Estrutura da Matéria Prof. Fanny Nascimento Costa

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1 Estrutura da Matéria Prof. Fanny Nascimento Costa Aula 07 Revisão da última aula Orbitais Números quânticos O átomo de hidrogênio

2 Natureza ondulatória da luz Todas as ondas têm um comprimento de onda característico, λ, e uma amplitude, A A frequência, ν, de uma onda é o número de ciclos que passam por um ponto em um segundo A velocidade de uma onda, v, é dada por sua frequência multiplicada pelo seu comprimento de onda Para a luz, velocidade = c

3 Natureza ondulatória da luz A teoria atômica moderna surgiu a partir de estudos sobre a interação da radiação com a matéria A radiação eletromagnética se movimenta através do vácuo com uma velocidade de 3, m/s As ondas eletromagnéticas têm características ondulatórias semelhantes às ondas que se movem na água Por exemplo: a radiação visível tem comprimentos de onda entre 400 nm (violeta) e 750 nm (vermelho).

4 Energia quantizada e fótons Planck: a energia só pode ser liberada (ou absorvida) por átomos em certos pedaços de tamanhos mínimos, chamados quantum A relação entre a energia e a frequência é E = hv onde h é a constante de Planck (6, J s) Para entender a quantização, considere a subida em uma rampa versus a subida em uma escada: Para a rampa, há uma alteração constante na altura, enquanto na escada há uma alteração gradual e quantizada na altura

5 Energia quantizada e fótons O efeito fotoelétrico e fótons O efeito fotoelétrico fornece evidências para a natureza de partícula da luz - quantização Se a luz brilha na superfície de um metal, há um ponto no qual os elétrons são expelidos dele Os elétrons somente serão expelidos se a frequência mínima é alcançada Abaixo da frequência mínima, nenhum elétron é expelido Acima da frequência mínima, o número de elétrons expelidos depende da intensidade da luz

6 Energia quantizada e fótons O efeito fotoelétrico e os fótons Einstein supôs que a luz trafega em pacotes de energia denominados fótons A energia de um fóton: E h

7 Espectro de linhas e o modelo de Bohr O modelo de Bohr Rutherford supôs que os elétrons orbitavam o núcleo da mesma forma que os planetas orbitam em torno do sol Entretanto, uma partícula carregada movendo em uma trajetória circular deve perder energia Isso significa que o átomo deve ser instável de acordo com a teoria de Rutherford Bohr observou o espectro de linhas de determinados elementos e admitiu que os elétrons estavam confinados em estados específicos de energia. Esses foram denominados órbitas

8 Espectro de linhas e o modelo de Bohr O modelo de Bohr Já que os estados de energia são quantizados, a luz emitida por átomos excitados deve ser quantizada e aparecer como espectro de linhas Após muita matemática, Bohr mostrou que E J n onde n é o número quântico principal (por exemplo, n = 1, 2, 3, e nada mais) 2

9 Espectro de linhas e o modelo de Bohr O modelo de Bohr A primeira órbita no modelo de Bohr tem n = 1, é a mais próxima do núcleo e convencionouse que ela tem energia negativa A órbita mais distante no modelo de Bohr tem n próximo ao infinito e corresponde à energia zero Os elétrons no modelo de Bohr podem se mover apenas entre órbitas através da absorção e da emissão de energia em quantum (hν)

10 Espectro de linhas e o modelo de Bohr O modelo de Bohr Podemos mostrar que: E h hc J 2 2 n f n i Quando n i > n f, a energia é emitida Quando n f > n i, a energia é absorvida

11 Espectro de linhas e o modelo de Bohr Limitações do modelo de Bohr Pode explicar adequadamente apenas o espectro de linhas do átomo de hidrogênio Os elétrons não são completamente descritos como partículas pequenas

12 Comportamento ondulatório da matéria Após o desenvolvimento de Bohr para o átomo de hidrogênio, a natureza dual da energia radiante tornou-se um conceito familiar Louis De Broglie ( ) Se a energia radiante pudesse se comportar, sob condições apropriadas, como um feixe de partículas, a matéria, sob condições apropriadas, poderia possivelmente se comportar como uma onda? Para De Broglie Elétron se comportava como uma onda estacionária - +

