SEM Controle de Sistemas Robóticos

Transcrição

1 SEM Controle de Sistemas Robóticos Adriano A. G. Siqueira Aula 1 - Revisão de Cinemática, Dinâmica e Propriedades das Matrizes Dinâmicas SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 1/61

2 Matrizes de Rotação Básicas z 0 z 1 k 0 k 1 i 0 i 1 j 0 j 1 q q y 1 x 0 x 1 y 0 SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 2/61

3 Matrizes de Rotação Básicas Então R 1 0 = R z,θ = cosθ sin θ 0 sin θ cos θ Rotações básicas em torno dos eixos x e y são dadas por R x,θ = 0 cos θ sin θ 0 sin θ cosθ R y,θ = cosθ 0 sin θ sin θ 0 cosθ SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 3/61

4 Ângulos de Euler (φ, θ, ψ) - três variáveis idependentes. Rotação em torno de z 0 pelo ângulo φ Rotação em torno de y 0 pelo ângulo θ Rotação em torno de z 0 pelo ângulo ψ SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 4/61

5 Ângulos de Euler Matriz de rotação R z0,φr y 0,θR z 0,ψ = c φ s φ 0 s φ c φ c θ 0 s θ s θ 0 c θ c ψ s ψ 0 s ψ c ψ = c φ c θ c ψ s φ s ψ c φ c θ s ψ s φ c ψ c φ s θ s φ c θ c ψ + c φ s ψ s φ c θ s ψ + c φ c ψ s φ s θ s θ c ψ s θ s ψ c θ SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 5/61

6 Ângulos de Roll, Pitch e Yaw Rotações em torno dos eixos coordenados x 0,y 0,z 0 Rotação em torno de x 0 pelo ângulo ψ, movimento de yaw Rotação em torno de y 0 pelo ângulo θ, movimento de pitch Rotação em torno de z 0 pelo ângulo φ, movimento de roll z 0 Rolar Guinar Inclinar x 0 y 0 SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 6/61

7 Ângulos de Roll, Pitch e Yaw Matriz de rotação R z0,φr y0,θr x0,ψ = c φ s φ 0 s φ c φ c θ 0 s θ s θ 0 c θ c ψ s ψ 0 s ψ c ψ = c φ c θ s φ c ψ + c φ s θ s ψ s φ s ψ + c φ s θ c ψ s φ c θ c φ c ψ + s φ s θ s ψ c φ s ψ + s φ s θ c ψ s θ c θ s ψ c θ c ψ SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 7/61

8 Transformações Homogêneas Transformação homogênea H 1 0 = R 1 0 d A transformação homogênea mais geral H = R 3 3 d 3 1 f 1 3 s 1 1 = Rotacao T ranslacao perspectiva f ator de escala utilizada para a interface de um sistema de visão ou para simulação gráfica. SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 8/61

9 Transformações Homogêneas Exemplo: Rotação de α graus em torno de x 0 Translação de a unidades ao longo do eixo x 0 Translação de d unidades ao longo do eixo z 0 Rotação de θ graus em torno de z 0 = H = Rot z0,θtrans z0,dtrans x0,arot x0,α c θ s θ a s θ c θ d = c θ s θ 0 a c α s θ c α c θ s α s α d s α s θ s α c θ c α c α d c α s α 0 0 s α c α SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 9/61

10 Dado: variáveis das juntas (ângulos ou deslocamentos) Procurado: posição e orientação do efetuador Cinemática Direta Transformação homogênea entre os sistemas de coordenadas da base (0) e do efetuador (n) T n 0 = R n 0 d n = n 0 s 0 a 0 d n = n x s x a x d x n y s y a y d y n z s z a z d z SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 10/61

11 Representação Denavit-Hartenberg Defina o eixo z i ao longo do eixo da junta i + 1. O eixo z n é definido na direção do eixo z n 1 se a junta n é rotacional. Defina O 0 no eixo z 0 e x 0 convenientemente. Para i = 1,,n 1: Posicionar a origem O i onde a normal comum a z i e z i 1 intersecta z i. Se z i intersecta z i 1 posicionar O i nesta intersecção. Se z i e z i 1 são paralelos, posicionar O i na junta i + 1. Defina x i ao longo da normal comum a z i e z i 1 com direção da junta i para i + 1, ou na direção normal ao plano z i 1 z i se z i 1 e z i se intersectam. Defina O n convenientemente ao longo do eixo z n (no centro da garra) e x n normal ao eixo z n 1. SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 11/61

