+ E p. ψ(x) = E. ψ(x)

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1 Erwin Schrödinger: E c E p = E E c. ψ(x) E p. ψ(x) = E. ψ(x) h 8π m d ψ(x) dx E p. ψ(x) = E. ψ(x) Equação de onda a uma dimensão (x), independente do tempo: que traduz o comportamento de uma partícula descrita por uma onda (eq. de Schrödinger). Resolvendoa conhecese a função de onda ψ(x) e a energia da partícula, ambas quantificadas. Significado físico (Born): ψ (x) densidade de probabilidade de encontrar a partícula no ponto x

2 Aplicação a uma partícula numa caixa a uma dimensão: n=3 n= n=1 Ou: 1) Para x ]0,L[ Condições fronteira: h d ψ ( x) ψ 3 8 π m dx ψ ψ 1 λ=l/3 λ=ll λ=l E p (x)=0 = E ψ ( x) ) Para x=0 e x=l E p = 0 x L ψ(x) = A sen Kx x=l: para que ψ(x) =0, como A 0 será: sen(kl)=0 Ou seja: K=nπ/L c/ n= 1,,3,... número quântico Funções de onda: Energias: E n = n h /8mL ψ n (x) = A sen (nπx/l) ψ(x) = 0 ψ(x) 0 λ=l/n n=1,,3... = A sen(πx/λ) = A sen(nπx/l) KL=nπ Quantificadas por 1 nº quântico (1 dimensão)

3 ψ 3 E n = n h /8mL n=3 λ=l/3 ψ E 3 =9h /8mL n=3 n= n=1 ψ 1 λ=l λ=l E =4h /8mL n= 0 x L E 1 =h /8mL n=1 λ=l/n 0 x L Nº de nodos de ψ (excepto os extremos): n1 ψ 3 λ=l/3 n=3 Para o estado de menor E (n=1): ψ n= ψ λ=l ψ 1 ψ 1 n=1 λ=l 0 x L A região de maior probabilidade bilid d de presença da partícula é no centro da caixa APLICAÇÕES

4 Equação de Schrödinger a 3 dimensões h ψ ψ ψ ) E ( x, y, z) E ( x, y, z) pψ = ψ 8π m x y z ψ função de onda: ψ (x,y,z) yz) E energia total da partícula E p energia portencial da partícula h constante t de Planck m massa da partícula Por resolução da Eq. de Schrödinger: Função de onda, quantificada por 3 números quânticos orbital (contém informação detalhada acerca do comportamento do electrão numa região do espaço) Valor de energia associado a cada função de onda (também quantificado)

5 Modelo Quântico do Átomo Átomo de Hidrogénio e Átomos Hidrogenóides: 1 electrão: carga: e massa: m massa: m e Núcleo: carga: Ze massa: m N ),, ( ),, ( ) 8 z y x E z y x E z y x m h p ψ ψ ψ ψ ψ π =

6 Coordenadas Esféricas z=r.cos θ θ y=r.senθ senφ x=r.senθ cosφ φ

7 Modelo Quântico do Átomo Átomo de Hidrogénio e Átomos Hidrogenóides: 1 electrão: carga: e Núcleo: massa: m e carga: Ze massa: m N h 8π m ψ x ψ y ψ ) z E ψ ( x, p y, z) = Eψ ( x, y, z) Por transformação de coordenadas: (x,y,z) (r, θ, φ) ψ(x,y,z) ψ(r, θ, φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ) = R(r) G(θ,φ) Componente radial Componente angular

