Não serão aceitas respostas sem justificativa:

Transcrição

1 Primeira Prova de Conceitos de Mecânica Quântica -(,5) Uma partícula de massa m encontra-se no estado ψ(x,t)= A exp[ω(mx /ħ+it)], onde A e a são constantes reais e positivas. a- Normalize ψ(x,t); b- Calcule os valores esperados para x, x, p e p ; (,5) Uma partícula de massa m em uma caixa de comprimento Å (potencial infinito) possui uma função de onda em t = dada por: ψ(x,)= sen(πx)+ 4sen(4πx)+ 5sen(5πx), onde x é dado em Å. a- Normalize ψ(x,); b- Quais são os possíveis resultados experimentais para a energia do sistema? c- Escreva ψ(x,t); - (,5) Uma partícula no potencial do oscilador harmônico possui uma função de onda inicial dada por ψ(x,)=a [ψ + ψ o ] a- Normalize ψ(x,); b- Encontre ψ(x,t) e ψ(x,t) c- Encontre <x>; d- Encontre <p>; 4- (,5) Considere o potencial x< ; V( x) = αδ( x a) x ; onde a e α são constantes reais e positivas com unidades apropriadas (Veja a Figura abaixo). A partícula inicialmente se encontra confinada em < x< a, mas devido ao tunelamento, pode escapar da barreira. a- Resolva a equação de Schrödinger independente do tempo para este potencial; imponha condições de contorno apropriadas, e determine a energia, E. b- Escreva E = E o + iγ (onde E o e Γ são reais). Calcule em termos de Γ o tempo característico para que a partícula atravesse o potencial (ou seja, o tempo que a probabilidade que a partícula ainda esteja dentro do potencial caia a /e). Dados: x x n xe e e x x ax..5...(n ) n+ n a π 4 π a

2 Segunda Prova de Conceitos de Mecânica Quântica - (,5) Um elétron em um campo Coulombiano de um próton encontra-se no estado descrito pela função de onda ψ(r) =/6[4ψ (r) +ψ (r) - ψ (r) +() / ψ - (r)], onde ψ nlm são os autoestados do átomo de hidrogênio. a- Qual o valor esperado para a energia? b- Qual a probabilidade de encontrar o sistema no nível n =? c- Se o resultado de uma medida for n=, qual a função de onda imediatamente após a medida? - (,5)a- Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para ortonormalizar os seguintes vetores: r = ; r = ; r = b-escreva o operador que projeta na direção de r - (,5) Um operador A tem somente três autofunções ψ, ψ e ψ, com autovalores correspondentes a =, a = e a =, respectivamente. O estado do sistema é φ, onde há uma chance de 5 % de que resulte em a e iguais chances para a e a. a- Calcule A b- Expresse φ em termos das autofunções de A. c- Seja um operador D, tal que D ψ i = ψ i+ (i =,) ; D ψ = ψ. Escreva D em forma matricial na base dos autovetores de A. 4 (,5) Considere uma partícula de massa µ e energia E em um poço de potencial tridimensional esfericamente simétrico : V(r ) = - V o para r< a e V (r) = para r>a, onde (V o < E) e a são constantes positivas e reais. a- Escreva o potencial efetivo para uma onda p; b- Escreva a equação de Schrodinger radial para este potencial efetivo; c- Escreva a solução na região r < a, para a onda p;