12 Representação Denavit-Hartenberg Criar uma tabela dos parâmetros dos elos, a i, d i, α i e θ i. a i = distância ao longo de x i da intersecção dos eixos x i e z i 1 até O i. d i = distância ao longo z i 1 de O i 1 até a intersecção dos eixos x i e z i 1. d i é variável se a junta i é prismática. α i = o ângulo entre z i 1 e z i medido em torno de x i. θ i = o ângulo entre x i 1 e x i medido em torno de z i 1. θ i é variável se a junta i é rotativa. Calcular as matrizes de transformação homogêneas H i i 1 substituindo os parâmetros acima em (1). Calcular T n 0 = H 1 0 H n n 1. SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 12/61

13 Representação Denavit-Hartenberg Transformação homogênea entre os sistemas de coordenadas i e i 1 c θi s θi c αi s θi s αi a i c θi Hi 1 i s θi c θi c αi c θi s αi a i s θi = 0 s αi c αi d i sendo θ i, a i, d i, α i parâmetros do elo i e junta i. (1) SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 13/61

14 Exemplo: Stanford SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 14/61

15 Exemplo Considere um manipulador planar de dois elos. SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 15/61

16 Exemplo Parâmetros de D-H: Elo a i α i d i θ i 1 a θ 1 2 a θ 2 Matrizes homogêneas H 1 0 = c 1 s 1 0 a 1 c 1 s 1 c 1 0 a 1 s H 2 1 = c 2 s 2 0 a 2 c 2 s 2 c 2 0 a 2 s SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 16/61

17 Exemplo Matriz de tranformação homogênea T 2 0 : T 2 0 = H 1 0H 2 1 = c 12 s 12 0 a 1 c 1 + a 2 c 12 s 12 c 12 0 a 1 s 1 + a 2 s As seguinte relações trigonométricas são utilizadas: c 12 = c 1 c 2 s 1 s 2 e s 12 = s 1 c 2 + s 2 c 1. Posição da origem O 2 : Orientação: φ = θ 1 + θ 2. d x = a 1 c 1 + a 2 c 12 d y = a 1 s 1 + a 2 s 12 SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 17/61

18 Espaços das juntas e das posições Espaço das juntas: q = q 1 q 2. { q i = θ i, para junta rotacional q i = d i, para junta prismática q n Espaço das posições e orientações: x = d n 0 Φ = d x d y d z φ θ ψ Cinemática direta: x = f(q) SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 18/61

19 Cinemática Inversa Dado: posição e orientação do efetuador Procurado: variáveis das juntas (ângulos ou deslocamentos) Funções não lineares Múltiplas soluções Pode ser que não existam soluções admissíveis. Soluções analíticas + pouco tempo de cálculo aplicáveis para um único tipo de robô não existe procedimento padrão Soluções numéricas iterativas + aplicáveis para robôs diferentes não apropriadas para aplicações em tempo real problemas de convergência nas proximidades de singularidades SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 19/61

20 Exemplo Considere o manipulador de dois elos d x = a 1 c 1 + a 2 c 12 d y = a 1 s 1 + a 2 s 12 Elevando ao quadrado as duas equações e somando Então d 2 x + d 2 y = a a a 1 a 2 c 2 c 2 = d2 x + d 2 y a 2 1 a 2 2 2a 1 a 2 Existência de solução: 1 c 2 1 fora do espaço de trabalho SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 20/61

21 Exemplo s 2 = ± 1 c 2 2 O sinal está relacionado com as duas possibilidades de valor para θ 2 θ 2 = atan2(s 2,c 2 ) γ = atan2(n,d) = indefinido para n = d = 0 90 para n > 0 e d = 0 90 para n < 0 e d = 0 0 γ < 90 para n 0 e d > 0 90 γ < 180 para n 0 e d < γ < 90 para n 0 e d < 0 90 γ < 0 para n 0 e d > 0 SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 21/61

22 Exemplo Substituindo θ 2 nas equações s 1 c 1 = (a 1 + a 2 c 2 )d y a 2 s 2 d x d 2 x + d 2 y = (a 1 + a 2 c 2 )d x + a 2 s 2 d y d 2 x + d 2 y Portanto θ 1 = atan2(s 1,c 1 ) Se a orientação, φ = θ 1 + θ 2, é dada única solução SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 22/61

