Exame de Seleção. Doutorado em Física. 1º Semestre de ª Prova 06/02/2018. Mecânica Clássica e Mecânica Quântica

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO FUNDAÇÃO Instituída nos termos da Lei nº 5.5, de //996 São Luís Maranhão CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA Exame de Seleção Doutorado em Física º Semestre de 8 ª Prova 6//8 Mecânica Clássica e Mecânica Quântica Instruções Cada prova tem duração de 4 horas. Não se identifique no caderno de respostas. Não é permitido consulta a materiais bibliográficos que não o formulário entregue junto com a prova, o qual deve ser devolvido no final da prova. Não é permitida a utilização de equipamentos eletrônicos tais como celulares, calculadoras e outros. Responda a questão na folha indicada para cada questão. Caso seja necessário utilizar mais de uma página, solicite uma folha extra, registrando seu código e questão nos campos indicados. Para borrão, utilize as folhas indicadas como borrão no final de cada caderno de prova. É importante salientar que as respostas contidas nessas folhas não serão consideradas. Candidato D4 Av. dos Portugueses, 966 Campus Universitário do Bacanga São Luís MA Fone: (98) 37-84

2 Exame de Seleção Programa de Pós-Graduação em Física 8. Candidato D4 Q - Um pêndulo de mola consiste em uma massa m ligada a uma extremidade de uma mola sem massa com constante de elasticidade k. A outra extremidade da mola está ligada a um suporte fixo. Quando não há peso na mola, seu comprimento é l. Suponha que o movimento do sistema é confinado a um plano vertical. (a) Escreva a Lagrangiana para o sistema em termos das coordenadas generalizadas apropriadas. (, pts.) (b) Derive as equações de movimento. (, pts.) (c) Calcule o valor das coordenadas generalizadas quando o sistema está em equilíbrio estável. (, pts.) (d) Resolva as equações de movimento na aproximação de ângulo pequeno e deslocamento radial entorno do equilíbrio. (, pts.) Dica: Defina r r com r, onde r é a posição de equilíbrio radial. Despreze os termos de ordem superior das pequenas quantidades, e. Q - Uma conta de massa m desliza-se sem atrito num fio circular giratório de raio a cujo eixo de rotação é através do diâmetro vertical como mostrado na Fig.. A velocidade angular constante do fio circular é. (a) Escreva a Lagrangiana para o sistema e derive a equação de movimento. (, pts.) (b) Localize as posições de equilíbrio da conta para c e c g, onde c. (, a pts.) (c) Qual dessas posições de equilíbrio são estáveis e instáveis? (, pts.) Dica: Defina onde é uma quantidade pequena e é uma posição de equilíbrio. (d) Calcule as frequências das oscilações pequenas entorno dos pontos de equilíbrio estáveis. (, pts.) Figura

3 Exame de Seleção Programa de Pós-Graduação em Física 8. Q3 Considere um aparato de Stern-Gerlach que permite a orientação do spin em uma direção nˆ sin cos,sin sin,cos, com e arbitrários. Para o estado com projeção genérica de spin na direção ˆn, determine: a) os autovetores de S ˆ nˆ. (, pts.) b) os valores de e de modo que a probabilidade de uma medida da componentez do spin de encontrar seja o valor, P z. (, pts.) 4 c) os valores de e de modo que o ângulo maximize a probabilidade, P y de uma medida da componente- y do spin seja. (, pts.) Q4 - Considere um átomo de hidrogênio com energia potencial V r assumida igual a ) e função de onda r constantes. Determine: a) constante de normalização N. (, pt.) ra / b) o valor médio da energia no estado r.(, pts.) c) o valor da constante a usando o método variacional. (, pts.) (a carga de elétron é r Ne, onde r é a coordenada radial e Na,, Fórmulas úteis:,, 4 3, cos, 4 3 i, sin e, 8 5, 3cos, 6 5 i, cos sin e, 8 5, sin 3 e i

4 Exame de Seleção Programa de Pós-Graduação em Física 8. m m nx x e dx m n

5 Exame de Seleção Programa de Pós-Graduação em Física 8. Candidato D4 Questão Q

6 Exame de Seleção Programa de Pós-Graduação em Física 8. Candidato D4 Questão Q

7 Exame de Seleção Programa de Pós-Graduação em Física 8. Candidato D4 Questão Q3

8 Exame de Seleção Programa de Pós-Graduação em Física 8. Candidato D4 Questão Q4