3 Terceira Prova de Conceitos de Mecânica Quântica - (,5) Considere duas partículas com momenta angular l = e l =. a- (,5) Quais os possíveis valores para o momentum angular total? b- (,5) Se as partículas estão em uma configuração na qual o momentum angular total é 5 e a componente z é, calcule o ângulo que o vetor momentum angular total faz com o eixo z c- (,5) Se as partículas estão em uma configuração na qual o momentum angular total é 5 e a componente z é. Se você medisse a componente z da segunda partícula, quais os valores que poderia obter e as respectivas probabilidades? - (4,5) Considere o seguinte operador L z = h, com autoestados l, m : a- (,5) Se L z é medido, quais os possíveis resultados? b- (,5) Escrevas as matrizes correspondentes para L + e L - (dica: L ± l, m =...) c- (,5) Escreva as matrizes correspondentes para L x e L y d- (,) Se o estado do sistema em t = era com quais probabilidades? ψ =, quais os possíveis resultados para L x e - (,) Quais das funções abaixo poderiam descrevem um sistema composto por dois prótons? justifique. a- [ϕ a ()+ ϕ b ()][α()+α()] b- [ϕ a ()- ϕ b ()][α()+α()] c- [ϕ a ()+ ϕ b ()][α()-α()] d- [ϕ a ()- ϕ b ()][α()-α()] e- ϕ=ae -(r+r) f- ϕ=a(r +r ) e -(r+r) g- ϕ=a(r -r ) e -(r+r) 4- (,) Considere 5 (cinco) elétrons em estados α, β, χ, δ, e φ. Os estados são normalizados e ortogonais entre si. Escreva a função de onda para este sistema.

4 Prova Final de Conceitos de Mecânica Quântica - (,) Um elétron em um campo Coulombiano de um próton está no estado descrito pela função de onda: ψ (r )= (α/π / ) / exp(-α r /). Qual a probabilidade de encontrá-lo no estado fundamental do átomo de hidrogênio? - (,) Encontre as autofunções do operador (ħ /m)d /dx. Se as autofunções devem permanecer finitas para x ±, quais são as energias permitidas? - (6,) O operador Hamiltoniano de um certo sistema físico é representado pela matriz H =hω, enquanto dois outros observáveis A e B são representados pelas matrizes = λ λ A e λ B= µ µ µ onde λ e µ são não números reais não nulos. a- (,5)Encontre os autovalores e autovetores de A e B; b- (,5)Se o sistema está em um estado descrito por ψ =c u +c u +c u, onde c, c e c são constantes e u = ; u ; u, encontre a relação entre c, c, e c tal que ψ = = seja normalizado; c- (,5)Encontre os valores esperados de H, A e B; d- (,5) Quais os possíveis valores para a energia que podem ser obtidos em uma medida quando o sistema é descrito por ψ? Para cada resultado possível, encontre a função de onda na representação matricial imediatamente após a medida. 4- (,) O Hamiltoniano de um sistema tem somente quatro autofunções ψ i (i =,,,4), com autovalores a =, a =, a =, e a 4 =4. A função de onda do sistema é φ =,5 ψ +,6 ψ +,5 ψ +,6 ψ 4. a- Calcule A ; b- Escreva a função de onda em função do tempo c- Qual a probabilidade de medir a? d- Qual a função de onda imediatamente após uma medida que resulta em a?

5 Segunda Chamada de Conceitos de Mecânica Quântica - (,5) Considere o potencial x< ; V( x) = αδ( x a) x ; onde a e α são constantes reais e positivas com unidades apropriadas (Veja a Figura abaixo). A partícula inicialmente se encontra confinada em < x< a, mas devido ao tunelamento, pode escapar da barreira. a- Resolva a equação de Schrödinger independente do tempo para este potencial; imponha condições de contorno apropriadas, e determine a energia, E. b- Escreva E = E o + iγ (onde E o e Γ são reais). Calcule em termos de Γ o tempo característico para que a partícula atravesse o potencial (ou seja, o tempo que a probabilidade que a partícula ainda esteja dentro do potencial caia a /e). - (,5) Suponha que uma partícula em uma caixa de comprimento L esteja em um estado não estacionário ψ = (5/L 7 ) / x (L-x), para x L, no instante em que a energia é medida. Dê os possíveis resultados e suas respectivas probabilidades. - (,5) Uma partícula de momentum angular / e uma partícula de momentum angular / estão em repouso em uma configuração que o spin total é, e sua componente z é. Se você medisse a componente z do momentum angular da partícula de spin, quais os valores que você poderia obter e com quais probabilidades? 4- (,5) A função de onda de um sistema é dada por: ϕ(x) = A para a x + a; ϕ(x) = para qualquer outra região. a- (,5) Encontre A em termos de a; b- (,) Calcule x, x, x e x; c- (,) Caclule p, p, p e p;