23 Ângulos de Euler (φ, θ, ψ) - três variáveis idependentes. Rotação em torno de z 0 pelo ângulo φ Rotação em torno de y 0 pelo ângulo θ Rotação em torno de z 0 pelo ângulo ψ Matriz de rotação R z0,φr y 0,θR z 0,ψ = c φ c θ c ψ s φ s ψ c φ c θ s ψ s φ c ψ c φ s θ s φ c θ c ψ c φ s ψ s φ c θ s ψ c φ c ψ s φ s θ s θ c ψ s θ s ψ c θ R = r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 23/61

24 Ângulos de Euler Se r 13 0 e r φ = atan2(r 23,r 13 ) θ = atan2( r r23,r 2 33 ) ψ = atan2(r 32, r 31 ) O ângulo θ é limitado a (0,π). Se sθ = 0, ou seja, θ = 0 ou π, é possível determinar somente a soma ou diferença entre os ângulos φ e ψ. SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 24/61

25 Espaços das juntas e das posições Espaço das juntas: q = q 1 q 2. q n { q i = θ i, para junta rotacional q i = d i, para junta prismática Espaço das posições e orientações: x = d n 0 Φ Velocidade angular do SC do efetuador: w n 0 = = w x w y d x d y d z φ θ ψ w z SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 25/61

26 Cinemática da velocidade Relação entre as velocidades das juntas e velocidades (linear e angular) do efetuador Matriz Jacobiana geométrica ḋ n 0 = J d (q) q w n 0 = J w (q) q Sendo J d (q) e J w (q) matrizes 3 n. Ainda ḋn v = 0 J d (q) = q = J(q) q J w (q) w n 0 Sendo J(q) uma matriz 6 n. SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 26/61

27 Cinemática da velocidade Matriz Jacobiana analítica ḋ n 0 = J d (q) q = dn 0 q q Φ = J Φ (q) q = Φ q q Assim ẋ = ḋn 0 Φ = J d (q) J Φ (q) q = J A (q) q SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 27/61

28 Exemplo: Jacobiana analítica Manipulador planar com dois elos ẋ = x = d x d ẏ φ d x d y φ = = a 1 c 1 + a 2 c 12 a 1 s 1 + a 2 s 12 θ 1 + θ 2 a 1 s 1 θ1 a 2 s 12 ( θ 1 + θ 2 ) a 1 c 1 θ1 + a 2 c 12 ( θ 1 + θ 2 ) θ 1 + θ 2 Matriz Jacobiana analítica J A (q) = J d (q) J Φ (q) = a 1 s 1 a 2 s 12 a 2 s 12 a 1 c 1 + a 2 c 12 a 2 c SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 28/61

29 Cálculo da Jacobiana geométrica Resumo Junta prismática j d i j w i = z i 1 0 Junta rotacional j d i j w i = z i 1 (d n 0 di 1 0 ) z i 1 Cálculo de z i 1 : z i 1 = R 1 0(q 1 ) R i 1 i 2 (q i 1) SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 29/61

30 Cálculo da Jacobiana geométrica Cálculo de d n 0: d n 0 1 = H 1 0 (q 1) H n n 1 (q n) Cálculo de d i 1 0 : d i = H 1 0 (q 1) H i 1 i 2 (q i 1) SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 30/61

31 Exemplo: Jacobiana geométrica Manipulador planar com dois elos z 0 (d 2 0 d 0 J(q) = 0) z 1 (d 2 0 d 1 0) z 0 z a 1 c 1 z 0 = z 1 = 0 d 0 0 = 0 d 1 0 = a 1 s 1 d 2 0 = a 1 c 1 + a 2 c 12 a 1 s 1 + a 2 s 12 0 Matriz Jacobiana geométrica J(q) = J d (q) J w (q) = a 1 s 1 a 2 s 12 a 2 s 12 a 1 c 1 + a 2 c 12 a 2 c SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 31/61

32 J geométrica e J analítica Ângulos de Euler ZYZ T T w x w y w z = φ T T w x w y w z = s φ c φ 0 θ T T w x w y w z = c φ s θ s φ s θ c θ ψ Portanto w x w y w z = 0 s φ c φ s θ 0 c φ s φ s θ 1 0 c θ φ θ ψ SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 32/61