13 Comportamento ondulatório da matéria Sabendo-se que a luz tem uma natureza de partícula, parece razoável perguntar se a matéria tem natureza ondulatória Utilizando as equações de Einstein e de Planck, De Broglie mostrou: h mv h p O momento, mv, é uma propriedade de partícula, enquanto o comprimento de onda, λ, é uma propriedade ondulatória de Broglie resumiu os conceitos de ondas e partículas, com efeitos notáveis se os objetos são pequenos - +

14 Comprimento de onda de de Broglie De Broglie postulou que, em virtude dos fótons terem características ondulatórias e corpusculares, talvez todas as formas de matéria tivessem propriedades ondulatórias e também corpusculares ondas estacionárias preenchendo órbitas circulares E p e E h c h h p mv hc comprimento de onda de de Broglie comprimento da circunferência deve ser um número inteiro n de comprimentos de onda E h

15 Onda estacionária Não se propagam ao longo da corda l 2 l 2 2 l 3 2 l 7 2

16 Comportamento ondulatório da matéria Louis De Broglie ( ) Argumenta que, se o elétron realmente se comporta como uma onda estacionária, no átomo de hidrogênio, o comprimento de onda deve se ajustar exatamente à circunferência da órbita. Caso contrário, a própria onda se cancelaria parcialmente em cada órbita sucessiva (no final, a amplitude da onda seria reduzida a zero e a onda deixaria de existir) 2r n n, número inteiro (1,2,3, ) - r +

17 Comportamento ondulatório da matéria Louis De Broglie ( ) Argumenta que, se o elétron realmente se comporta como uma onda estacionária, no átomo de hidrogênio, o comprimento de onda deve se ajustar exatamente à circunferência da órbita. Caso contrário, a própria onda se cancelaria parcialmente em cada órbita sucessiva (no final, a amplitude da onda seria reduzida a zero e a onda deixaria de existir) h mv velocidade da partícula massa da partícula ou h p - r +

18 Mecânica Quântica Estudo do comportamento e das leis do movimento para partículas microscópicas ANTECEDENTES: Teoria da quantização da energia (Max Planck): E = h. Dualidade onda-partícula (L.de Broglie): = h / p = h / mv Princípio de incerteza (Heisenberg): Δx.Δp h 4. Energia de Bohr: E n 2 2 Z e n 1, 2,3, 2 2n 4 a e 1 hartree = 1 unidade atômica de energia = 4, a J

19 Mecânica Quântica A descoberta das propriedades ondulatórias da matéria levantou algumas questões novas e interessantes sobre a física clássica Considerando uma bola descendo uma rampa. Usando a física clássica, podemos calcular sua posição, direção do movimento e velocidade a qualquer momento, com grande exatidão Podemos fazer o mesmo para o elétron???

20 Mecânica Quântica A descoberta das propriedades ondulatórias da matéria levantou algumas questões novas e interessantes sobre a física clássica Considerando uma bola descendo uma rampa. Usando a física clássica, podemos calcular sua posição, direção do movimento e velocidade a qualquer momento, com grande exatidão Podemos fazer o mesmo para o elétron??? Não se pode definir a localização precisa de uma onda porque ela se estende no espaço

21 Princípio de Incerteza de Heisenberg Quando experimentos são realizados, o experimentador sempre se depara com incertezas experimentais nas medidas A Mecânica Clássica permite que sejam realizados experimentos com incertezas experimentais arbitrárias muito pequenas. Por outro lado, a Mecânica Quântica prediz que a barreira para medidas com incertezas desprezíveis não existe Em 1927, Heisenberg introduziu o Princípio da Incerteza: Se uma medida da posição de uma partícula for realizada com precisão Δx e uma medida simultânea do momento linear é feita com precisão Δp, então o produto das duas incertezas não pode nunca ser menor que h/4

22 Matematicamente x p y z p p E t 2 É fisicamente impossível medir simultaneamente a posição exata e o momento linear exato de uma partícula Quanto maior a vida média de um estado de energia, menor é a largura de seu estado

23 Princípio da Complementaridade As naturezas ondulatória e corpuscular do elétron não podem ser simultaneamente determinadas

24 Considerações / Mecânica Quântica Erwin Schrödinger ( ) Uma função de onda (Ψ) descreve a densidade de probabilidade (Ψ 2 ) de uma partícula no espaço Como a Mecânica Quântica não é determinista a função de onda do sistema não pode especificar com exatidão a posição e o momento do sistema (princípio da incerteza) Max Born, com uma interpretação estatística para a função de onda introduziu o quadrado da função de onda, e chamou de densidade de probabilidade Ψ 2

