Problemas de Duas Partículas

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1 Problemas de Duas Partículas Química Quântica Prof a. Dr a. Carla Dalmolin Massa reduzida Rotor Rígido

2 Problemas de Duas Partículas Partícula 1: coordenadas x 1, y 1, z 1 Partícula 2: coordenadas x 2, y 2, z 2 Coordenadas relativas: coordenadas da Partícula 2 num sistema em que a origem são as coordenadas da Partícula 1 x x 2 x 1 x 2, y 2, z 2 = (x, y, z) y y 2 y 1 z z 2 z 1 (0,0,0) Energia potencial Depende apenas das coordenadas relativas do sistema Para partículas que apresentam carga elétrica, V é a energia de interação das partículas e é dada pela Lei de Coulomb Depende da carga e da distância r entre as partículas: r = x 2 + y 2 + z 2 1 2

3 Centro de Massa e Massa Reduzida Em um tratamento de sistemas de massas pontuais o centro de massa é o ponto onde se supõe concentrada toda a massa do sistema. O conceito utilizado para análises físicas nas quais não é importante considerar a distribuição de massa. O conceito de massa reduzida (μ) surge a partir de resultados matemáticos associados à análise da dinâmica de dois corpos com massas m 1 e m 2 que, devido à interação entre eles, gravitam mutuamente o centro de massa do sistema que constituem. μ = m 1m 2 m 1 +m 2 Um sistema de duas partículas pode ser reduzido a um sistema de uma partícula de igual centro de massa e massa reduzida

4 Tratamento Clássico A energia do sistema de duas partículas é dado pela soma da energia cinética de translação do sistema, da energia cinética do movimento de uma partícula em relação a outra e da energia potencial de interação entre as partículas A energia cinética de translação depende do movimento do centro de massa, que tem a massa total do sistema: M = m 1 + m 2 e coordenadas X, Y, Z As energias relativas entre as duas partículas dependem do movimento da partícula fictícia de massa reduzida μ H = 1 2μ p x 2 + p y 2 + p z 2 + V(x, y, z) + 1 2M p X 2 + p Y 2 + p Z 2 Movimento relativo das partículas Translação do centro de massa

5 Separação de Variáveis H = 1 2μ p x 2 + p y 2 + p z 2 + V(x, y, z) + 1 2M p X 2 + p Y 2 + p Z 2 Partícula fictícia de massa μ e energia potencial V(x, y, z) Partícula fictícia de massa M e V = 0 Não existe termo para qualquer interação entre as duas partículas fictícias O hamiltoniano pode ser separado: H μ e H M A energia total do sistema é a soma das energias descritas por cada hamiltoniano: E = E μ + E M O mesmo tratamento pode ser feito para a mecânica quântica: H μ ψ μ (x, y, z) = E μ ψ μ (x, y, z) H M ψ M (X, Y, Z) = E M ψ M (X, Y, Z)

6 Rotor Rígido de Duas Partículas Duas partículas de massa m 1 e m 2 confinadas a permanecerem a uma distância r fixa uma da outra Rotação de moléculas diatômicas A energia do sistema é totalmente cinética e V = 0 A energia cinética do sistema é a soma da energia translacional e do movimento interno (rotacional) das partículas: K = E = E μ + E M O movimento interno é a rotação de duas partículas com distância fixa entre elas e pode ser reduzido ao problema de uma partícula de massa μ girando em uma esfera de raio r

7 Coordenadas Esféricas Sistemas com simetria esférica são mais convenientes de serem trabalhados usando coordenadas esféricas Raio (r): distância até o centro (origem) da esfera; pode variar de 0 a Colatitude (θ): ângulo definido com o eixo z; pode variar de 0 a π Ângulo azimutal (φ): ângulo definido no plano xy; pode variar de 0 a 2π Relação entre os sistemas de coordenadas: x = r sin Θ cos φ y = r sin Θ sin φ z = r cos θ Elemento de volume (dτ) dτ = r 2 sin θ drdθdφ

8 Coordenadas Esféricas Laplaciano ( 2 ) transformado para coordenadas esféricas: 2 = 2 r r Onde o operador legendriano (Λ 2 ) é definido como: Para o modelo esférico: r é constante ψ varia apenas com θ e φ e as derivadas em relação a r são zeradas Equação de Schrödinger: r + 1 r 2 Λ2 Λ 2 = 1 2 sin 2 θ φ sin θ θ 2 = 1 r 2 Λ2 Hψ = Eψ onde V = 0 ħ2 1 2μ r 2 Λ2 ψ = E μ ψ sin θ θ

9 Resolução Equação de Schrödinger para o rotor rígido: ħ2 2μ 1 r 2 Λ2 ψ = E μ ψ Como I = μr 2 Λ 2 ψ = εψ, onde ε = 2IE ħ 2 Separação de variáveis: ψ θ, φ = Θ(θ)Φ(φ) Φ d2 Φ sin θ + dφ2 Θ d dθ sin θ dθ dθ + ε sin2 θ = 0 Rotor no plano xy (partícula no anel) Funções associadas de Legendre Depende de m l Dependem de l l = 0,1,2 m l = l, l 1,, 0,, l + 1, l

10 Funções de Onda As funções associadas de Legendre são tabeladas para cada função de onda resultante da Equação de Schrödinger Dois números quânticos Número quântico do momento angular orbital (l): l = 0, 1, 2, 3 Número quântico magnético ou azimutal (m l ): m l = l, l 1,, 0,, l Harmônicos Esféricos: Y l,ml (θ, φ) Energia (E μ ou E rot ) E = l l + 1 ħ2 ; l = 0,1,2, 2I Os números quânticos l e m l determinam a função de onda rotacional, mas E rot depende apenas de l Cada nível rotacional é (2l + 1) vezes degenerado Não existe energia rotacional no ponto zero

11 Probabilidades (ψ 2 ) e Energia 2 ψ l,ml E rot não depende do m l Funções com mesmo l e m l diferentes são degeneradas E rot ħ 2 2I

12 Momento Angular De maneira análoga ao modelo da partícula no anel, o momento angular também é quantizado: J = 2IE 1 2 = l l As funções Y l,ml (harmônicos esféricos) são autofunções do operador de momento angular ao longo do eixo z, com a parte Θ(θ) constante: J z = ħ i φ J z = m l ħ Para um dado valor de l, o vetor momento angular assume algumas orientações definidas ao longo do eixo z: quantização espacial

13 Quantização Espacial O operador J z não comuta com os operadores J x e J y Princípio da incerteza: conhecendo J z com exatidão, é impossível determinar J x e J y. Cada folha cônica representa um estado com m l definido, tendo a folha cônica projeção no eixo z de módulo m l ħ. Projeções em x e y são indefinidas