Introdução à Robótica Industrial p. 1/20

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1 Introdução à Robótica Industrial Adriano A. G. Siqueira Aula 6 Introdução à Robótica Industrial p. 1/20

2 Dinâmica de Manipuladores Relação entre as forças e torques aplicados nas juntas e o movimento do manipulador ao longo do tempo Dinâmica direta (simulação) Dados: posições e velocidades iniciais (t 0 ) forças e torques aplicados para t > t 0 Procurado: posições e velocidades para t > t 0 (movimento resultante) Dinâmica inversa (controle) Dados: posições, velocidades e acelerações desejadas para t > t 0 forças e momentos de contato Procurado: forças e torques necessários nas juntas Introdução à Robótica Industrial p. 2/20

3 Métodos Newton-Euler Cada elo é considerado separadamente Forças de ação e reação nas juntas são consideradas Cálculo dos termos inerciais feito através das acelerações Lagrange Sistema considerado por completo Forças de ação e reação nas juntas NÃO são consideradas Cálculo dos termos inerciais feito através da derivada da energia cinética Kane Sistema considerado por completo Forças de ação e reação nas juntas NÃO são consideradas Cálculo dos termos inerciais feito através das acelerações e de produtos escalares com velocidade parciais Introdução à Robótica Industrial p. 3/20

4 Método de Lagrange Equação de Lagrange do movimento (1) d dt L q L q = τ sendo L = K P o Lagrangeano do sistema. K Energia Cinética P Energia Potencial q Coordenadas generalizadas τ Forças generalizadas Introdução à Robótica Industrial p. 4/20

5 Energia Cinética Centro de massa (r c ) r c = 1 m B rdm sendo r o vetor de coordenadas de um ponto do corpo e m a massa total do corpo Sistema de coordenadas (SC) com origem no centro de massa Fórmula geral da Energia Cinética para um corpo rígido K = 1 2 Velocidade de um ponto do corpo B v T vdm v = v c + w r v = v c + S(w)r Introdução à Robótica Industrial p. 5/20

6 Energia Cinética Cálculo da Energia Cinética K = 1 (v c + S(w)r) T (v c + S(w)r)dm 2 B Quatro termos K 2 = 1 2 K 1 = 1 vc T v c dm = 1 2 B 2 mvt c v c vc T S(w)rdm = 1 2 vt c S(w) rdm = 0 B K 3 = 1 2 K 4 = 1 2 B B B r T S T (w)v c dm = 0 r T S T (w)s(w)rdm Introdução à Robótica Industrial p. 6/20

7 Energia Cinética Propriedades: TrAB = TrBA e a T b = Tr ab T K 4 = 1 r T S T (w)s(w)rdm 2 B = 1 TrS(w)rr T S T (w)dm 2 B = 1 2 TrS(w) rr T dms T (w) = 1 2 TrS(w)JST (w) B J = x 2 dm xydm xzdm xydm y 2 dm yzdm xzdm yzdm z 2 dm Introdução à Robótica Industrial p. 7/20

8 Energia Cinética Lembrando que S(w) = 0 w z w y w z 0 w x w y w x 0 Temos K 4 = 1 2 wt Iw sendo (y 2 + z 2 )dm xydm xzdm I = xydm xzdm (x 2 + z 2 )dm yzdm yzdm (x 2 + y 2 )dm Introdução à Robótica Industrial p. 8/20

9 Energia Cinética: Tensor de inércia I = I xx I xy I xz I xy I yy I yz I xz I yz I zz Informação sobre a distribuição de massa Momentos de inércia: I xx, I yy e I zz Produtos de inércia: I xy, I xz e I yz Depende da posição e orientação do SC A soma dos momentos de inércia permanece constante (independe do SC) Se I xy = I xz = I yz = 0 eixos do SC são os eixos principais de inércia e I xx, I yy, I zz são os momentos principais de inércia Os autovalores do tensor são os momentos principais de inércia e os autovetores são os eixos principais Introdução à Robótica Industrial p. 9/20

10 Energia Cinética Elo i: massa, m i, e tensor de inércia, I i, calculado no SC com origem no centro de massa e paralelo ao SC i Velocidade angular expressa no SC fixo ao corpo Velocidade do centro de massa Energia Cinética w i 0,i = (R i 0) T w i 0 = (R i 0) T J w i 0 (q) q v ci = J vci (q) q K = 1 2 qt n i=1 m i J vci (q) T J vci (q) + J w i 0 (q) T R0I i i (R0) i T J w i 0 (q) q K = 1 2 qt M(q) q Introdução à Robótica Industrial p. 10/20

11 Energia Potencial Energia Potencial devido à gravidade P = B g T rdm = mg T r c sendo g o vetor da aceleração da gravidade e r c o vetor de posição do centro de massa expressos no SC inercial Energia Potencial é função apenas da posição q P = P(q) Introdução à Robótica Industrial p. 11/20