25 Mecânica quântica Para descrever um estado estacionário é necessário conhecer sua função de onda espacial ψ(x,y,z) e sua energia E O quadrado do módulo da função de onda [ψ(x,y,z,t)] 2 dv de uma partícula se deslocando em três dimensões representa a probabilidade de encontrar a partícula num tempo t dentro de um volume dv em torno do ponto (x,y,z) considerado [ψ(x,y,z,t)] 2 é normalmente chamada de função de distribuição (ou densidade) de probabilidade, pois descreve como a probabilidade de encontrar a partícula em diferentes locais está distribuída Exemplo:A probabilidade de encontrar uma partícula na direção x, entre as posições x e x+dx é dada por: Ψ 2 dx.

26 Mecânica quântica Schrödinger propôs uma equação que contém os termos onda e partícula A resolução da equação leva às funções de onda A função de onda fornece o contorno do orbital eletrônico O quadrado da função de onda fornece a probabilidade de se encontrar o elétron, isto é, dá a densidade eletrônica para o átomo

27 Postulados da Mecânica Quântica Erwin Schrödinger, em 1927, propõe uma equação diferencial, conhecida atualmente como equação de onda de Schrödinger, que incorpora tanto o comportamento ondulatório como o de partícula do elétron, e que permite, em princípio, encontrar a função de onda de qualquer estado físico A energia do átomo está quantizada. Só alguns estados energéticos são permitidos (descritos por números quânticos) Mudança entre estados: E = h. Aproximação estatística à posição do e - : Orbital Descrição de estado e movimento do e - mediante uma função de onda: n,l,m = (x,y,z) A mecânica quântica possui caráter estatístico H E H E i i i i equação fundamental da quântica operador Hamiltoniano autovalores

28 Equação de Schrödinger m 2 E V.( ) h d V E m dx h (1 dimensão) Leva em consideração o comportamento corpuscular, em termos de massa (m) e o comportamento ondulatório, em termo da função de onda () Não tem significado físico 2 Densidade de probabilidade de encontrar um elétron, chamada de densidade de probabilidade

29 Equação de Schrödinger m 2 E V.( ) h d V E m dx h f (1 dimensão) f f f Operador Laplaciano x y z Resolver a equação de Schrödinger é encontrar os autovalores e autofunções do operador hamiltoniano do sistema (exemplo: H = T + V = energia cinética + energia potencial) Os autovalores de um dado operador representam as grandezas físicas observáveis permitidas Operador é uma regra matemática que transforma uma função numa outra função

30 Equação de Schrödinger Podemos reescrever a equação de Schrödinger de uma forma um pouco diferente: 2 2 i x, t V x, t x, t 2 t 2m x Note que, como esta equação deve ser válida para qualquer solução ψ(x,t), ela é equivalente à operação entre operadores diferenciais: i t 2m x 2 2, 2 V x t Podemos comparar esta relação com a relação clássica: 2 p E V x, t 2m Operadores quânticos para momento e energia p i, E i x t

31 Equação de Schrödinger Erwin Schrödinger desenvolveu um formalismo que se propunha a descrever a característica ondulatória da matéria, ele procurou estabelecer uma equação diferencial que expressasse o comportamento das ondas de matéria; e que se sabe que na Mecânica Quântica partículas podem ter aspectos ondulatórios e ondas podem ter aspectos corpusculares. A Equação de Schrödinger descreve a evolução de um estado quântico. A partir da Equação de Schrödinger não é possível determinar a trajetória do elétron em torno do núcleo, mas, a uma dada energia do sistema, obtém-se a região mais provável de encontrá-lo.

