SEGUNDA PROVA - F789. angular orbital. O estado da partícula, Ψ, tem componentes Ψ ± (r) =

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1 SEGUNDA PROVA - F789 NOME: RA:. Considere uma partícula de spin. Seja S seu spin e L seu momento angular orbital. O estado da partícula, Ψ, tem componentes Ψ ± (r) = r, ± Ψ na base r, ± de autoestados de posição e de S z. Assuma que [ Ψ + = R(r) Y (θ, φ) + ] Y (θ, φ) e Ψ = R(r) [Y (θ, φ) Y (θ, φ)]. com R(r) um função real. (a) Que condição R(r) deve satisfazer para que Ψ seja normalizada? (b) Se L z for medido, que valores podem ser obtidos e com quais probabilidades? (c) Suponha que essa medida foi feita e que o resultado foi h. Qual a função de onda (normalizada) imediatamente após a medida? (d) Após a medida acima, mede-se o valor de S z. Qual a probabilidade do resultado ser h/? (a) A condição de normalização é [ Ψ + + Ψ ]dv =. Usando a ortonormalidade dos harmônicos esféricos obtemos r R dr [ dω Y (θ, φ) Y (θ, φ) + dω [Y (θ, φ) Y (θ, φ)] ] = r R dr[ + / + / + /] = r R dr A condição então é que r R dr = /. (b) Essa é uma boa oportunidade para recordar como funciona o cálculo dessas probabilidades. Sabemos que os autovalores de L z são m h. A

2 função de onda está expressa na base dos operadores S z, L e L z. Vamos supor que exista ainda um quarto operador que comute com esses três e cujo autovalor indicamos pelo índice k. Os autoestados comuns a esses operadores são ɛklm e escrevemos Ψ = C ɛ,k,l,m ɛklm. ɛ,k,l,m Nessa notação a probabilidade de medir um valor específico m h é P (m h) = C ɛ,k,l,m. ɛ,k,l Sejam agora r k, l, m = Ψ k,l,m (r, θ, φ) = R k,l (r)y l,m (θ, φ). Então Ψ + (r, θ, φ) = +r Ψ = k,l,m C +,k,l,m Ψ k,l,m (r, θ, φ) = k,l,m C +,k,l,m R k,l (r)y l,m (θ, φ) = l,m [ k C +,k,l,m R k,l (r)] Y l,m (θ, φ) l,m a + l,m (r)y l,m(θ, φ). Da mesma forma escrevemos Ψ (r, θ, φ) = a l,m (r)y l,m(θ, φ). l,m Esse é o formato em que as funções de onda são dadas no problema. Agora fica como excercício verificar que, dada a definição dos coeficientes a + e a, P (m h) = r a ɛ l,m(r) dr. ɛ,l No problema temos a +, = R(r), a +, = R(r)/, a, = R(r)/ e a, = R(r)/ o que resulta em P () = / e P ( h) = /. (c) Depois da medida temos o colapso da função de onda no sub-espaço correspondente ao autovalor medido: [ Ψ = A R(r)Y, r+ + ] R(r)Y, r.

3 Impondo a condição de normalização obtemos A = e Ψ = R(r)Y, r+ + R(r)Y, r. (d) Usando a notação anterior temos a +, = a, = R(r) e P Sz ( h/) = P Sz ( h/) = /.

4 . Considere um sistema composto por duas partículas de spin / cujas variáveis orbitais são ignoradas. A Hamiltoniana do sistema é H = ω S z + ω S z onde S z e S z são as projeções dos spins das partículas e no eixo z e ω e ω são constantes reais. O estado inicial do sistema é: ψ() = [ + + ]. No instante t, S = (S + S ) é medido. Que resultados podem ser encontrados e com quais probabilidades? Explique detalhadamente cada passo de seu cálculo. Como a função de onda já está escrita na base de autoestados do Hamiltoniano, sua evolução temporal é simples. Temos que H + = hω + e H + = hω + onde Ω (ω ω )/. Assim ψ(t) = [ + e iωt + e iωt ]. Mudamos agora para a base de autoestados de S e S z usando e obtemos + = [ + ] + = [ ] ψ(t) = i sin (Ωt) + cos (Ωt). As probabilidades são: P S () = cos (Ωt) e P S ( h ) = sin (Ωt). 4

5 . Um sistema com três níveis de energia é dado por H = H + λw onde H = hω W = (a) Quais os autovalores e autovetores de H? (b) Calcule a correção nos níveis de energia de H devido à perturbação W em primeira ordem em λ. Os resultados desse procedimento são exatos ou apenas aproximados? Porque? (a) E = hω e E = E = hω. Os autovetores são Ψ = Ψ = Ψ = (b) A correção em primeira ordem para o primeiro nível é E = λ Ψ W Ψ = λ. Para os níveis e montamos a matriz da perturbação no sub-espaço degenerado: ( ) λ λ Os autovalores são ±λ. Assim temos E = hω + λ E = hω + λ E = hω λ. Esses resultados são aproximados. A solução exata é obtida diagonalizandose a matriz de H completa, o que leva a uma equação cúbica para os autovalores. É fácil verificar que essas soluções aproximadas não são soluções do sistema cúbico.. 5

6 4. Considere que o núcleo do átomo de Hidrogênio possa ser representado por uma pequena casca esférica de raio b e carga elétrica e. Calcule, usando teoria de perturbação em primeira ordem, a mudança de energia no nível fundamental com respeito ao modelo com núcleo pontual. Dica: use o teorema de Gauss para mostrar que o campo elétrico dentro da esfera é nulo. Calcule então o potencial eletrostático dentro e fora da esfera e compare com o potencial do modelo pontual. A diferença será a perturbação. A função de onda do estado fundamental é dada por Ψ = e r/a. πa Considere b/a suficientemente pequeno para que r n e r/a r n = b n+ /(n + ). Para o próton pontual o campo elétrico em todo espaço é dado por E = q ˆr 4πɛ. O potencial eletrostático é Φ(r) == q e a energia r 4πɛ r potencial do elétron nesse campo é V (r) = q e. 4πɛ r r No caso de uma casca esférica o campo elétrico fora da casca é identico àquele gerado pelo próton pontual. No entanto, dentro da casca o campo é nulo, como pode ser verificado pela Lei de Gauss. O potencial eletrostático pode ser calculado como: Φ c (r) = E d r = q 4πɛ r dr r = q 4πɛ r se r > b q 4πɛ dr r = q 4πɛ b se r < b Assim obtemos para a energia potencial do elétron na presença da casca Então podemos escrever e se r > b r V c (r) = e se r < b b V c (r) = V (r) + (e /r e /b)θ(r b) 6

7 onde Θ(x) é a função degrau, que vale se x > e se x <. A perturbação é W (r) = e (/r /b)θ(r b) e o cálculo da correção na energia por teoria de perturbação fornece E = e b πa r drdωe ra (/r /b) 4e a (r r /b)dr = e b /a. 7