33 J geométrica e J analítica Relação entre w n 0 e Φ w n 0 = T(Φ) Φ v = I 0 0 T(Φ) ẋ = T A (Φ)ẋ Relação entre Jacobiana geométrica e Jacobiana analítica J = T A (Φ)J A SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 33/61

34 Cinemática inversa da posição via J Cinemática inversa da velocidade Cálculo das variáveis das juntas q = J(q) 1 v q = t T=0 q(t)dt + q 0 Usando a integração de Euler q(t k+1 ) = q(t k ) + q(t k ) t q(t k+1 ) = q(t k ) + J(q(t k )) 1 v(t k ) t A matriz Jacobiana precisa ser invertível e q 0 precisa ser conhecida. SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 34/61

35 Singularidades Configurações nas quais a mobilidade fica reduzida Infinitas soluções podem existir para o problema da cinemática inversa Pequenas velocidades no espaço operacional podem causar grandes velocidades no espaço das juntas Correspondem, na maioria dos casos, a pontos nos limites do espaço de trabalho Determinação de singularidade: det(j(q)) = 0 SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 35/61

36 Exemplo: Singularidades Manipulador planar com dois elos a 1 s 1 a 2 s 12 a 2 s 12 J(q) = a 1 c 1 + a 2 c 12 a 2 c 12 Cálculo do determinante det(j(q)) = a 1 a 2 s 2 Singularidade: s 2 = 0 { θ 2 = 0 θ 2 = π SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 36/61

37 Exemplo: Singularidades Punho esférico SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 37/61

38 Dinâmica de Manipuladores Relação entre as forças e torques aplicados nas juntas e o movimento do manipulador ao longo do tempo Dinâmica direta (simulação) Dados: posições e velocidades iniciais (t 0 ) forças e torques aplicados para t > t 0 Procurado: posições e velocidades para t > t 0 (movimento resultante) Dinâmica inversa (controle) Dados: posições, velocidades e acelerações desejadas para t > t 0 forças e momentos de contato Procurado: forças e torques necessários nas juntas SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 38/61

39 Métodos Newton-Euler Cada elo é considerado separadamente Forças de ação e reação nas juntas são consideradas Cálculo dos termos inerciais feito através das acelerações Lagrange Sistema considerado por completo Forças de ação e reação nas juntas NÃO são consideradas Cálculo dos termos inerciais feito através da derivada da energia cinética Kane Sistema considerado por completo Forças de ação e reação nas juntas NÃO são consideradas Cálculo dos termos inerciais feito através das acelerações e de produtos escalares com velocidade parciais SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 39/61

40 Método de Lagrange Equação de Lagrange do movimento d dt sendo L = K P o Lagrangeano do sistema. K Energia Cinética P Energia Potencial q Coordenadas generalizadas τ Forças generalizadas L q L q = τ (2) SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 40/61

41 Energia Cinética Centro de massa (r c ) r c = 1 m B rdm sendo r o vetor de coordenadas de um ponto do corpo e m a massa total do corpo Sistema de coordenadas (SC) com origem no centro de massa Fórmula geral da Energia Cinética para um corpo rígido K = 1 v T vdm 2 B SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 41/61

42 Energia Cinética Depois de algumas simplificações Dois termos K T = 1 2 B v T c v c dm = 1 2 mvt c v c K R = 1 2 wt Iw sendo (y 2 + z 2 )dm xydm xzdm I = xydm xzdm (x 2 + z 2 )dm yzdm yzdm (x 2 + y 2 )dm SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 42/61

43 I = Energia Cinética: Tensor de inércia I xx I xy I xz I xy I yy I yz I xz I yz I zz Momentos de inércia: I xx, I yy e I zz Produtos de inércia: I xy, I xz e I yz Depende da posição e orientação do SC A soma dos momentos de inércia permanece constante (independe do SC) Se I xy = I xz = I yz = 0 eixos do SC são os eixos principais de inércia e I xx, I yy, I zz são os momentos principais de inércia Os autovalores do tensor são os momentos principais de inércia e os autovetores são os eixos principais SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 43/61

44 Energia Cinética Elo i: massa, m i, e tensor de inércia, I i, calculado no SC com origem no centro de massa e paralelo ao SC i Velocidade angular expressa no SC fixo ao corpo Velocidade do centro de massa Energia Cinética w i 0,i = (Ri 0 )T w i 0 = (Ri 0 )T J w i 0 (q) q v ci = J vci (q) q K = 1 2 qt n i=1 m i J vci (q) T J vci (q) + J w i 0 (q) T R0I i i (R0) i T J w i 0 (q) q K = 1 2 qt M(q) q SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 44/61