32 Modelo quântico Schrödinger estudou o movimento do elétron ao redor do núcleo por meio de equações matemáticas (funções de onda)

33 Números quânticos Da resolução da equação de Schrödinger para o elétron num átomo, obtemos os chamados números quânticos A partir das soluções que satisfazem as condições de contorno das funções de onda obtém-se os níveis de energias permitidos E n A caracterização de cada elétron no átomo é feita por meio de 4 números quânticos: principal, azimutal, magnético e magnético de spin No mesmo átomo, não existem 2 elétrons com os mesmos 4 números quânticos

34 Orbitais e números quânticos A solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio produz um conjunto de funções de onda e energias correspondentes Essas funções de onda são chamadas orbitais Orbital (modelo da mecânica quântica) = Órbita ou camada (modelo de Bohr) O modelo da mecânica quântica não se refere a órbitas porque o movimento do elétron em um átomo não pode ser medido ou localizado com precisão (princípio da incerteza de Heisenberg) Órbita ou camada (modelo de Bohr) Introduz um único número quântico (n)

35 Orbitais e números quânticos O modelo da mecânica quântica usa 4 números quânticos, n, l, m l, m s, para descrever um orbital Número quântico principal (n): valores positivos e inteiros. À medida que n aumenta, o orbital torna-se maior, e o elétron passa mais tempo distante do núcleo Número quântico azimutal (l): pode ter valores inteiros de 0 a n-1 para cada valor de n. Esse número quântico define o formato do orbital Valores de l: 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) Número quântico magnético (m l ): pode ter valores inteiros entre l e l, inclusive zero. Esse número quântico descreve a orientação do orbital no espaço Número quântico magnético de spin (m s ): os elétrons se comportam como um imã em função da sua rotação no sentido horário ou antihorário

36 Número quântico principal (n) Número quântico principal (n): indica o nível de energia do elétron n = 1, 2, 3,... À medida que n aumenta, o orbital torna-se maior, e o elétron passa mais tempo distante do núcleo

37 Número quântico azimutal ou orbital (l) Número quântico azimutal (l): está relacionado com o subnível de energia do elétron. Esse número quântico define o formato do orbital Subnível s p d f No quântico azimutal (l) As soluções que satisfazem as condições de contorno na equação de Schrödinger também apresentam valores quantizados para o momento angular orbital L ( l 0,1, 2,3,, n1) l l 1 (módulo do momento angular orbital)

38 Número quântico magnético (m ou m l ) Número quântico magnético (m l ): indica a orientação do orbital no espaço O momento magnético é determinado pelo valor de m l que aparece devido aos componentes do vetor momento angular orbital do elétron O número quântico magnético assume valores inteiros entre -l e +l Existem 2l + 1 valores de m l L z m l l (componente z do momento angular orbital) ( m 0, 1, 2,, l) l m l Ex.: l 1 m -1,0, 1 l

39 Número quântico magnético de spin (m s ) Número quântico magnético de spin (m s ): Os elétrons se comportam como um imã em função da sua rotação no sentido horário ou antihorário Para descrever completamente um estado eletrônico é necessário introduzir mais dois números quânticos relativos ao spin eletrônico Estes números são s e m s s m s m 1 ou 1 s 2 2

40 Spin do elétron

41 Orbitais e números quânticos Números quânticos para os elétron no átomo Nome Símbolo Valores Especifica Indica Principal n 1, 2,... Camada Tamanho Azimutal ou Orbital l 0, 1,..., n-1 Magnético m l l, l-1,..., -l Subcamada l= 0, 1, 2, 3, 4,... s, p, d, f, g,... Orbitais da subcamada Forma Orientação Magnético de spin m s + 1 2, 1 2 Estado do spin Direção do spin

42 Orbitais e números quânticos

43 Densidade de probabilidade de se encontrar o elétron

44 Orbitais e números quânticos Orbitais e números quânticos

45 Arranjos

46 Soluções para o átomo de hidrogênio n l m Função Orbital ,0,0 1s 2 3 n,, l m R( r) Y(, ) R( r) parte radial; Y(, ) parte angular 0 0 2,0,0 2s ,1,-1 2,1,0 2,1,1 2p (2p x, 2p y, 2p z ) 0 0 3,0,0 3s ,1,-1 3,1,0 3,1,1 3,2,-2 3,2,-1 3,2,0 3,2,1 3,2,2 3p (3p x, 3p y, 3p z ) 3d (3d, 3d xy, 3d yz, 3d xz, 3d)

47 Orbitais atômicos para o hidrogênio

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54 Átomo de H no estado fundamental Quantos conjuntos de números quânticos são possíveis para o átomo de hidrogênio no seu estado fundamental? Função de onda = ψ 1,0,0 1,0,0 (1 s) a Z (1 s) a 0 1 e Z 2Zr a e Zr a 0 n = 1, logo l = 0, m l = 0, m s = +1/2 ou -1/2 Resposta: O átomo de hidrogênio no estado fundamental tem 2 conjuntos de números quânticos de mesma energia (dizemos que este o nível fundamental do átomo de hidrogênio é duplamente degenerado)

