estudado em termos de componentes retangulares(cartesianas), pois sua aceleração se manterá na vertical. A trajetória é definida no plano x-y, com velocidadesiniciais(v o ) x e (v o ) y. A única força que atua no projétil é o seu peso, que provoca uma aceleração constante para baixode módulog = 9,81m/s 2 ou 32,2 pés/s 2.

61 Movimento de um projétil: Esse esquema também apresenta dois tipos de movimentos: Quais? Movimento horizontal: a x = 0 m/s 2. Dessa forma, pode-se aplicar as equações de aceleração constante. R I D I D R I I 1J 2 S >> I I D R I 2 S I D I D

62 Movimento de um projétil: Esse esquema apresenta dois tipos de movimentos: Quais? Movimentovertical:a y =-a g m/s 2. Dessa forma, podese aplicar as equações de aceleração constante. I E I E U I I 1J 2 I I E 1J 2 U I 2 S I E I E 2 I

63 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Exemplo 11: Um saquinho sai de uma calha com velocidade horizontal de 12 m/s. Se a saída da calha está a 6 m de altura, determine o tempo necessário para o saquinho atingir o piso e o alcance R onde os saquinhos se empilham.

64 Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Exemplo 12: Uma bola alcançou 48 m em 3,6 s após ter sido chutada. Calcule o módulo e a inclinação θ da velocidade inicial da bola. 8..,*7,/ V/.,W 48 m

65 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Quando se conhece a trajetória curvilínea da partícula, convenientemente utiliza-se as coordenadasnet(normale tangente)à trajetóriaao se fazer a curva. A direção e o sentido dos eixos t e n são dados pelos vetoresunitáriosu t eu n. O eixo tangente (t) tem o sentido do movimento e o eixo normal (n) é sempre voltado para o centro de curvatura da trajetória.

66 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial VELOCIDADE. A velocidade (v) tem sempre a direção e o sentido do eixo positivo t. Omódulodavelocidade é obtido peladerivada em relação ao tempo da posiçãos.

67 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial ACELERAÇÃO. A aceleração tem dois componentes: tangencial(a t ): direçãoda velocidade Se a t é constante normal(a n ): direçãodo centro de curvatura. módulo Verificar textos básicos de cálculo

68 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial ACELERAÇÃO. A aceleração tem dois componentes: normal(a n )etangencial (a t ).

69 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Exemplo 13: Quando o esquiador alcança o ponto A de sua trajetória parabólica, ele tem uma velocidade de 6 m/s que está aumentando à taxa de 2 m/s². Determine a direção de sua velocidade e a aceleração (módulo, direção e sentido) no instante considerado.

70 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Exemplo 14 (12.29-Pag 46): Se o carro desacelera uniformemente ao longo da estrada curva de 25 m/s em A para 15 m/s em C, determine a aceleração do carro em B. *,*+,/² E se Z [ \88, 8,W++,/²

71 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Exemplo 15 ( Pag 50): um avião a jato está se deslocando com uma velocidade escalar de 120 m/s que está diminuindo a 40 m/s 2 quando ele chega ao ponto A. determine a intensidade da sua aceleração quando ele está nesse ponto. Especifique também a direção do voo,medidaapartirdo eixo x. /*,7,/² V*8,6

72 Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas Coordenadas Polares. Algumas vezes, a trajetória de uma partícula é melhor descrito por coordenadas cilíndricas. POSIÇÃO: Em qualquer instante, a posição da partícula pode ser descrita pelo vetor posição.

73 Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas Coordenadas Polares. Algumas vezes, a trajetória de uma partícula é melhor descrito por coordenadas cilíndricas. VELOCIDADE: Após as definições apresentadas, a velocidade pode ser descrita como: V? é conhecida como velocidade angular (rad/s).

74 Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas Coordenadas Polares. Algumas vezes, a trajetória de uma partícula é melhor descrito por coordenadas cilíndricas. Antes de continuar, é muito IMPORTANTE, deixar claro que: ] NÃO é a velocidade angular, ele pode ser interpretado como a taxa de variação do movimento ao longo da circunferência de um circulo de raio r. Em resumo, é a componente escalar radial da velocidade.

75 Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas Coordenadas Polares. Algumas vezes, a trajetória de uma partícula é melhor descrito por coordenadas cilíndricas. Como as velocidades ^ e _ são perpendiculares, podemos encontrar a intensidade da velocidade pelo módulo. A direção de v, continua sendo tangente a trajetória.

76 Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas Coordenadas Polares. Algumas vezes, a trajetória de uma partícula é melhor descrito por coordenadas cilíndricas. ACELERAÇÃO: É definida de forma similar à VELOCIDADE. Então, a aceleração pode ser descrita como: V` é conhecida como aceleração angular (rad/s 2 ).

77 Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas Coordenadas Polares. Algumas vezes, a trajetória de uma partícula é melhor descrito por coordenadas cilíndricas. Outra notação importante é que nem ], nem a são derivadas temporais de ] e a respectivamente.

78 Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas Coordenadas Polares. Algumas vezes, a trajetória de uma partícula é melhor descrito por coordenadas cilíndricas. Como as velocidades ^ e _ são perpendiculares, podemos encontrar a intensidade da velocidade pelo módulo.