45 Energia Potencial Energia Potencial devido à gravidade P = B g T rdm = mg T r c sendo g o vetor da aceleração da gravidade e r c o vetor de posição do centro de massa expressos no SC inercial Energia Potencial é função apenas da posição q P = P(q) SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 45/61

46 Equações de Movimento Lagrangeano L = 1 2 qt M(q) q P(q) Cálculo das derivadas da Equação de Lagrange (2) d dt L q = K q = M(q) q L q L q = 1 2 = M(q) q + Ṁ(q) q q qt M(q) q P(q) q SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 46/61

47 Equações de Movimento Equação Dinâmica do Manipulador M(q) q + Ṁ(q) q 1 2 q qt M(q) q + P(q) q = τ M(q) q + V (q, q) + G(q) = τ M(q) Matriz de Inércia V (q, q) Vetor das forças de Coriolis e centrípetas G(q) Vetor das forças gravitacionais q Coordenadas das juntas τ Torques e forças nas juntas SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 47/61

48 Exemplo: Manipulador planar de 2 elos SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 48/61

49 Exemplo: Manipulador planar de 2 elos Velocidade do centro de massa do elo 1 a c1 cos(q 1 ) r c1 = a c1 sen(q 1 ) v c1 = a c1 sen(q 1 ) q 1 a c1 cos(q 1 ) q 1 = a c1 sen(q 1 ) 0 a c1 cos(q 1 ) 0 q = J vc1 (q) q v c2 = Velocidade do centro de massa do elo 2 a 1 cos(q 1 ) + a c2 cos(q 1 + q 2 ) r c2 = a 1 sen(q 1 ) + a c2 sen(q 1 + q 2 ) a 1 sen(q 1 ) a c2 sen(q 1 + q 2 ) a c2 sen(q 1 + q 2 ) a c1 cos(q 1 ) + a c2 cos(q 1 + q 2 ) a c2 cos(q 1 + q 2 ) q = J vc2 (q) q SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 49/61

50 Exemplo: Manipulador planar de 2 elos Energia cinética de translação K T = 1 2 m 1v T c1v c m 2v T c2v c2 = 1 2 qt m 1 J vc1 (q) T J vc1 (q) + m 2 J vc2 (q) T J vc2 (q) q Velocidades angulares w 1 = q 1 k w 2 = ( q 1 + q 2 )k Energia cinética de rotação K R = 1 2 wt 1 I 1 w wt 2 I 2 w 2 = 1 2 qt I 1 + I 2 I 1 I 2 I 2 q SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 50/61

51 Exemplo: Manipulador planar de 2 elos Matriz de inércia M(q) = m 1 J vc1 (q) T J vc1 (q)+m 2 J vc2 (q) T J vc2 (q)+ Elementos de M(q) I 1 + I 2 I 1 I 2 I 2 M 11 (q) = m 1 a 2 c1 + m 2 (a a 2 c2 + 2a 1 a c2 cos(q 2 )) + I 1 + I 2 M 12 (q) = M 21 (q) = m 2 (a 2 c2 + a 1 a c2 cos(q 2 )) + I 2 M 22 (q) = m 2 a 2 c2 + I 2 SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 51/61

52 Exemplo: Manipulador planar de 2 elos Vetor dos torques de Coriolis e centrípetos V 1 (q, q) 2m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 1 q 2 + m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 2 2 V (q, q) = = V 2 (q, q) m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 1 2 Sendo h = m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) Energia Potencial V (q, q) = C(q, q) q = h q 2 h q 1 + h q 2 h q 1 0 q P 1 (q) = m 1 ga c1 sen(q 1 ) P 2 (q) = m 2 g(a 1 sen(q 1 ) + a c2 sen(q 1 + q 2 )) SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 52/61

53 Exemplo: Manipulador planar de 2 elos Energia Potencial P(q) = P 1 (q) + P 2 (q) = (m 1 ga c1 + m 2 ga 1 )sen(q 1 ) + m 2 ga c2 sen(q 1 + q 2 )) Vetor dos torques não inerciais G(q) = G(q) = G 1 (q) G 2 (q) = P(q) q 1 P(q) q 2 (m 1 ga c1 + m 2 ga 1 )cos(q 1 ) + m 2 ga c2 cos(q 1 + q 2 )) m 2 ga c2 cos(q 1 + q 2 )) SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 53/61