12 Equações de Movimento Lagrangeano L = 1 2 qt M(q) q P(q) Cálculo das derivadas da Equação de Lagrange (1) d dt L q = 1 2 L q = K q = M(q) q L q = M(q) q + M(q) q q qt M(q) q P(q) q Introdução à Robótica Industrial p. 12/20

13 Equações de Movimento Equação Dinâmica do Manipulador M(q) q + Ṁ(q) q 1 2 q qt M(q) q + P(q) q = τ M(q) q + V (q, q) + G(q) = τ M(q) Matriz de Inércia V (q, q) Vetor das forças de Coriolis e centrípetas G(q) Vetor das forças gravitacionais q Coordenadas das juntas τ Torques e forças nas juntas Introdução à Robótica Industrial p. 13/20

14 Equações de Movimento: Propriedades M(q) é simétrica definida positiva Pode-se escrever V (q, q) = C(q, q) q sendo que a matriz é anti-simétrica Parametrização linear N(q, q) = M(q) 2C(q, q) M(q) q + V (q, q) + G(q) = Y (q, q, q)θ sendo θ o vetor de parâmetros do manipulador e Y (q, q, q) a matriz de regressão. Introdução à Robótica Industrial p. 14/20

15 Exemplo: Manipulador planar de 2 elos Introdução à Robótica Industrial p. 15/20

16 Exemplo: Manipulador planar de 2 elos Velocidade do centro de massa do elo 1 a c1 cos(q 1 ) r c1 = a c1 sen(q 1 ) v c1 = a c1 sen(q 1 ) q 1 a c1 cos(q 1 ) q 1 = a c1 sen(q 1 ) 0 a c1 cos(q 1 ) 0 q = J vc1 (q) q Velocidade do centro de massa do elo 2 a 1 cos(q 1 ) + a c2 cos(q 1 + q 2 ) r c2 = a 1 sen(q 1 ) + a c2 sen(q 1 + q 2 ) v c2 = a 1 sen(q 1 ) a c2 sen(q 1 + q 2 ) a c2 sen(q 1 + q 2 ) a c1 cos(q 1 ) + a c2 cos(q 1 + q 2 ) a c2 cos(q 1 + q 2 ) q = J vc2 (q) q Introdução à Robótica Industrial p. 16/20

17 Exemplo: Manipulador planar de 2 elos Energia cinética de translação K T = 1 2 m 1v T c1v c m 2v T c2v c2 = 1 2 qt m 1 J vc1 (q) T J vc1 (q) + m 2 J vc2 (q) T J vc2 (q) q Velocidades angulares w 1 = q 1 k w 2 = ( q 1 + q 2 )k Energia cinética de rotação K R = 1 2 wt 1 I 1 w wt 2 I 2 w 2 = 1 2 qt I 1 + I 2 I 1 I 2 I 2 q Introdução à Robótica Industrial p. 17/20

18 Exemplo: Manipulador planar de 2 elos Matriz de inércia M(q) = m 1 J vc1 (q) T J vc1 (q) + m 2 J vc2 (q) T J vc2 (q) + Elementos de M(q) I 1 + I 2 I 1 I 2 I 2 M 11 (q) = m 1 a 2 c1 + m 2 (a a 2 c2 + 2a 1 a c2 cos(q 2 )) + I 1 + I 2 M 12 (q) = M 21 (q) = m 2 (a 2 c2 + a 1 a c2 cos(q 2 )) + I 2 M 22 (q) = m 2 a 2 c2 + I 2 Introdução à Robótica Industrial p. 18/20

19 Exemplo: Manipulador planar de 2 elos Vetor dos torques de Coriolis e centrípetos V (q, q) = V 1 (q, q) V 2 (q, q) = 2m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 1 q 2 + m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 2 2 m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 2 1 Sendo h = m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) V (q, q) = C(q, q) q = h q 2 h q 1 + h q 2 h q 1 0 q Energia Potencial P 1 (q) = m 1 ga c1 sen(q 1 ) P 2 (q) = m 2 g(a 1 sen(q 1 ) + a c2 sen(q 1 + q 2 )) Introdução à Robótica Industrial p. 19/20

20 Exemplo: Manipulador planar de 2 elos Energia Potencial P(q) = P 1 (q) + P 2 (q) = (m 1 ga c1 + m 2 ga 1 )sen(q 1 ) + m 2 ga c2 sen(q 1 + q 2 )) Vetor dos torques não inerciais G(q) = G 1 (q) G 2 (q) = P(q) q 1 P(q) q 2 G(q) = (m 1 ga c1 + m 2 ga 1 )cos(q 1 ) + m 2 ga c2 cos(q 1 + q 2 )) m 2 ga c2 cos(q 1 + q 2 )) Introdução à Robótica Industrial p. 20/20