55 Representações dos orbitais Orbitais s Todos os orbitais s são esféricos À medida que n aumenta, os orbitais s ficam maiores À medida que n aumenta, aumenta o número de nós Um nó é uma região no espaço onde a probabilidade de se encontrar um elétron é zero Em um nó, ψ 2 = 0 Para um orbital s, o número de nós é n - 1

56 Representações dos orbitais

57 Representações dos orbitais Orbitais s

58 Representações dos orbitais Orbitais s

59 Representações dos orbitais Orbitais p Existem três orbitais p, p x, p y, e p z Os três orbitais p localizam-se ao longo dos eixos x, y e z de um sistema cartesiano As letras correspondem aos valores permitidos de m l, -1, 0, e +1. Os orbitais têm a forma de halteres À medida que n aumenta, os orbitais p ficam maiores Todos os orbitais p têm um nó no núcleo

60 Representações dos orbitais Orbitais p

61 Representações dos orbitais Orbitais p

62 Representações dos orbitais Orbitais d e f Existem cinco orbitais d e sete orbitais f Três dos orbitais d encontram-se em um plano bissecante aos eixos x, y e z Dois dos orbitais d se encontram em um plano alinhado ao longo dos eixos x, y e z Quatro dos orbitais d têm quatro lóbulos cada Um orbital d tem dois lóbulos e um anel

63 Orbitais e números quânticos Orbitais d

64 Orbitais e números quânticos Orbitais f

65 Orbitais no nível 4

66 Exercícios (fortemente) Recomendados 1. Explique o conceito de orbital atômico e faça um esboço representando os orbitais s e p. 2. Identifique os valores do número quântico principal e do número quântico angular para os seguintes subníveis: (a) 2p; (b) 5f; (c) 3s; (d) 4d. 3. Quantos orbitais há no nível n = 5? 4. O raio de uma órbita de Bohr é descrita pela equação r = n2 Z a 0. Calcule os raios das órbitas dos elétrons com n = 1, 2 e 3 no átomo de hidrogênio. Compare estes resultados com as distâncias de máxima probabilidade de densidade radial destes orbitais, mostrados na figura ao lado. No caso do elétron 1s, o máximo ocorre exatamente num raio equivalente ao raio de Bohr.

67 Exercícios (fortemente) Recomendados 5. Um sistema quântico pode existir em uma combinação de múltiplos estados, cada um com características físicas bem definidas (simultaneamente), a chamada superposição de estados. Para ressaltar o que significaria a superposição de estados para objetos macroscópicos e o absurdo a que isso mal interpretado levaria, Schrödinger em 1935 formulou o seu famoso paradoxo. O paradoxo do gato de Schrödinger. Pesquise, descreva e explique quais as consequências desse paradoxo. RESPOSTAS: a) n = 2; l = 1 b) n = 5; l = 3 c) n = 3; l = 0 b) n = 4; l = , m, 2, m, 2, m.

68 Leituras Sugeridas 1. Mahan & Myers, Química um curso universitário, p O Princípio da Incerteza; A formulação da mecânica quântica; A equação de Schröndinger; A partícula na caixa; O átomo de Hidrogênio. 2. James Brady & Gerard Humiston, 2ª ed., p e p Mecânica ondulatória; O spin do elétron e o princípio de exclusão de Pauli; A distribuição espacial dos elétrons

69 Bibliografia - Young e Freedman, Física IV : Ótica e Física Moderna, Editora Pearson Education do Brasil, São Paulo, Brown, T., Química a Ciência Central, Pearson Education, 9ª Edição, Atkins P., Jones L., Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente, 3a. Ed., 2006, Bookman. - Eisberg, R., Resnick, R., Física Quântica, Editora Campus, 1ª Edição, Halliday, D., Resnick, R., Walker, J., Fundamentos de Física IV, LTC Livros Técnicos e Científicos, 8ª. ed., Tipler, P.A., Física Moderna, Guanabara Dois, Nussenzveig, M. H., Curso de Física Básica 4, Edgard Blücher, 4ª ed., 1998.