8 Resolvendo a equação: ψ n,l,ml (r, θ, φ) = R n,l (r) G (θ, φ) l,m l ψ Função própria ou orbital n,l,m l (quantificada por 3 números quânticos) n = 1,, 3, nº quântico principal (nível ou camada: K, L, M, N, ) l = 0, 1,, n1 nº quântico azimutal tipo de orbital: s, p, d, f, (subnível) m l = l, l1, l, l nº quântico magnético simetria da orbital n 1 3 l m l 0 0 1,0, ,0,1 101,1,0,1, 101 Tipo de orbital 1s s p 3s 3p 3d Função de onda Número de orbitais para cada l (subnível) Número de orbitais para cada n (nível) ψ 100 ψ 00 ψ 1ml l ψ300 ψ 31ml ψ 3ml

9 Para um átomo hidrogenóide: A energia E é quantificada apenas pelo número quântico principal, i n: E n = constante Z /n E n 4s 4p 4d 4f 3s 3p 3d s p 1s

10 Momento angular = L =m v r L = l(l1) ħ ħ= h/π L z = m l ħ

11 Algumas funções próprias: 1s s 3/ ψ 100 = 1 Z exp(zr/a π a 0 ) 0 3/ ψ 00 = 1 Z Zr exp(zr/a 4 π a 0 ) 0 a 0 p ψ 10 = 1 4 π Z a 0 3/ Zr a 0 exp(zr/a 0 ) cosθ ψ 1±1 = 1 4 π Z a 0 3/ Zr a 0 exp(zr/a 0 ) senθ exp(±iϕ)

12 Representação gráfica da função de onda radial: R(r) n=1, l=0 0 1s n=, l=0 n=, l=1 s p n=3, l=0 0 n=3, l=1 1 n=3, l= 3s 3p 3d

13 Representação gráfica da função de probabilidade radial: 4πr R (r)dr Densidade de probabilidade radial: R (r) 1s r dr dv = 4πr dr s p 3s 3p 3d

14 1s s 3s

15 Superfícies Θ (θ) Φ (φ)das orbitais p:

16 Superfícies Θ (θ) Φ (φ)das orbitais d:

17 Spin do electrão Momento angular de spin: S S quantificado pelo número quântico de spin: s=1/ S z quantificado pelo número quântico magnético de spin: m s =±1/

18 Spin dos electrões Quantificação Experiência de SternGerlach (19) Previsão clássica [Ag:..5s 1 ] O que foi observado Átomos de prata Forno (Ag fundida) Campo magnético

19 Átomos polielectrónicos: ÁTOMO DE HÉLIO z r 1 e 1 e r 1 r N y x Não é possível obter uma solução analítica para a eq. de Schrödinger

20 Preenchimenro Electrónico: No estado de energia mínima do átomo, os electrões distribuemse ib pelas orbitais ocupando as de menor energia e seguindo o princípio de construção energia crescente. As energias das orbitais podem podem preverse pela Regra empírica de Wiswesser: As orbitais de mais baixa energia são aquelas que: têm menor valor da soma (nl); para o mesmo valor de (nl) a de menor n Princípio de Exclusão de Pauli 1ª Regra de Hund

21 ENERGIAS DAS ORBITAIS ATÓMICAS E=E(n,l) Nível/ Período Preenchimento electrónico Orbital Elemento

22 Sumário 3 Equação de Schrödinger a uma Dimensão Independente do Tempo Interpretação de Born do Quadrado da Função de Onda Resolução para uma Partícula numa Caixa de Energia Potencial Modelo Quântico do Átomo Equação de Schrödinger a três Dimensões Coordenadas Esféricas Solução da Equação de Schrödinger. Funções próprias Números Quânticos: n, l e m l Representaçopes gráficas das Funções de onda (Orbitais)

23 Sumário 3 Cont. Átomos de Hidrogénio i e Hidrogenóides Funções de distribuição radial Energias das orbitais Diagrama de energias das orbitais atómicas Spin do electrão. Números quânticos s e m s Átomos Polielectrónicos Configuração Electrónica. Regras de preeenchimento de orbitais: Princípio de energia mínima; Regra de Wiswesser; Princípio de exclusão de Pauli; 1ª regra de Hund Teoria: Capítulo 1, pag. 170 Capítulo