54 Propriedades das Matrizes Dinâmicas Introdução do atrito M(q) q + V (q, q) + F( q) + G(q) = τ na forma F( q) = F v q + F d Compactação dos termos não inerciais M(q) q + b(q, q) = τ SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 54/61

55 Propriedades das Matrizes Dinâmicas M(q) é simétrica definida positiva M(q) é limitada inferiormente e superiormente µ 1 I M(q) µ 2 I Exemplo: planar dois elos m 1 M(q) m 2 M(q) 1 = m 1 a 2 c1 + m 2 (a a 2 c2 + 2a 1 a c2 cos(q 2 )) + I 1 + I 2 + m 2 (a 2 c2 + a 1 a c2 cos(q 2 )) + I 2 SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 55/61

56 Propriedades das Matrizes Dinâmicas G(q) é limitado superiormente Exemplo: planar dois elos G(q) g b G(q) 1 = (m 1 ga c1 + m 2 ga 1 )cos(q 1 ) + m 2 ga c2 cos(q 1 + q 2 )) + m 2 ga c2 cos(q 1 + q 2 )) m 1 ga c1 + m 2 ga 1 + 2m 2 ga c2 = g b SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 56/61

57 Propriedades das Matrizes Dinâmicas V (q, q) é limitado superiormente por um termo quadrático Exemplo: planar dois elos V (q, q) v b (q) q 2 V (q, q) 1 = 2m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 1 q 2 + m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 2 1 m 2 a 1 a c2 ( q 1 + q 2 ) 2 = v b (q) q 2 SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 57/61

58 Propriedades das Matrizes Dinâmicas Pode-se escrever V (q, q) = C(q, q) q sendo que a matriz N(q, q) = Ṁ(q) 2C(q, q) é anti-simétrica Exemplo: planar dois elos 2m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 2 m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 2 Ṁ(q) = m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 2 0 m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 2 m 2 a 1 a c2 sen(q 2 )( q 1 q 2 ) C(q, q) = m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q m 2 a 1 a c2 sen(q 2 )(2 q 1 + q 2 ) N(q, q) = m 2 a 1 a c2 sen(q 2 )(2 q 1 + q 2 ) 0 SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 58/61

59 Propriedades das Matrizes Dinâmicas Parametrização linear M(q) q + V (q, q) + G(q) = Y (q, q, q)θ sendo θ o vetor de parâmetros do manipulador e Y (q, q, q) a matriz de regressão. Exemplo: planar dois elos: y 11 y Y (q, q, q) = e θ = m 1 m 2 I 1 I 2 0 y y 11 = a 2 c1 q 1 + ga c1 cos(q 1 ) y 12 = (a a 2 c2 + 2a 1 a c2 cos(q 2 )) q 1 + (a 2 c2 + a 1 a c2 cos(q 2 )) q 2 a 1 a c2 sen(q 2 )(2 q 1 q 2 + q 2 2) + ga 1 cos(q 1 ) + ga c2 cos(q 1 + q 2 )) y 22 = (a 2 c2 + a 1a c2 cos(q 2 )) q 1 + a 2 c2 q 2 + a 1 a c2 sen(q 2 ) q ga c2cos(q 1 + q 2 )) SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 59/61

60 Manipulador planar de 3 elos O Robo UArmII é um manipulador planar composto por três juntas rotacionais e um efetuador. O vetor da gravidade é paralelo ao eixo de movimento das juntas. Uma representação esquemática do manipulador UArm II é dada abaixo. Os comprimentos dos elos são a 1 = a 2 = a 3 = 0.20m. SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 60/61

61 Manipulador planar de 3 elos Determine a tabela de parâmetros de Denavit-Hartenberg e as matrizes de transformação. Faça uma representação da posição dos sistemas de coordenadas. Determine a matriz Jacobiana. Determine a equação dinâmica, considerando as massas dos links (m 1, m 2 e m 3 ), os centros de massa (ac 1, ac 2 e ac 3 ) e os momentos de inércia (I 1, I 2 e I 3 ). SEM Controle de Sistemas Robóticos p. 61/61