79 Análise de movimento absoluto dependente de duas partículas Em alguns problemas, um ponto material tem seu movimento dependente do movimento de um outro ponto material. Isso ocorre geralmente quando estes estão interligados por cordas ou cabos. Qual o tamanhototal da corda? Referência Referência % b c % de f Com a primeira derivada temporal da posição, tem-se a Velocidade. c f 0 c f

80 Análise de movimento absoluto dependente de duas partículas Em alguns problemas, um ponto material tem seu movimento dependente do movimento de um outro ponto material. Isso ocorre geralmente quando estes estão interligados por cordas ou cabos. Referência Referência Com a primeira derivada temporal da Velocidade ou a segunda derivada temporal da posição, tem-se a Aceleração. c f

81 Análise de movimento absoluto dependente de duas partículas Outro tipo de modelo mas com resolução similar é: Obs.: Nesse caso, não precisa considerar a parte da corda que se encontra encostado nas roldanas. Referência Então assumimos que o comprimento total da corda será!i ) 1º Caso: Posição Velocidade e aceleração: % 2 f h c 2 f c 2 f c Referência

82 Análise de movimento absoluto dependente de duas partículas Outro tipo de modelo mas com resolução similar é: Obs.: Nesse caso, não precisa considerar a parte da corda que se encontra encostado nas roldanas. Então assumi que o comprimento total da corda será!i ) 2º Caso: Posição Velocidade e aceleração: % 2!h f h c 2 f c 2 f c Referência

83 Análise de movimento absoluto dependente de duas partículas ATENÇÃO: Quando houver mais de uma corda será necessário fazer tantos sistemas quanto houver de corda. % j d f % j c d f d f

84 Análise de movimento absoluto dependente de duas partículas Exemplo 16: Determine a velocidade do bloco A, supondo que o bloco B sobe com velocidade de 2 m/s. Perceba que existe 2 cordas, logo 2 sistemas de roldanas. k +,/ 2 m/s

85 Movimento relativo de duas partículas usando eixos de translação Até este momento, nosso ponto de referência é um local único e fixo. Em alguns casos, a complexidade do sistema se torna mais fácil de resolver utilizando dois ou mais pontos de referência. Segundo ponto de referência Observador em Translação Fixo Analisando: Posição, Velocidade e Aceleração. Posição: Considerando a partícula A e B. Qual a posiçãoabsolutade ambas? < c < f Observador Fixo Primeiro ponto de referência Qual a posiçãode B em relação a A? < f/c Posição relativa.

86 Movimento relativo de duas partículas usando eixos de translação Até este momento, nosso ponto de referência é um local único e fixo. Em alguns casos, a complexidade do sistema se torna mais fácil de resolver utilizando dois ou mais pontos de referência. Analisando: Posição, Velocidade e Aceleração. Posição: Pela adição de vetores, tem-se: < f < c < f/c Observador em Translação Fixo Velocidade: Fazendo a primeira derivada temporada da posição, tem-se: Observador Fixo f c f/c

87 Movimento relativo de duas partículas usando eixos de translação Até este momento, nosso ponto de referência é um local único e fixo. Em alguns casos, a complexidade do sistema se torna mais fácil de resolver utilizando dois ou mais pontos de referência. Analisando: Posição, Velocidade e Aceleração. Aceleração: Fazendo a primeira derivada temporada da velocidade ou a segunda derivada temporal da posição, tem-se: f c f/c

88 Movimento relativo de duas partículas usando eixos de translação Exemplo 15: Um trem, viajando a uma velocidade escalar constante de 90 km/h, cruza uma rodovia. Se o automóvel A trafega a 67,5 km/h, determine o vetor velocidade (módulo, direção e sentido) do trem em relação ao automóvel. Nesse caso pode-se fazer por duas análises: Análise Bidimensional Vetorial l/k 67,m/mn,/3 Escalar V\+,\+ c 65,5 km/h 90 km/h b 90 km/h 65,5 km/h

89 Análise de movimento absoluto dependente de duas partículas Exemplo16: A fenda do braço AO gira no sentido anti-horário em torno de O com uma velocidade constante de θ. O movimento do pino B é restrito de tal maneira que ele se move sobre a superfície circular fixa e ao longo da fenda em AO. Determine as intensidades da velocidade e aceleração do pino B como uma função de θ.. V? \ V?.

90 Análise de movimento absoluto dependente de duas partículas Exemplo 17: O sistema mostrado ao lado, parte do repouso. Cada componente se move com uma aceleração constante. Se a aceleração relativa do bloco C em relação ao colar B é 60 mm/s² para cima e para a aceleração relativa do bloco D em relação ao bloco A é de 110 mm / s² para baixo, determinar a velocidade (mm/s) do bloco C após 3 s e a variação da posição (mm) do bloco D após 5 s.

91 ENTREGAR. Um carro e um caminhão estão viajando numa velocidade constante de 56 km/h. 0 carro está 12 m atrás do caminhão. O motorista do carro quer ultrapassar o caminhão e acelera, ou seja, ao final, o carro deve estar exatamente no ponto B, 12 m à frente do caminhão. Momentos antes de chegar ao ponto B, o carro sofre uma desaceleração, reduzindo sua velocidade para 56 km/h. A aceleração máxima do carro é 1,5 m/s² e a máxima desaceleração obtida ao acionar os freios é de 6 m/s². Qual é o menor tempo no qual o motorista do carro pode completar a operação de ultrapassagem se ele não pode exceder a velocidade de 80 km/h.

92 FIM AULA 1 -CAP. 12